4. GEOMETRIA ELEMENTARE 1. Calcolare l`area di un rettangolo il

4. GEOMETRIA ELEMENTARE
1. Calcolare l’area di un rettangolo il cui perimetro e altezza misurano, rispettivamente,
37.6cm e 7.8cm.
2. Calcolare la misura del perimetro di un rettangolo sapendo che l’area vale A = 1344m2
e che la misura dell’altezza e’ il sessanta per cento di quella della base.
3. In un triangolo isoscele, il perimetro misura P = 252m e la base e’ la meta’ dei cateti.
Calcolare l’area del triangolo.
4. L’area di un quadrato e quella di un triangolo rettangolo isoscele sono uguali e valgono
A = 625m2 . I perimetri delle due figure sono uguali?
5. L’area della parte di piano racchiusa in una circonferenza di raggio r vale A = 12.56.
Trovare il perimetro del quadrato iscritto nella circonferenza.
6. Trovare l’area della parte di piano racchiusa in una circonferenza massima ottenuta
come sezione di una sfera di volume V = 36π.
7. Due scatole che contengono un ugual volume V hanno rispettivamente la forma di un
cubo di lato l e di un parallelepipedo a base quadrata b = l/2 e altezza h. Se si vogliono
incartare le due scatole, per quale delle due occorre piu’ carta?
8. Calcolare la superficie laterale e il volume di un cubo di lato L = 3cm. Aumentando del
10 per cento la lunghezza del lato, di quanto aumentano la superficie laterale ed il volume?
9. Se r e’ un raggio, allora A = πr2 e V = 4πr3 /3 sono, rispettivamente l’area della parte
di piano racchiusa in una circonferenza di raggio r e il volume di una sfera di raggio r.
Scrivere le relazioni generali che descrivono la variazione dell’area e del volume nel caso in
cui r venga incrementato dell’x per cento.
Utilizzando tali relazioni valutare gli incrementi dell’area e del volume corrispondenti a
x = 2 e x = 5.
Risposte
1. L’area di un rettangolo e’ il prodotto della base per l’altezza (A = b · h), mentre il
perimetro vale P = 2(b+h). Sapendo che P = 37.6 e che h = 7.8, si ricava immediatamente
che b = (P − h)/2 = 14.9 e quindi l’area vale A = 116.22.
2. Se l’altezza misura il 60 per cento della base si ha h = 60b/100 = 3b/5. Quindi si ha
A = b · h = 3b2 /5 = 1344 da cui si ha, con un’approssimazione per difetto, b ≈ 47.32 e
h ≈ 28.39 e quindi l’area vale A = b · h = 1343.41.
3. Se l e’ la lunghezza di un cateto del triangolo e b quella della base, si ha P = 2l+b = 252.
D’altra parte e’ b = l/2, quindi P = 5l/2 = 252, e quindi l = 100.8 e b = 50.4. L’area di
un triangolo si calcola come il prodotto
A = (b · h)/2, dove h e’ l’altezza. Per calcolare h si
p
2
conto del
usa il teorema di Pitagora: h = l + (b/2)2 . Tenendo
p
p fatto che b = l/2, si ha,
2
2
approssimando alla seconda cifra decimale, h = l + (l/4) = l 17/16 ≈ 1.03l = 103.82.
Quindi l’area del triangolo vale A ≈ 2616.26.
4. Se l e’ la lunghezza del lato del quadrato, l’area vale A = l2 ; se c e’ la misura dei cateti
del triangolo si ha A = c2 /2. Quindi si deve avere 2l2 = c2 = 625 e c = 25 mentre l = 50;
il perimetro del quadrato vale quindi P = 200m. Per calcolare il perimetro√del triangolo
bisogna trovare, tramite il teorema di Pitagora, l’ipotenusa i. Si ha i = 2c2 ≈ 35.35,
quindi il perimetro del triangolo e’ P = 50 + 35.35 = 85.35 6= 200.
5. L’area della parte di piano delimitata da un circonferenza vale A = π · r2 . Assumendo
π = 3.14 si ha r = 2. Il quadrato iscritto nella circonferenza ha la diagonale uguale al
diametro, cioe’ uguale√a 4; visto che i lati l del
√ quadrato sono uguali e applicando il teorema
2 da cui si ha l = 2 2. Il perimetro del quadrato vale in definitiva
di Pitagora
si
ha
4
=
2l
√
P = 8 2.
6. Ricordando che il volume di una sfera vale V = 4π · r3 /3, in questo caso si ha r3 = 27
e quindi r = 3. L’area richiesta vale quindi A = πr2 = 9π ≈ 28.26.
7. Il volume di un cubo di lato l vale V = l3 , mentre quello di un parallelepipedo di base
b e altezza h vale V = b2 h. Se b = l/2 e i due volumi sono uguali si ha l3 = hl2 /4 e
quindi h = 4l. La superficie laterale del cubo vale S = 6l2 , quella del parallelepipedo vale
S 0 = 2l2 /4 + 4(4l · l/2) = 17l2 /2 > 6l2 , quindi occorre meno carta per incartare la scatola
di forma cubica.
8. Se il lato del cubo misura 3 cm., la superficie laterale e il volume misurano, rispettivamente, S = 6 · L2 = 54cm2 e V = L3 = 27cm3 .
Il 10 per cento di 3cm e’ 0.3cm, quindi la lunghezza del lato diventa di L0 = 3.3cm
e, di conseguenza, la superficie laterale e il volume valgono S 0 = 6 · L02 = 65.34cm2 e
V 0 = 35.937cm3 .
Se si osserva che S 0 = S + xS/100 = 54 + 54x/100 = 65.34 si ricava facilmente che,
in conseguenza ad un aumento del 10 per cento del lato, la superficie laterale del cubo e’
aumentata del 21 per cento. Ragionando analogamente si verifica che V 0 = 27+27x/100 =
35.937 implica un aumento del 33.1 per cento del volume del cubo.
9. Se r0 = r + (x/100)r e’ il raggio, l’area di una circonferenza e’
A0 = πr02 = π(r + (x/100)r)2 = π r2 + r2 (x/100)2 + 2r2 (x/100) =
= πr2 + [πr2 ((x/100)2 + 2(x/100)] = A + ∆A
Analogamente il volume diventa
V 0 = V + ∆V = V + 4πr3 /3[(x/100)3 + 3(x/100)2 + 3(x/100)]
Le due formule precedenti permettono di valutare che per x = 2 si ha ∆A = (10.25/100)A
e ∆V = (6.128/100)V , mentre se x = 5 si ha ∆A = (4.04/100)A e ∆V = (15.2625/100)V .