trasf.geometriche

S.S.I.S. a.a. 2006/07
LABORATORIO
di DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Percorso didattico sulle
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
Laura Recine
Laura Recine – SSIS 2006/07
Le trasformazioni geometriche
1. Trasformazioni lineari.
Premettiamo alcune definizioni. Sia T : R 2 → R 2 una trasformazione che faccia corrispondere ad
ogni elemento u = ( x, y ) ∈ R 2 un elemento v = ( x' , y ' ) ∈ R 2 . Tale legge si dice applicazione lineare
se per ogni scelta di u e v e per ogni α reale si ha
T (u + v) = T (u ) + T (v)
T (α u ) = α T (u ) .
Quindi definiamo trasformazione geometrica del piano in sé ogni applicazione tra le coordinate di
punti del piano. Le trasformazioni biunivoche sono suddivise in: affinità, similitudini ed isometrie.
Queste ultime comprendono le traslazioni, le rotazioni e le simmetrie.
I percorsi didattici possibili sono due. Si può introdurre inizialmente lo studio delle isometrie e, poi,
generalizzare alle similitudini ed alle affinità oppure riconoscere che considerare tutte le trasformazioni geometriche biunivoche sono affinità eventualmente dotate di ulteriori proprietà. Nella trattazione seguiremo quest’ultimo percorso.
2. Le affinità.
Definizione 2.1. Si definisce affinità la trasformazione del piano in se stesso che, ad ogni punto
P ( x, y ) associa il punto P ' ( X , Y ) definito dalla relazione
 X = a1 x + b1 y + c1

 Y = a 2 x + b2 y + c 2
ovvero, in forma matriciale,
 X
 x  p
  = A  +  
Y
 y  q 
 a1
con A = 
 a2
b1 

b2 
tali che A abbia determinante non nullo (cioè det( A) = a1b2 − a 2 b1 ≠ 0) , c1 e c 2 siano costanti. Se
a1b2 − a 2 b1 > 0) l’affinità si dice diretta, altrimenti inversa.
Osserviamo che, per quanto sopra, l’affinità si dice diretta se viene mantenuta l’orientazione degli
angoli. Inoltre, definita k = det( A) , la costante di affinità, la condizione k ≠ 0 è condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema ammetta una ed una sola soluzione o, equivalentemente, che la
trasformazione sia biunivoca e, quindi, invertibile. Illustriamo ciò con un esempio. Sia data la trasformazione definita da
2
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 X = 2x + y + 1

 Y = 6x + 3y
Otteniamo Y = 3 X − 3 ossia l’immagine della trasformazione è la retta trovata.
Dimostriamo la proprietà caratteristica delle affinità.
Teorema 2.2 Le affinità trasformano rette in rette e conservano il parallelismo fra rette.
Dim. Le affinità trasformano rette in rette per la linearità della trasformazione. Per dimostrare che
mantengono il parallelismo procediamo per assurdo. Supponiamo, pertanto che, date due rette r ed
s parallele fra loro siano r ' = T (r ) , s ' = T ( s) e P ' = r '∩ s' . Pertanto risulterebbe P = T − 1 ( P ' ) = r ∩ s
e, quindi, si ha la tesi.
Un’ulteriore proprietà delle affinità discende immediatamente dalla linearità.
Teorema 2.3 Le affinità conservano il punto medio di un segmento.
Dimostriamo che le affinità conservano il rapporto fra segmenti paralleli e quello fra le aree.
Teorema 2.4 Le affinità conservano il rapporto tra segmenti allineati (o paralleli).
Dim. Poiché una traslazione non altera le lunghezze dei segmenti, possiamo limitarci al caso in cui
c1 = c 2 = 0 e, analogamente, provare la tesi solo nel caso di segmenti paralleli all’asse x. Infatti siano A = ( x1 ,0) e B ( x 2 ,0) . Allora AB = x 2 − x1 . Pertanto, indicati con A' = ( X 1 , Y1 ) e B ' = ( X 2 , Y2 ) ,
i rispettivi punti corrispondenti, si ha
 X 1 = a1 x1
 X 2 = a1 x 2
e 

 Y1 = a 2 x1
 Y2 = a 2 x 2
da cui segue
A' B ' =
a12 ( x 2 − x1 ) 2 + a 22 ( x 2 − x1 )² =
a12 + a 22 x 2 − x1 =
a12 + a 22 ⋅ AB .
Analogamente se il segmento dato fosse parallelo all’asse y, troveremmo A' B' =
b12 + b22 ⋅ AB .
Teorema 2.5 In un’affinità è costante il rapporto fra le aree. Inoltre se S è l’area di una regione limitata F del piano e sia S’ l’area della sua trasformata affine F’ si ha S ' = kS .
Dim. Analogamente al teorema precedente possiamo limitarci al caso in cui c1 = c 2 = 0 e, analogamente, provare la tesi solo nel caso di triangoli rettangoli in quanto ogni triangolo è suddivisibile in
due triangoli rettangoli. Inoltre possiamo supporre che i cateti del triangolo dato giacciano sugli
1
assi coordinati. Pertanto, posto A = ( x1 ,0) e B (0, y 2 ) , segue S = x 1 y 2 , A' ( a1 x1 , a 2 x1 ) e
2
B' ( b1 y1 , b2 y1 ) . Vediamo tre diverse dimostrazioni del teorema, di cui solo le prime due presentabili
in classe secondo i programmi svolti (del triennio), mentre l’ultima utilizza gli integrali doppi.
3
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1. L’area di un triangolo è data dalla seminorma del prodotto vettoriale. Pertanto
S'=
1
( a1b2 − a 2 b1 ) x1 y 2 = 1 k S .
2
2
2. Poiché il coefficiente angolare della retta 0A' è m1 =
a2
b2
e quello della retta 0B' è m 2 =
, posto
a1
b1
α = A'0̂ B' , si ha
tan α =
m2 − m1 a1b2 − a 2 b1
=
1 + m1 m2 a1 a 2 + b1b2
Dalla formula
sin α =
tan α
1 + tan 2 α
±
essendo sin α > 0 si ottiene
a1b2 − a 2 b1
sin α =
Dalla formula S =
a12 a 22 + b12 b22 + a12 b22 + a 22 b12
.
1
0 A' ⋅ OB' sin A' Oˆ B' , svolgendo i calcoli, si ha la tesi.
2
3. Indicato con J lo jacobiano della trasformazione, si ha


J = det 



∂X
∂x
∂Y
∂x
∂X
∂y
∂Y
∂y


 = det  a1
a

 2


b1 
 = a1b2 − a 2 b1
b2 
da cui segue
S'=
∫ ∫ dXdY = ∫ ∫
F'
J dxdy = k S
F
Pertanto è costante il rapporto fra le aree di una regione e quella della sua trasformata.
Il risultato precedente permette di dimostrare facilmente che l’area della regione racchiusa da
un’ellisse di semiassi a e b è data dalla formula S = π ab . Infatti si considerino il cerchio C di centro l’origine e raggio a, e il quadrato ad esso circoscritto, Q. Il rapporto fra le aree è
r=
S (C ) π a 2 π
=
= .
S (Q ) 4 a 2 4
4
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Sia T l’affinità definita da:
X = x


b
 Y = a y
Allora T(Q) è il rettangolo R centrato nell’origine di lati 2a e 2b, mentre T(C) è la regione interna
all’ellisse. Pertanto risulta
S = S ( R )r = 4ab
π
= π ab.
4
Definizione 2.6 Un figura F si dice convessa se, per ogni coppia di punti A, B ∈ F , il segmento AB
è interamente contenuto in essa.
Ad esempio il cerchio è convesso, mentre non lo è la circonferenza. Poiché in un’affinità i segmenti
si trasformano in segmenti, la convessità è una proprietà invariante delle affinità.
Vediamo alcuni esercizi che possono essere inseriti all’interno di un percorso scolastico.
Esempio 1. Data l’affinità T di equazioni
 X = 2x + 3y + 1

 Y = x− y
il trapezio rettangolo di vertici A(1,1) , B(5,1) , C (2,3) e D (1,3) , il rettangolo di vertici ABED ove
E (5,3) , calcolare:
• i rispettivi trasformati (nella figura il trapezio e il suo trasformato),
• le aree delle figure piane date
• le aree delle figure trasformate.
Verificare le proprietà delle affinità e, poi, introdurre tali trasformazioni in generale.
Figura 1
Esempio 2. Data l’affinità T di equazioni
5
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 X = x+ y
 x = 2X − Y
da cui si ricava 

 Y = x + 2y
y= Y− X
e calcoliamo T(C) ove C è il cerchio di centro l’origine e raggio unitario, ossia di equazione
x ² + y ² = 1.
Sostituendo, si ottiene
5 X 2 + 2Y 2 − 6 XY = 1
che rappresenta un’ellisse ruotata, come è evidenziato nella figura 2.
Figura 2
Osserviamo che riconoscere il carattere di una conica ruotata esula dai programmi scolastici, ma
con l’utilizzo di un software idoneo, si possono rappresentare graficamente, anche senza saper fare i
relativi calcoli algebrici. Studiare il carattere della forma quadratica non sarebbe sufficiente, ma
possiamo elencare alcuni esempi, pensati al fine di ampliare l’argomento:
1
1) l’equazione x ² − xy − 2 y ² = 0 rappresenta le rette y = − x e y = x ;
2
x
²
−
xy
−
2
y
²
=
1
2) l’equazione
rappresenta l’iperbole in figura 3;
2
3) l’equazione x − 2 xy + y ² − y = 0 rappresenta la parabola in figura 4;
4) l’equazione x 2 − 2 xy + y ² = 0 rappresenta la retta y = x contata due volte.
Figura 3
6
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Figura 4
Osserviamo che l’iperbole può essere vista come ottenuta dalla deformazione di una coppia di rette,
mentre la parabola può essere ottenuta piegando una retta. Infatti notiamo che le equazioni 1) e 2)
hanno la stessa forma quadratica e così pure le equazioni 3) e 4). La differenza, da un punto di vista
algebrico, è che nei casi 1) e 4) la matrice associata alla conica è degenere. Infatti, data una conica
nella forma
γ : a11 x ² + 2a12 xy + a 22 y 2 + 2a13 x + 2a 23 y + a33 = 0 ,
si costruiscono la matrice associata alla conica
 a11

A1 =  a12
a
 13
a12
a 22
a 23
a13 

a 23 
a33 
e quella associata alla forma quadratica
a
A =  11
 a12
a12 
.
a 22 
Allora se det ( A1 ) = 0 , la conica è degenere, quindi, se è a punti reali, rappresenta una coppia di rette. Se la conica non è degenere, siano λ 1 , λ 2 gli autovalori della matrice A, allora:
 se λ 1λ 2 < 0 si ha un’iperbole,
 se λ 1λ 2 > 0 si ha un’ellisse (da verificare se a punti reali),
 se esiste λ = 0 si ha una parabola.
Inoltre se λ 1λ 2 ≠ 0 , in un opportuno sistema di riferimento, la conica assume la forma
λ 1 X 2 + λ 2Y 2 = δ
ove
δ = −
det ( A1 )
.
λ 1λ 2
3. Similitudini e omotetie.
Definizione 3.1 Si definisce similitudine la trasformazione del piano che conserva il rapporto fra
ogni segmento ed il suo trasformato; tale rapporto si dice rapporto di similitudine.
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Le similitudini sono un caso particolare di affinità e studiamo la struttura delle corrispondenti matrici. Dalla definizione, segue che la similitudine conserva anche gli angoli e, quindi, anche la perpendicolarità. Le equazioni, in forma vettoriale, risultano
 X   a1
  = 
 Y   a2
b1  

b2  
x   c1 
+  
y   c 2 
con le condizioni:
a1b1 + a 2 b2 = 0 ∧
Si prova che il rapporto di similitudine è ρ =
a12 + a 22 = b12 + b22 .
a ² + b² .
Definizione 3.2 Fissato λ ≠ 0 , si definisce omotetia di centro C = (α , β ) e rapporto λ la trasformazione del piano che, ad ogni vettore P − C associa il vettore P '− C = λ ( P − C ) . L’omotetia si
dice diretta se λ > 0 , in caso contrario inversa. Se λ > 1 , l’omotetia viene detta dilatazione, se
λ < 1 contrazione.
Pertanto le omotetie rappresentano un sottoinsieme delle similitudini e ogni similitudine può essere
ottenuta dalla composizione di una omotetia e di un’isometria (come definita nel paragrafo seguente). La matrice associata è diagonale cioè del tipo
 λ 0

 .
0 λ
4. Le isometrie
Definizione 4.1 Si definisce isometria ogni trasformazione del piano che mantiene inalterate le lunghezze.
Come noto, le isometrie mantengono, conseguentemente, anche gli angoli e possono essere viste
come una particolare similitudine con rapporto ρ = 1. Pertanto le equazioni delle isometrie sono dei
seguenti tipi:
 X = x cos(α ) y sin(α ) + p

 Y = x sin(α ) ± y cos(α ) + q
Osserviamo che comprendono le roto-traslazioni. Infatti si hanno:




le traslazioni se α = 0 ,
le rotazioni se p = q = 0 ,
la simmetria centrale di centro C = ( p, q ) se α = π ,
l’identità se α = 0 ∧ p = q = 0 .
In particolare la simmetria assiale rispetto all’asse x ha equazione
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X = −x

 Y= y
mentre rispetto all’asse y ha equazione
 X = x

Y = − y
Le simmetrie assiali rispetto ad assi paralleli agli assi coordinati possono essere viste come composizione di una traslazione e di una simmetria rispetto agli assi coordinati.
Invece nel caso di simmetria rispetto a rette non parallele agli assi la trasformazione complessiva
comprenderà anche una rotazione. Quindi cerchiamo le equazioni delle simmetrie assiali rispetto ad
una retta r non parallela agli assi, cioè del tipo y = mx + p con m ≠ 0 . Innanzitutto operiamo una
traslazione nel punto P = (0, p ) . Pertanto segue
X = x

Y = y − p
Ruotiamo gli assi in modo che l’asse X coincida con la retta r e, quindi la rotazione è secondo l’angolo α = arctan(m) e poi concludiamo con la simmetria rispetto al nuovo asse delle ascisse.
Possiamo riassumere le trasformazioni geometriche viste con il seguente schema:
Vediamo alcune applicazioni delle trasformazioni geometriche ai grafici delle funzioni
5. Grafici di funzioni e simmetrie.
Definizione 5.1 Sia data f : D → R . Allora f si dice dispari se ∀ x ∈ D si ha f ( x) = − f (− x) , cioè
se è simmetrica rispetto all’origine; si dice pari se ∀ x ∈ D si ha f ( x) = f (− x ) , cioè se è simmetrica rispetto all’asse y.
Studiamo l’eventuale esistenza di un centro di simmetria. In generale nel piano sia data la curva
grafico dell’equazione implicita f ( x, y ) = 0 . Allora cerchiamo se esiste un punto P ( xC , y C ) rispetto a cui la curva sia dispari.
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Esempio 3. Sia data la curva di equazione y = x 3 − 4 x 2 + 4 x rappresentata in figura e determiniamo
algebricamente il centro di simmetria P ( xC , y C ) .
Pertanto eseguiamo una traslazione di assi nel punto P, ottenendo
 x = X + xC
.

 y = Y + yC
Sostituendo, risulta
3
2
Y + y C = ( X + xC ) − 4( X + xC ) + 4( X + xC )
da cui, imponendo la condizione che la funzione sia dispari rispetto alle nuove coordinate, segue
( X + xC ) 3 − 4( X + xC ) 2 + 4( X + xC ) − y C = − ( − X + xC ) 3 + 4( − X + xC ) 2 − 4( − X + xC ) + yC
3
2
Pertanto, semplificando e ricordando che il punto P giace sulla curva ovvero y C = xC − 4 xC + 4 xC , si
 4 16 
conclude P =  ,  .
 3 27 
Osserviamo che, in generale, se P ( xC , y C ) è il centro di simmetria, denotate con X e Y le nuove
coordinate, possiamo considerare P come il punto medio fra i punti generici delle curve ( x, y ) e
( X , Y ) cioè
x+ X

 xC = 2

 y = y+ Y
 C
2
da cui si ha
 x = 2 xC − X

 y = 2 yC − Y
che sostituite, forniscono l’equazione della nuova curva.
Esempio 4. Data la parabola di equazione y = x ² , si determini il grafico simmetrico rispetto al punto P ( 3,2).
Svolgendo i calcoli come sopra descritto proviamo che la curva richiesta è la parabola di equazione
y = − x 2 + 12 x − 32 ; i grafici sono rappresentati nella figura sottostante.
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6. Grafici di funzioni e rotazioni.
Nel primo esempio vediamo la trasformazione dell’equazione di una conica con una rotazione; nel
secondo utilizziamo le formule di rotazione degli assi per ridurre una conica in forma canonica nel
caso in cui i suoi assi di simmetria non siano paralleli a quelli coordinati.
Esempio 5. Sia data l’ellisse di centro l’origine e semiassi a = 1 e b = 2 e si consideri la rotazione
π
dell’angolo α = . Pertanto l’equazione data è 4 x ² + y ² = 4 . Dalle formule di rotazione si ha
6
 X   cos α − sin α   x  1  3 − 1   x 
  
  = 
  = 
cos α   y  2  1
3   y 
 Y   sin α
da cui si ha



x 1  3
 = 
y  2  − 1
1  X 
  
3   Y 
Sostituendo segue
2
2
 3
 1
1 
3 
4
X + Y  +  − X +
Y  = 4
2
2
2
2




da cui concludiamo
13 X 2 + 6 3 XY + 7Y 2 − 16 = 0 .
Esempio 6. Data la conica di equazione 13 x 2 + 6 3 xy + 7 y 2 − 16 = 0 , si determinino i suoi assi di
simmetria.
Applichiamo le formule di rotazione degli assi, ottenendo
 x   cos α − sin α   X   cos α ⋅ X − sin α ⋅ Y 
  = 
  = 

cos α   Y   sin α ⋅ X cos α ⋅ Y 
 y   sin α
da cui, sostituendo e imponendo la condizione che il coefficiente del termine XY sia nullo, risulta
3 cos( 2α ) − sin ( 2α ) = 0 , da cui si conclude α = 30° .
Sostituendo il valore trovato nell’equazione data, si ha
(
)
2
(
)(
13 3 x − y + 6 3 3 x − y x +
) (
3y + 7 x +
)
2
3 y − 64 = 0
che, semplificata, diventa 4 x 2 + y 2 = 4 ; è l’equazione dell’ellisse iniziale.
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7. Grafici di funzioni trasformati secondo un’affinità.
π 

Esempio 7. Tracciare il grafico della funzione y = − 3 sin  2 x −  .
3

Consideriamo la funzione Y = sin X e sia T l’affinità definita da
π

 X = 2 x − 3

Y = − 1 y

3
Pertanto l’affinità T trasforma il grafico della funzione Y = sin X nel grafico richiesto. Quindi, per
ottenere il grafico richiesto, tracciamo i grafici delle funzioni elencate:
1) y = sin(x) ,
π 
π

2) y = sin  x −  ottenuta traslando la 1) verso destra di ,
6
6

 
π 
3) y = sin  2 x −   ottenuta dalla 2) con la contrazione delle ascisse secondo il fattore 2,
6
 
π 

4) y = 3 sin  2 x −  ottenuta dalla 3) con la dilatazione delle ordinate secondo il fattore 3,
3

π 

5) y = − 3 sin  2 x −  ottenuta dalla 4) con la simmetria rispetto all’asse delle ascisse.
3

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8. Un’applicazione della simmetria assiale: lo specchio parabolico.
Uno specchio parabolico convoglia nel fuoco tutti i raggi incidenti che giungano parallelamente
all’asse dello specchio.
Per dimostrarlo utilizziamo un sistema di assi cartesiani con il vertice nell’origine e l’asse delle ordinate coincidente con l’asse della parabola che rappresenta lo specchio. Pertanto la parabola ha
equazione y = ax 2 con a > 0. Consideriamo un raggio incidente in un punto P = ( x 0 , y 0 ) . La retta
tangente alla parabola in P ha equazione
y = 2ax 0 x − ax 02
e la normale ha equazione
1
1
y= −
x+
+ ax 02
2ax 0
2a
Per la proprietà della riflessione, l’angolo incidente e l’angolo riflesso sono uguali. Osserviamo che,
se P coincide con il vertice non vi è nulla da dimostrare. Altrimenti l’angolo di incidenza è dato da
1
î = − arctan
2ax 0
Quindi l’equazione della retta che rappresenta il raggio riflesso ha coefficiente angolare m tale che
1
1 − tan 2 î 4a 2 x 02 − 1
π

m = tan  + 2î  = − cot 2î = −
= −
=
4ax 0
tan 2î
2 tan 2î
2

Pertanto il raggio riflesso ha equazione
4a 2 x 02 − 1
1
y=
x+
4ax 0
4a
( )
( )
()
( )
 1 
quindi passa per il fuoco F =  0,  . Il grafico riportato
 4a 
illustra quanto descritto.
Lo specchio parabolico viene utilizzato nei fari delle
auto e delle moto. Infatti i raggi luminosi incidenti, che
giungono paralleli all’asse del faro, vengono convogliati
in un unico punto.
Facendo ruotare la parabola attorno al suo asse, si ottiene un paraboloide di rotazione. Posto l’asse z coincidente con l’asse della parabola e supponendo che la parabola abbia equazione y = ax 2 , il paraboloide ottenuto ha
equazione z = a ( x 2 + y 2 ) . Questa superficie è il modello
matematico delle antenne satellitari, dette comunemente
“parabole”. Infatti la loro orientazione permette ai segnali provenienti dai satelliti artificiali in orbita geostazionaria di giungere all’antenna secondo una traiettoria rettilinea e, quindi, di venir convogliati nel
punto corrispondente al fuoco per essere poi trasmessi al ricevitore.
13
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9. Strutture algebriche e trasformazioni geometriche.
Richiamiamo le definizioni di struttura algebrica ed in particolare di gruppo.
Definizione. Siano A un insieme e sia ϕ : AxA → A un’applicazione. Allora ϕ : AxA → A si definisce legge di composizione in A e scriviamo ϕ (a, b) = a  b ; ϕ si dice associativa se, per ogni
a , b, c ∈ A , risulta (a  b)  c = a  (b  c) . L’insieme A, dotato della legge di composizione ϕ, si definisce monoide. Se esiste un elemento e ∈ A tale che a  e = e  a per ogni a ∈ A , allora e si definisce identità e A si dice monoide con identità.
Definizione.. Si dice che a ∈ A è invertibile se esiste un (unico) elemento b, indicato, rispettivamente, con − a oppure a − 1 tale che a  b = b  a = e .
Definizione. Un monoide A si definisce gruppo se verifica le seguenti proprietà:
• esiste un’unica identità,
• ogni elemento a ∈ A è invertibile.
Si definisce commutativo se, per ogni coppia di elementi a , b ∈ A risulta a  b = b  a .
Con ovvie notazioni, segue che sono gruppi commutativi:
1.
2.
3.
4.
5.
le affinità,
le similitudini,
le isometrie,
le traslazioni,
le rotazioni di centro O.
1. È evidente che le affinità formano un gruppo. Infatti, date le equazioni,
 X = a 1 x + b 1 y + c1

 Y = a 2x + b2 y + c2
la condizione a 1 b 2 − a 2 b1 ≠ 0 equivale ad avere il determinante della matrice non nullo e, quindi, è una matrice invertibile. In forma matriciale data l’affinità definita da
 X
 x  p
  = A  +   con A =
Y
 y  q 
 a1

 a2
b1 

b2 
Pertanto l’affinità inversa è data da



x
 X − p
 = A − 1 
 .
y
 Y− q
2. Si verifica subito che le similitudini formano un gruppo commutativo procedendo in modo analogo a quanto visto per le affinità.
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Invece non esiste il gruppo delle omotetie, ma quello “delle omotetie e delle traslazioni” in
quanto il prodotto di due omotetie può essere una traslazione. Infatti sia data l’omotetia σ di
centro l’origine equazioni
 x ' = kx
σ : 
 y' = ky
e sia data l’omotetia ϕ di centro P (a, b) definita da

 x '− a =
ϕ : 
 y'− b =

1
(x − a )
k
1
( y − b)
k
Quindi la trasformazione ϕ  σ è definita dalle equazioni
1

 x ' = a + k (kx − a )

 y' = b + 1 (ky − b)

k
 x ' = x + ha
ossia 
 y' = y + hb
ove h = 1 −
1
k
che è una traslazione secondo il vettore v = (ha , hb) .
3. E’ evidente che le isometrie formano un gruppo commutativo. Vediamo il caso particolare delle
simmetrie.
Dimostriamo che le simmetrie ad assi perpendicolari formano un gruppo commutativo, studiando il prodotto di due di esse. Il risultato che si ottiene è una simmetria centrale di centro il punto
di intersezione degli assi considerati. Per vedere che si tratta di una simmetria centrale basta
pensare che gli assi siano quelli cartesiani; in tal caso si opera una simmetria prima rispetto ad
un asse poi all’altro e si verifica che si ottiene la simmetria rispetto all’origine. E’ importante
notare che la trasformazione ottenuta non dipende dalla scelta delle due perpendicolari, ma soltanto dal punto O della loro intersezione; pertanto è la simmetria centrale di centro O.
Inoltre le simmetrie centrali possono essere viste come rotazioni di 180° e, viceversa ogni rotazione può essere ottenuta come prodotto di due simmetrie assiali ad assi concorrenti (basta che
l’angolo formato dagli assi sia la metà dell’angolo di rotazione).
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Tuttavia non tutti i tipi di trasformazioni geometriche danno origine ad un gruppo. Infatti componendo due simmetrie ad assi paralleli si ottiene una traslazione di ampiezza doppia della distanza fra gli assi. Pertanto ogni traslazione si può considerare il prodotto di due simmetrie ad
assi paralleli. Inoltre la composizione di una simmetria assiale con una traslazione dà origine a
una trasformazione detta glissosimmetria.
4. Dimostriamo che le traslazioni formano un sottogruppo delle isometrie. Infatti sia t v la traslazione definita dal vettore v e sia t w quella definita dal vettore w. Allora:
• l’elemento nullo è rappresentato dalla traslazione nulla,
• la traslazione t v + w = t v  t w è definita dal vettore somma v + w ,
• l’elemento inverso è la traslazione t − v .
5. Il prodotto di due rotazioni con lo stesso centro O è una rotazione ancora di centro O; pertanto
l’insieme delle rotazioni di centro O è un gruppo. Inoltre fissata una rotazione R, le sue potenze
R 2 , R 3 , R − 1 ,… formano un gruppo. Se l’ampiezza della rotazione R è la n-esima parte dell’angolo giro, questo gruppo ha n elementi. Più in generale, se il rapporto tra l’ampiezza di rotazione e quella di un angolo giro è un numero razionale, il gruppo ha un numero finito di elementi;
in caso contrario il gruppo ha infiniti elementi essendo le potenze di R tutte distinte l’una dall’altra.
10. Punti fissi delle isometrie
Un punto P si dice punto fisso di una trasformazione f del piano se f ( P ) = P . Un’altra classificazione delle isometrie del piano è quella fatta in base al luogo dei loro punti fissi.
Proposizione. Se un’isometria lascia fissi 3 punti non allineati, essa lascia fissi tutti i punti del piano ed è perciò l’identità.
Un’isometria che lasci fissi due punti distinti lascia fissa tutta la retta passante per essi; pertanto è
l’identità o la simmetria rispetto alla retta.
Data una retta a indichiamo con σ a la simmetria attorno alla retta a. Cerchiamo i punti fissi della
isometria ottenuta componendo due simmetrie. Abbiamo:
Proposizione. Siano a e b due rette distinte del piano. Se esse sono incidenti, il loro punto comune
O è l’unico punto fisso dell’isometria σ a  σ b . Se esse sono parallele allora l’isometria σ a  σ b
non ha punti fissi.
Dimostrazione. Dimostriamo che O è un punto fisso dell’isometria σ a  σ b . Infatti risulta
σ a ( O )  σ b ( O ) = O da cui segue σ a (σ b (O)) = σ a (O) = O . Per vedere la seconda parte, supponiamo che P sia un punto fisso dell’isometria σ a  σ b . Sia Q = σ b (P) . Se P=Q, allora P ∈ b perché
i punti lasciati fissi dalla simmetria σ b sono tutti e soli i punti della retta b. Inoltre, poiché
P = σ a (σ b ( P)) = σ a (P) , il punto P è lasciato fisso anche dalla simmetria σ a e dunque P ∈ a .
Quindi le rette a e b hanno in comune il punto P ed essendo distinte sono incidenti in P. Se fosse
P ≠ Q , allora la b sarebbe l’asse del segmento PQ. Analogamente per la retta a e quindi dovrebbero coincidere, contro l’ipotesi che fossero distinte.
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Vediamo che la rotazione di centro O può essere considerata come composizione di due simmetrie
intorno a rette passanti per O. Pertanto, diversamente da quanto abbiamo fatto, si possono porre le
seguenti definizioni:
Sia O un punto del piano. Definiamo rotazione di centro O la composizione di due simmetrie assiali intorno a rette passanti per O. Definiamo traslazioni le composizioni di due simmetrie intorno a
rette parallele.
Osserviamo che sia nella definizione delle rotazioni intorno ad un centro O che in quella delle traslazioni non si è esclusa la possibilità di effettuare le due simmetrie intorno alla stessa retta: ciò permette di considerare l’identità sia come una rotazione (rotazione nulla rispetto a qualsiasi centro),
che come traslazione (traslazione nulla).
Definizione. Definiamo antitraslazione la composizione della simmetria assiale rispetto ad una retta e di una rotazione non nulla.
Proposizione. Le antitraslazioni sono isometrie prive di punti fissi.
Si ha il seguente risultato che non dimostriamo.
Proposizione. Ogni isometria del piano appartiene ad uno solo dei seguenti tipi:
• l’identità;
• simmetrie rispetto ad una retta;
•
•
•
rotazioni proprie, che sono composizioni di due simmetrie rispetto a rette incidenti;
traslazioni proprie, che sono composizioni di due simmetrie rispetto a rette parallele distinte;
antitraslazioni, che sono composizioni di una simmetria e di una rotazione rispetto ad un centro non appartenente all’asse del ribaltamento.
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11. Le trasformazioni geometriche negli Esami di Stato di Liceo Scientifico.
In questo paragrafo esaminiamo alcuni dei quesiti che sono stai proposti negli Esami conclusivi di
Scuola Secondaria di secondo grado per il Liceo Scientifico, in corsi di ordinamento oppure sperimentali: Piano Nazionale Informatica e Brocca indirizzo Scientifico Tecnologico.
1) Ordinamento – 2004 – Problema 1 (estratto)
Sia f la funzione definita da: f ( x) = 2 x − 3 x 3 .
1. Disegnate il grafico G di f.
2. Determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta y =
4
.
9
Soluzione
1. La funzione f ( x) = 2 x − 3 x 3 è definita in tutto l’asse reale e si mostra che il grafico è come
in figura.
 4
2. Osserviamo che, per ogni x, il punto  x,  è il punto medio del segmento di estremi
 9
( x, f ( x) ) e ( x, g ( x) ). Pertanto si ha f ( x) + g ( x) = 4 da cui g ( x) = 8 − f ( x) = 3x 3 − 2 x + 8 .
2
9
9
9
2) Sperimentali - 2004 – Quesito 3. Un solido viene trasformato mediante una similitudine di
rapporto 3. Come varia il suo volume? Come varia l'area della sua superficie?
Soluzione
Indicati, rispettivamente, con V ed A il volume e l’area della superficie del solido dato e con V’
e A’ quelli del solido trasformato, si ha V ' = 27V e A'= 9 A
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3) Sperimentali - 2004 – Quesito 10. Nel piano è data la seguente trasformazione:
x→ x 3− y
y → x+ y 3
Di quale trasformazione si tratta?
Soluzione
Per semplicità, indichiamo le nuove coordinate con x’ e y’. Allora il sistema dato può essere riscritto nella forma


 3
1 
x − y 

 x' = 2
2 
 x' = 3 x − y 
 2
≡ 

 y ' = x + 3 y  y ' = 2 1 x + 3 y 
2


2 



Pertanto è la composizione di una dilatazione secondo il fattore 2 lungo entrambi gli assi e di
una rotazione di un angolo di 30° in senso antiorario; la trasformazione risultante è, quindi, una
similitudine con rapporto k = 2.
La soluzione può essere svolta anche in modo alternativo. Siano e1 = (1,0) ed e 2 = ( 0,1) i versori degli assi coordinati. Indicata con σ la trasformazione si ha σ ( e1 ) = 3 ,1 e
(
(
)
)
σ ( e 2 ) = − 1, 3 . Poiché σ ( e1 ) ⊥ σ ( e 2 ) ed inoltre σ ( e1 ) = σ ( e1 ) = 2 , la trasformazione data
conserva gli angoli ed è una dilatazione secondo il fattore 2; pertanto è una similitudine con
k = 2.
4) Sperimentali - 2005 – Quesito 3. Si determinino le equazioni di due simmetrie assiali σ e ϕ la
cui composizione σ  ϕ dia luogo alla traslazione di equazione:
 x' = x + 5

 y' = y − 5
Si determinino poi le equazioni della trasformazione che si ottiene componendo le due simmetrie in ordine inverso ϕ  σ .
Soluzione
(
)
Il vettore della traslazione risulta v = OO' dove O' = 5 ,− 5 da cui d = v = 2 5 ; inoltre la
retta OO' è la bisettrice del II e IV quadrante. Quindi, poiché componendo due simmetrie assiali ad assi paralleli si ottiene una traslazione di ampiezza doppia della distanza fra gli assi, consideriamo le simmetrie assiali rispetto alle rette, indicate con a e b, parallele alla bisettrice del I e
 5
 3 5 3 5
5
 e B= 

,−
III quadrante, passanti per i punti A = 

 4 ,− 4  . Pertanto gli assi di
4
4




simmetria sono le rette:
a: y = x −
5
2
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Laura Recine – SSIS 2006/07
3 5
.
2
La retta r, passante per P0 = ( x 0 , y 0 ) e parallela al vettore v , ha equazione:
r: y = − x + x 0 + y 0 .
Indicati, rispettivamente con H e K i punti di intersezione di r con a e b,, si ha:
 x + y0
5 x 0 + y0
5

H =  0
+
,
−
2
4
2
4 

 x + y0 3 5 x 0 + y0 3 5 
.
K =  0
+
,
−
2
4
2
4 

Il punto simmetrico di P0 rispetto all’asse a è P1 = ( x 1 , y1 ) tale che H sia il punto medio del
b: y = x −

5
5
 . Quindi la simmetria assiale ϕ è defini, x0 −
segmento P0 P1 , da cui segue P1 =  y 0 +

2
2


ta dalle equazioni:

5
 x 1 = y +
2
ϕ : 
y = x− 5
 1
2
Analogamente la simmetria assiale σ è definita dalle equazioni:
Si verifica che σ ( ϕ ( P0 ) ) =
(
)

3 5
 x 1 = y +
2
σ : 
3
5
y = x−
 1
2
5 ,− 5 . Applicando le trasformazioni ϕ e σ in senso inverso si

3 5
3 5  
 = x − 5 , y + 5 , da cui segue che la trasformazione ot,x −
ha ϕ ( σ ( P0 ) ) = ϕ   y +

2
2


tenuta è traslazione simmetrica di quella data, ovvero ha equazione:
 x" = x − 5

 y" = y + 5
Il grafico sotto riportato evidenzia quanto esposto.
(
)
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5) Sperimentali - 2005 – Quesito 6. Le rette r e s d’equazioni rispettive y = 1+ 2 x e y = 2 x − 4 si
corrispondono in una omotetia σ di centro l’origine O. Si determini σ .
Soluzione
Si tratta di un’omotetia di centro l’origine con costante k < − 1 . Per determinare tale parametro
consideriamo il punto P = ( 0,1) ; la sua immagine è il punto P' ( 0,− 4 ) . Quindi si ha k = − 4. Pertanto σ è definita da
 x' = − 4x
σ : 
 y' = − 4 y
Verifichiamo che le rette r e s si corrispondono in σ . Infatti ogni punto di r è del tipo
A = ( x ,2x + 1) , il cui corrispondente è A' = ( − 4 x,− 8x − 4 ) che giace sulla retta s. Concludiamo
con il relativo grafico.
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