COVERSIONE DEL CAPITALE IN UNA RENDITA VITALIZIA

COVERSIONE DEL CAPITALE IN UNA RENDITA VITALIZIA RITARDATA
A cura di Luca Buratto
Introduzione
L’art. 1882 del Codice Civile stabilisce che «L’assicurazione è il contratto con il quale
l’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l’assicurato, entro i limiti
convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al
verificarsi di un evento attinente alla vita umana».
Esistono vari tipi di assicurazione:
− Caso morte: il pagamento è subordinato alla morte dell’assicurato
−
Caso vita: il pagamento è subordinato alla esistenza in vita dell’assicurato. I prodotti sono
l’assicurazione di capitale differito e la rendita vitalizia.
− Caso misto: combinazione di assicurazione caso vita e caso morte.
I termini del contratto, la scadenza, l’ammontare dei premi e dei capitali sono riportati sulla polizza
di assicurazione. Chi stipula il contratto è detto contraente, colui che usufruisce della rendita è detto
beneficiario e colui che è esposto ad un certo rischio è detto assicurato. Nel nostro caso il rischio
contro cui ci si assicura è quello di morire, essendo una assicurazione caso vita.
Dicevo prima che fra i prodotti assicurativi del ramo vita troviamo le rendite vitalizie: in generale
una rendita, dal punto di vista di chi la compra, è una successione di importi (rate) pagati in
prefissati e regolari istanti temporali (scadenze) a condizione che un soggetto (assicurato) sia in vita
in tali istanti. L’aggettivo vitalizia indica che le rate proseguiranno fino alla morte dell’ assicurato.
La frequenza di pagamento delle rate può essere mensile, trimestrale, semestrale o annuale.
Esistono sia rendite vitalizie volontarie, che sono acquistate come conseguenza di una scelta
individuale, sia le pensioni: queste ultime sono pagate ad una persona come conseguenza della sua
appartenenza a un fondo pensioni aziendale oppure sono acquistate in base a degli obblighi di legge.
Ci sono molte possibili classificazioni delle rendite vitalizie:
- rispetto all’assicurato
•
rispetto alla durata: rendite temporanee o illimitate
•
rispetto all’inizio del pagamento o riscossione: rendite immediate o differite
•
rispetto all’entità della rata: rata costante o variabile
- rispetto all’assicuratore
•
rendita anticipata: le rate sono versate all’inizio del periodo
•
rendita posticipata: le rate sono versate alla fine del periodo
Nel mio progetto ho considerato solo le rendite vitalizie immediate posticipate con rate costanti.
In generale il valore attuale di una rendita dipende da un tasso di interesse, dalla durata della rendita
e dall'importo delle rate. Ma nel caso di rendite vitalizie il valore attuale dipende anche dalla
probabilità di sopravvivenza dell'individuo assicurato che dipende dal sesso e dall'età di
quest'ultimo. Nella matematica attuariale si dà la nozione di base tecnica. Essa corrisponde al
valore di un tasso di interesse i e dalla scelta di una tavola di mortalità (life table) fra le cinque
possibili tavole: LT1 è una tavola di popolazione; rappresenta una scelta prudenziale per
assicurazioni con beneficio caso morte. LT2 e LT3 sono tavole di mercato relative alla mortalità di
assicurati; il processo di selezione qui è più severo di quello sottostante a LT2. LT4 e LT5 sono
1
tavole di generazione, estratte da tavole proiettate; rappresentano ipotesi di miglioramento della
mortalità, rispettivamente più debole e più forte; sono da adottare per rendite vitalizie. Una base
tecnica di primo ordine (prudenziale) ha un tasso i minore del tasso stimato di rendimento degli
investimenti ed ha una tavola di mortalità dipendente dal tipo di benefici (nel caso vita ha le
probabilità di sopravvivenza più elevate). Il motivo dell'utilizzo di questa base tecnica è quello di
fornire una valutazione prudenziale nel calcolo del valore attuale. C’è poi una base tecnica di
secondo ordine (realistica).
Nel mio progetto le rendite sono calcolate con una base tecnica realistica (indicata con l'apice ').
La mutualità è il principio imprescindibile di tutte le assicurazioni. Dice che gli assicurato si aiutano
a sopportare gli effetti di un sinistro (incidente, malattia,..) . Stipulando un contratto assicurativo
l'assicurato si impegna a partecipare al costo complessivo dei sinistri di tutti gli assicurati del suo
portafoglio, e l'assicuratore a farsi carico delle conseguenze del sinistro capitato all'assicurato
individuale.
Le tavole di mortalità sono uno strumento per analizzare il fenomeno della mortalità; per le
assicurazioni sono fondamentali. Su queste tavole sono calcolate delle grandezze per ogni età x,
differenziate per sesso, riporto qui quelle fondamentali:
•
lx sono i sopravviventi. Si tratta di coloro che, provenienti da una generazione iniziale fittizia
di 100.000 nati, sopravvivono ai vari compleanni.
•
qx probabilità di morte. Si tratta di coloro che, provenienti da una generazione iniziale
fittizia di 100.000 nati, hanno probabilità qx di morire tra i compleanni x e x+1.
•
dx numero dei decessi. Si tratta di coloro che muoiono tra il compleanno x e il compleanno
x+1.
Il primo foglio Excel del mio progetto rappresenta una tavola di mortalità dell'anno 2002.
Presentazione della situazione :
Suppongo ci sia una persona in età prossima a quella pensionabile, la cui rata della pensione risulta
insufficiente per le sue esigenze. Immagino che egli disponga di un certo ammontare che è il
risultato di un processo di accumulazione effettuato durante la sua attività lavorativa. Terminata
questa, egli potrebbe scegliere di convertire l’intero importo accumulato per acquistare una rendita
vitalizia con una opportuna rata. In alternativa egli potrebbe aspettare un certo numero di anni,
durante i quali preleverebbe delle rate per vivere, e poi convertire l’ammontare rimastogli in una
rendita vitalizia, la quale però avrà per forza una rata inferiore rispetto quella della prima rendita, a
causa della perdita di mutualità. Quest'alternativa è possibile ripeterla più volte.
Nel mio progetto l'ho ripetuta due volte soltanto.
Per tale soggetto i vantaggi del ritardo sono una relativa liquidità del fondo e la possibilità per gli
eredi di disporre del fondo residuo in caso di morte dell’assicurato.
Mentre gli svantaggi del ritardo sono una perdita di mutualità durante il periodo stesso ed il rischio
causato da una possibile variazione nella base tecnica (sfavorevole all’assicurato) per le rendite
vitalizie. Il possibile cambio di tavola di mortalità può essere dovuto ad un inatteso miglioramento
della mortalità durante il periodo di ritardo. Infine è anche possibile una riduzione del tasso di
interesse.
Nel mio progetto assumerò che:
2
− il soggetto considerato vada in pensione nell'istante t=0 e che il momento ritardato di
conversione in rendita sia t=k nel primo caso, t=k1 nel secondo e t=k2 e t=k3 nel terzo in
quanto converte l'importo in due rendite.
− non ci sia alcun cambiamento nella tavola di mortalità
− il tasso di interesse della rendita al tempo 0 sia lo stesso della rendita al tempo k
L’obbiettivo del progetto è valutare la convenienza (eventuale) della conversione del capitale
accumulato al tempo 0 rispetto al tempo k in un caso, rispetto al tempo k1 in un altro caso,e rispetto
sia al tempo k1 che k2 nell'ultimo caso. Dunque calcolare la rata b di una rendita vitalizia
immediata posticipata confrontandola con quella di una o più rendite vitalizie immediate, ma
ritardata di qualche anno, a seconda dei casi.
Notazioni e formule
Le variabili usate sono:
Sesso
indica il sesso (m/f)
x
età dell’assicurato
S
importo di denaro, risultato del processo di accumulazione
i'
tasso di interesse della Base Tecnica
b
rata della rendita vitalizia immediata posticipata iniziata in 0 (costanti)
Poi abbiamo
g
tasso di interesse del fondo
k
tempo di differimento dall’istante 0
b1
importi prelevati dal fondo durante il periodo di differimento (costanti)
R
importo di denaro; ciò che rimane di S dopo i prelevamenti b(1)
b2
rata della rendita vitalizia immediata posticipata iniziata in k (costanti)
Ed infine
g1
tasso di interesse del fondo
k1
tempo di differimento dall’istante 0
b11
importi prelevati dal fondo durante il periodo di differimento (costanti)
k2
tempo di differimento dall’istante 0
b22
rata della rendita vitalizia immediata posticipata iniziata in k1(costanti)
b3
rata della rendita vitalizia immediata posticipata iniziata in k2(costanti)
La formula da cui ricavo il valore della rata b è S=b a ' x
2
La formula da cui ricavo il valore della rata b2 è R=b a ' x+k (2)
3
Nel caso di differimento di k anni la quantità R disponibile al tempo k è data da:
k
b1 ∑ (1+g )k−h
S (1+ g)k −
=R
⏟
⏟
h=1
(3)
valore nell ' istantek della sequenza di prelevamenti
importo nettodisponibile nell ' istantek
k
k
1
k−h
2
Sostituendo l'espressione di R dell'equazione (2) nella (3): S (1+g ) −b ∑ (1+ g) =b a ' x+k
h=1
Analoghe formule si ottengono per le altre variabili, con le dovute sostituzioni.
Nella figura qui sotto è rappresentata sinteticamente la prima situazione descritta sopra:
In quest'altra figura qui sotto sono rappresentate sinteticamente le altre due situazioni descritte
sopra:
Valori attuariali
Con il simbolo m E x , E come Endowment, indico il valore di una unità monetaria al tempo m se
l'assicurato (che ha età x) è in vita all'età x+m. Allora l'assicurazione di capitale differito con
4
−m
capitale unitario è m E x =(1+i ) m p x . Questo è il mattone base su cui costruiscono i prodotti
assicurativi. Il simbolo m p x indica la probabilità che un individuo di età x sopravviva fino all'età
x+m.
Riporto qui solo l'espressione utilizzata nel mio progetto: il valore di una rendita vitalizia illimitata
ω−x
posticipata che è a ' x = ∑ h E x . Essa corrisponde ad una sequenza di importi unitari pagabili
h=1
all'inizio di ciascun anno mentre l'assicurato è in vita.
Per poter utilizzare praticamente le formule della matematica attuariale sono stati introdotti dei
simboli che rendono (anzi rendevano, finché non sono arrivati i calcolatori) più agevole i calcoli
attuariali. Poiché li ho utilizzati nel mio progetto richiamo tali simboli:
Simboli di commutazione
Sfortunatamente questi simboli non godono di qualche interpretazione.
D x+h
h
x
D x =v l x
h E x =v h p x =
Dx
da cui ricavo
ω−x−1
N x =D x +D x+1+ D x+2 +...+D ω =
C x =v
x+1
∑
h=0
D x+h
(l x −l x+l )
ω−x−1
M x=
∑
h=0
C x+h
Dai simboli di commutazione ricavo le quantità che mi occorrono:
calcolo la rendita posticipata :
D +D x+2+...+D ω N x+1
a x =1 E x +2 E x +3 E x +...+ω− x E x = x+1
=
, la prima rata esigibile all'età x+1
Dx
Dx
v x+h l x+h D x+ h
=
h E x=
Dx
vxl x
Nel progetto ho utilizzato più volte queste formule per varie età x, ma basta sostituire x con (ad es)
x+k+1 per ottenere il risultato cercato, pertanto non le riporto.
Funzionamento del programma
Ho creato 5 Macro attraverso VBA. La prima chiamata “calcola_b” per calcolare la rata b della
rendita vitalizia che comincia in 0; la seconda chiamata “calcola_b2” per calcolare la rata della
rendita che comincia in k. Esse si usano nel foglio “Rend_vital”; la terza chiamata “calcola_b3” per
calcolare la rata della rendita che inizia in k2 oltre che quella rendita che inizia in k1. Infine altre 2
Macro per 'pulire' gli output generati sul foglio excel e i valori inseriti dall'utente: esso sono
rispettivamente “pulisci_output” e “pulisci_tutto”.
Calcola_b:
Dopo aver inserito per riga i valori per le variabili sesso ('m' o 'f'), x, S e i l'utente deve posizionarsi
sulla colonna “b=”, nella cella in corrispondenza alla riga con i valori appena inseriti.
Calcola_b2:
5
Dopo aver calcolato l'ammontare della rata b, l'utente inserisce i valori per le variabili g, k e b1.
Nota: L'assicurato di riferimento è lo stesso della rendita vitalizia, a parità di riga.
Calcola_b3:
Dopo aver calcolato l'ammontare della rata b, l'utente inserisce i valori per le variabili g1, k1, k2, b11,
R11.
Nota: L'assicurato di riferimento è lo stesso della rendita vitalizia, a parità di riga.
Nel foglio di lavoro Excel sono riportate più dettagliatamente le istruzione sull'uso del programma.
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