Programma svolto - Politecnico di Torino

POLITECNICO DI TORINO
Area di Ingegneria - Corsi di Laurea in Ingegneria Informatica, delle Telecomunicazioni e del Cinema
e dei Mezzi di Comunicazione
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA II, A.A. 2015/16, gruppo AA-LZ
Serie
Richiami sulle successioni – Successioni convergenti, divergenti, regolari, irregolari. Regolarità di
successioni monotone. Calcolo di limiti e simboli di Landau. Sottosuccessioni.
Serie numeriche – Introduzione al concetto di serie, definizioni, nomenclatura e simbologia.
Comportamento della serie geometrica ragione x e termine iniziale 1 (con dimostrazione). Serie di
Grandi. Serie di Mengoli e serie telescopiche.
Operazioni lineari sulle serie: serie multiplo e serie somma.
Proprietà generali delle serie: indipendenza del carattere da un numero finito di termini (con
dimostrazione), dipendenza della somma da tutti i termini, condizione di convergenza necessaria (con
dimostrazione) ma non sufficiente (con controesempio).
Serie a termini positivi (o di segno costante): monotonia delle somme parziali (con dimostrazione);
criterio del confronto (con dimostrazione) e del confronto asintotico (con dimostrazione); criterio della
radice (con dimostrazione) e del rapporto, esempi di indecidibilità; criterio integrale di McLaurin (con
cenno di dimostrazione grafica); comportamento delle serie armonica e armonica generalizzata (con
dimostrazione).
Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz; comportamento delle serie armonica a segni
alterni.
Serie a termini di segno qualsiasi: criterio di convergenza assoluta, sufficiente ma non necessario (con
controesempio); comportamento della serie esponenziale con parametro x qualsiasi (con
dimostrazione).
Successioni di funzioni – Convergenza puntuale: convergenza in un punto, convergenza su un
insieme, insieme di convergenza, funzione limite, caratterizzazione grafica. Comportamento della
successione geometrica di termine iniziale 1 e ragione x (con dimostrazione).
Insufficienza della convergenza puntuale. Distanze e norme di funzioni (indice infinito, indice 1 e
indice 2): definizioni, significati grafici e relative convergenze.
Convergenza uniforme: definizione e caratterizzazione grafica; convergenza puntuale di successioni
uniformemente convergenti (con dimostrazione) e controesempio di successione convergente
puntualmente ma non uniformemente; teoremi di continuità della funzione limite e di passaggio al
limite sotto i segni di integrale e di derivata.
Convergenze in media e quadratica: definizioni; relazioni tra queste e con le convergenze uniforme e
puntuale; risultati di passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Serie di funzioni – Definizione e successione delle ridotte. Convergenza puntuale, insieme di
convergenza e funzione somma; esempi: serie riconducibili alla serie geometrica e serie telescopiche.
Convergenza assoluta. Convergenza uniforme e studio della convergenza uniforme della serie
geometrica. Convergenza totale e criterio di Weierstrass. Teoremi di continuità della funzione somma
e di integrazione e derivazione termine a termine.
Serie di potenze e di Taylor – Definizioni e nomenclatura. Convergenza di una serie di potenze nel
proprio centro. Definizione di raggio di convergenza e teorema del raggio di convergenza. Teorema di
Abel. Criterio della radice e criterio del rapporto.
Operazioni lineari sulle serie di potenze.
Teorema di continuità della somma su tutto l’intervallo di convergenza (con dimostrazione). Formule
di integrazione termine a termine (con dimostrazione). Relazione tra i raggi di una serie di potenze e
delle sue serie derivata e integrale. Teorema di regolarità C∞ della somma all’interno dell’intervallo di
convergenza (con dimostrazione).
Applicazioni: sviluppo di f(x) dallo sviluppo della sua derivata; sviluppo di funzioni integrali; calcolo di
somme di serie numeriche e di funzioni; sviluppi notevoli di sinhx e log(1+x) (con dimostrazioni),
coshx, arctanx; controesempio di serie convergente uniformemente e assolutamente ma non
totalmente.
POLITECNICO DI TORINO
Area di Ingegneria - Corsi di Laurea in Ingegneria Informatica, delle Telecomunicazioni e del Cinema
e dei Mezzi di Comunicazione
Corollario sui coefficienti di una serie di potenze (con dimostrazione).
Problema della sviluppabilità in serie di potenze e unicità dello sviluppo. Definizioni di serie di Taylor,
di McLaurin e di funzione analitica. Teorema di sviluppabilità per funzioni con derivate equilimitate.
Sviluppi notevoli: ex , sinx e cosx (con dimostrazioni), (1+x) α.
Approfondimento facoltativo, su dispensa: lemma fondamentale sulle serie di potenze e dimostrazione
del teorema del raggio di convergenza.
Serie trigonometriche e di Fourier – Generalità: funzioni periodiche, prolungamento periodico e
~
periodo di somme e dilatazioni; polinomi trigonometrici e serie trigonometriche. Spazi RT , C T e C T ,
funzione regolarizzata. Invarianza per traslazioni dell’integrale su un periodo. Coefficienti e serie di
Fourier per funzioni RT . Proprietà dei coefficienti di funzioni simmetriche (con dimostrazione).
Risultati di convergenza: convergenza quadratica per funzioni RT , identità di Parseval e lemma di
Riemann-Lebesgue (con dimostrazione); convergenza puntuale per funzioni T-periodiche regolari a
tratti; convergenza uniforme per funzioni T-periodiche regolari a tratti e continue, principio di
localizzazione.
Approfondimento facoltativo, su dispensa: serie di Fourier in forma complessa e motivazioni dei
coefficienti di Fourier (unicità dello sviluppo trigonometrico con convergenza quadratica,
caratterizzazione del polinomio di Fourier come polinomio trigonometrico minimizzante lo scarto
quadratico).
Integrazione multipla
Richiami sulla topologia di Rn – Spazi Rn. Distanza e intorni sferici. Punti interni, esterni e di frontiera.
Interno, frontiera, chiusura ed esterno di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati, compatti.
Richiami sulle funzioni in più variabili – Funzioni scalari: dominio e grafico; continuità, derivabilità
parziale e classi Ck.
Integrazione multipla – Misura secondo Peano-Jordan (nel dettaglio), classi di insiemi misurabili ed
esempio di insieme non misurabile. Proprietà della misura.
Definizione di integrale doppio su insiemi misurabili (nel dettaglio) e formula integrale per il calcolo di
aree (con dimostrazione tramite somme di Riemann). Significato geometrico dell’integrale doppio.
Definizione di integrale triplo su insiemi misurabili (cenno) e formula integrale per il calcolo di volumi.
Classi di funzioni integrabili ed esempio di funzione non integrabile (funzione di Dirichlet). Proprietà
dell’integrale multiplo.
Calcolo di integrali doppi: teorema di Fubini di riduzione a due integrazioni semplici, casi particolari
(integrale su rettangoli, integrandi con variabili separate); teorema di integrazione mediante
cambiamento di variabili, coordinate polari e polari-ellittiche.
Calcolo di integrali tripli: teoremi di riduzione per fili e per strati, casi particolari (integrale su
rettangoli, integrandi con variabili separate); teorema di integrazione mediante cambiamento di
variabili, coordinate cilindriche e sferiche.
Significato fisico dell’integrale multiplo. Baricentro e momenti di inerzia di insiemi misurabili. Primo
teorema di Guldino (con dimostrazione facoltativa).
Integrali impropri di funzioni non-negative: integrazione su domini non limitati e integrazione di
funzioni non limitate.