come trovare il dominio di una funzione
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www.mathematice.it COME TROVARE IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE Ebook con spiegazioni, esempi, numerosi esercizi con risoluzione commentata Mariairene Guagnini www.mathematice.it Prima edizione: gennaio 2014 Sito web: www.mathematice.it Contatti: [email protected] La presente opera è rilasciata secondo la licenza Creative Commons Attribuzione – Non commerciale – Non opere derivate 3.0 Italia License Per leggere una copia della licenza visitare il sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/deed.it www.mathematice.it INDICE Schema generale condizioni di esistenza funzioni di variabile reale pag. 4 Come si trova il dominio di una funzione. Alcune indicazioni pag. 7 Esercizi di base pag 10 Risultati degli esercizi di base pag 11 Svolgimento degli esercizi di base pag 14 Esercizi pag 18 Risultati degli esercizi pag 20 Svolgimento degli esercizi pag 24 www.mathematice.it SCHEMA GENERALE CONDIZIONI DI ESISTENZA FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE indice ● funzioni polinomiale. Nessuna condizione x 3−4 x8 ; esempi: y=−4 x 4−√ 3 x+π ; 3 x−2 f x = 3 5−1 Esistono per ogni valore reale di x. ● funzioni razionali fratte. Condizione esistenza: denominatore ≠ 0 esempio : y= 2 x−3 2 . Condizione di esistenza: 2−5 x≠0 x≠ 2−5 x 5 ● radici di indice pari. Condizione esistenza: radicando ≥ 0 esempio : f x = 2 x 3 . Condizione di esistenza: 2 x 3≥0 x ≥− ● radici di indice dispari. Nessuna condizione esempio : 5 y= 2 x3 . Esiste per ogni valore reale di x. ● valore assoluto. Nessuna condizione esempio : 2 y=∣4−x ∣ . Esiste per ogni valore reale di x. 3 2 www.mathematice.it ● esponenziali a base costante maggiore di zero. Nessuna condizione esempio : y=2 x . Esiste per ogni valore reale di x. ● esponenziali a base variabile. Condizione esistenza: base > 0 esempio : 2 y= x−2x −3 x . Condizione di esistenza: x−20 x2 ● logaritmi a base costante positiva e diversa da 1. Condizione esistenza: argomento > 0 esempio : f x =log 2 5 x 3 . Condizione di esistenza: 3 5 x 30 x− 5 ● logaritmi a base variabile. Condizioni di esistenza: argomento > 0 ˄ base > 0 ˄ base ≠ 1. esempio : y=log x−2 x . Condizioni di esistenza: { x>0 x−2>0 → x −2≠1 { x>0 x>2 → 2<x <3∨x >3 x ≠3 ● seno, coseno. Nessuna condizione esempi : f (x )=sin(2 x+π) y=cos 3 x . Esistono per ogni valore reale di x. ● tangente (con argomento in radianti). Condizione di esistenza: argomento≠ π +k π con k ∈ℤ (cioè k =0,±1,±2,... ) 2 esempio: tan (2 x + π ) . 3 Condizione di esistenza: 2 x+ π ≠ π +k π → 2 x≠ π +k π → x≠ π +k π k ∈ℤ 3 2 6 12 2 www.mathematice.it ● cotangente (con argomento in radianti). Condizione di esistenza: argomento≠k π con k ∈ℤ (cioè k =0,±1,±2,... ) esempio: cot( 2 x+ π ) . 4 Condizione di esistenza: 2 x+ π ≠k π → 2 x≠− π +k π → x≠− π +k π k ∈ ℤ 4 4 8 2 ● arcoseno, arcocoseno. Condizioni di esistenza −1≤argomento≤1 cioè {argomento≥−1 argomento≤1 esempio: arcsin 3− x Condizioni di esistenza 3−x≥−1 → −x≥−4 → x≤4 → 2≤ x≤4 {3− {−x≤−2 {x≥2 x≤1 ● arcotangente, arcocotangente. Nessuna condizione. esempio : y=arctan 3−x . Esiste per ogni valore reale di x. www.mathematice.it COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE ALCUNE INDICAZIONI indice Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) di una funzione f (x ) è l'insieme dei valori x per cui esiste la funzione. Generalmente si deve trovare il dominio di una funzione formata a partire da più funzioni base. Esempi: y=sin x+ln x (somma di due funzioni) y=ln(sin x) (composizione di due funzioni) ● Casi frequenti Funzione Dominio della funzione f (x )±g ( x) Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x) f ( x )⋅g ( x ) Dominio f ( x ) ∩ Dominio g ( x) k⋅ f ( x) con k ≠0 Dominio f ( x ) f ( x) g (x) Dominio f ( x ) ∩ Dominio g ( x) ∩ { x ∈ℝ: g (x )≠0 } www.mathematice.it ● Funzioni composte. Occorre analizzare la funzione come negli esempi seguenti. Esempio 1. y=√ ln x Lo schema di composizione è Le condizioni di esistenza sono Esempio 2. logaritmo radice x → ln x → √ ln x . esistenza logaritmo {x>0 ln x≥0 esistenza radice y=ln (arcsin x) Lo schema di composizione è Le condizioni di esistenza sono arcoseno logaritmo x → arcsin x → ln(arcsin x ) . x≤1 esistenza arcoseno {−1≤ arcsin x>0 esistenza logaritmo ● Consigli importanti. (1) Non modificare la funzione senza aver prima posto tutte le condizioni di esistenza. Esempio 3: il dominio della funzione f (x )=log( x −2)+log( x+3) è D=(2 ;+∞) . Se, prima di trovare il dominio, applico la prima proprietà dei logaritmi ottengo f ( x )=log [( x−2)( x+3)] e posso erroneamente pensare che il dominio sia D=(−∞;−3)∪(2 ;+∞) (2) Scrivere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successivamente svolgere i calcoli relativi a tali condizioni. www.mathematice.it ● Esempi Esempio 5. log 3 x 2−x La funzione data è la somma di due funzioni: il logaritmo e la radice quadrata. 3 x>0 esistenza logaritmo → x>0 → {x>0 → 0<x≤2 {2−x≥0 { esistenza radice −x ≥−2 x≤2 NB. Attenzione agli “ = ” . Esempio 6. f x = 3−x x 2−3 x La funzione data è il rapporto di una radice quadrata e di un polinomio { 3− x≥0 esistenza radice → 2 x −3 x≠0 esistenza frazione Esempio 7. f x = x≥3 → x>3 {x≠0∧x≠3 3−x x−5 La funzione data è la radice quadrata di una frazione. { 3−x ≥0 esistenza radice → x−5 x−5≠0 esistenza frazione → 3≤ x<5 {3≤x<5 x≠5 Osservazione sulla definizione di dominio Nella ricerca del dominio occorre fare attenzione al caso in cui la funzione ha delle limitazioni nella definizione. Esempio 8. E' data la funzione { f ( x )=x 2 −4 x . Il polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni 1≤x<3 aggiuntive nella definizione della funzione. Quindi il dominio è D=[ 1;3 ) . www.mathematice.it ESERCIZI DI BASE indice Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal testo. 3 1) y= x 2 −4 risultato esercizio 1 svolgimento esercizio 1 2) y= x − 2− x risultato esercizio 2 svolgimento esercizio 2 3) 2−x √ x +3 risultato esercizio 3 svolgimento esercizio 3 4) y=√ 2−√ 1−x risultato esercizio 4 svolgimento esercizio 4 5) y=sin √4 x risultato esercizio 5 svolgimento esercizio 5 6) y= risultato esercizio 6 svolgimento esercizio 6 7) y=tan( x −4) risultato esercizio 7 svolgimento esercizio 7 8) y=∣sin x∣ risultato esercizio 8 svolgimento esercizio 8 9) y= √x ∣x−2∣ risultato esercizio 9 svolgimento esercizio 9 sin x cos( 2 x− π ) 4 2 10) y=ln (x −3 x ) risultato esercizio 10 svolgimento esercizio 10 11) y=cot (π x ) risultato esercizio 11 svolgimento esercizio 11 risultato esercizio 12 svolgimento esercizio 12 12) arccos( x 2−3) www.mathematice.it RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE indice Risultato esercizio 1 La funzione 3 y= x 2 −4 esiste per ogni valore di svolgimento esercizio 1 x ∈ℝ . D=ℝ . esercizi di base Risultato esercizio 2 La funzione y=√ x− √ 2−x esiste per 0≤x≤2 . svolgimento esercizio 2 D=[ 0 ;2] . esercizi di base Risultato esercizio 3 La funzione 2−x esiste per x3 svolgimento esercizio 3 x>−3 . D=(−3 ;+∞ ) . esercizi di base Risultato esercizio 4 La funzione y= 2− 1− x esiste per −3≤x≤1 . svolgimento esercizio 4 D=[−3 ;1] . esercizi di base Risultato esercizio 5 La funzione y=sin 4 x esiste per svolgimento esercizio 5 x≥0 . esercizi di base D=[ 0 ;+∞ ) . www.mathematice.it Risultato esercizio 6 La funzione y= sin x cos( 2 x− π ) esiste per 4 svolgimento esercizio 6 3 3 x≠ π+k π , k ∈ℤ . ℝ ∖{ π+k π , k ∈ℤ } 8 2 8 2 esercizi di base Risultato esercizio 7 La funzione y=tan x−4 esiste per svolgimento esercizio 7 x≠4+ π +k π, k ∈ℤ 2 π . ℝ ∖{ 4+ 2 +k π , k ∈ ℤ} esercizi di base Risultato esercizio 8 La funzione y=∣sin x∣ esiste per ogni valore di svolgimento esercizio 8 x ∈ℝ . D=ℝ . esercizi di base Risultato esercizio 9 La funzione y= x esiste per 0≤x2∨x 2 . ∣x −2∣ svolgimento esercizio 9 D=[ 0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) . esercizi di base Risultato esercizio 10 La funzione 2 y=ln x −3 x esiste per svolgimento esercizio 10 x0∨ x3 . esercizi di base D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) . www.mathematice.it Risultato esercizio 11 La funzione y=cot (π x ) esiste per svolgimento esercizio 11 x≠k , k ∈ℤ . D=ℝ∖ ℤ esercizi di base Risultato esercizio 12 La funzione arccos x 2−3 esiste per −2≤ x≤− 2∨ 2≤ x≤2 . D=[−2 ;− √ 2 ]∪[ √ 2; 2 ] . svolgimento esercizio 12 esercizi di base www.mathematice.it SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE indice Svolgimento esercizio 1 La funzione 3 y= x 2 −4 è la radice cubica di un polinomio. Il polinomio non ha condizioni di esistenza; la radice cubica è di indice dispari e quindi non presenta condizioni di esistenza. Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) è quindi formato da tutti i numeri reali. D=ℝ . esercizi di base Svolgimento esercizio 2 Per la funzione y= x− 2− x dobbiamo prendere in esame l'esistenza delle due radici quadrate: x≥0 {2−x≥0 → x≥0 {−x≥−2 → → {x≥0 x≤2 0≤x≤2 → D=[0 ;2] . esercizi di base Svolgimento esercizio 3 Per la funzione 2− x dobbiamo prendere i esame l'esistenza della radice quadrata e il fatto x3 che il denominatore deve essere diverso da zero: {√x+3≥0 x+3≠0 → esercizi di base x ≥−3 {x+3≠0 → {x≥−3 x≠−3 → x−3 → D=(−3 ;+∞ ) . www.mathematice.it Svolgimento esercizio 4 Per la funzione y= 2− 1− x dobbiamo considerare l'esistenza delle due radici quadrate: −x≥−1 → { {1−2−x≥0 1−x≥0 −√1− x≥−2 √ x≤1 → −3≤x≤1 → {x≥−3 → {√x≤1 1−x ≤2 → {1−x≤1x≤4 → x≤1 {−x≤3 → D=[−3;1] . esercizi di base Svolgimento esercizio 5 Per la funzione y=sin 4 x l'unica condizione che dobbiamo considerare è quella dell'esistenza della radice (perché ha indice pari): x≥0 . D=[ 0 ;+∞ ) . esercizi di base Svolgimento esercizio 6 Per la funzione y= sin x cos( 2 x− π ) l'unica condizione è quella del denominatore diverso da zero 4 (seno e coseno esistono perché hanno come argomento un polinomio): cos (2 x− π )≠0 → 4 2 x≠ 3π +k π , k ∈ℤ → 4 esercizi di base 2 x− π ≠ π +k π , k ∈ℤ → 4 2 x≠ 2 x≠ π + π +k π , k ∈ℤ → 4 2 3π 3 +k π , k ∈ℤ → ℝ ∖{ π+k π , k ∈ℤ } . 8 2 8 2 www.mathematice.it Svolgimento esercizio 7 y=tan x−4 dobbiamo prendere in esame l'esistenza della tangente: Per la funzione x−4≠ π +k π , k ∈ℤ → 2 x≠4+ π +k π , k ∈ℤ → ℝ ∖{ 4+ π +k π , k ∈ ℤ} . 2 2 esercizi di base Svolgimento esercizio 8 Data la funzione y=∣sin x∣ , sin x esiste per ogni x e il valore assoluto non richiede condizioni di esistenza → la funzione in esame esiste per ogni x ∈ℝ . D=ℝ . esercizi di base Svolgimento esercizio 9 Per la funzione y= x ∣x−2∣ dobbiamo considerare le condizioni dell'esistenza della radice quadrata e e del denominatore diverso da zero: {∣x≥0 x−2∣≠0 → x≥0 {x−2≠0 → → {x≥0 x≠2 0≤x2∨x2 → D=[ 0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) . esercizi di base Svolgimento esercizio 10 Per la funzione x 2−3 x0 → esercizi di base y=ln x 2−3 x dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo: x0∨ x3 → D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) . www.mathematice.it Svolgimento esercizio 11 Per la funzione y=cot (π x ) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente: π x≠k π, k ∈ℤ → x≠k , k ∈ℤ → D=ℝ∖ ℤ . esercizi di base Svolgimento esercizio 12 Per la funzione arccos x 2−3 dobbiamo porre la condizione di esistenza dell'arcocoseno: 2 −1≤x −3≤1 → { 2 x −3≥−1 → 2 x −3≤1 { 2 x ≥2 → 2 x ≤4 x≤−√ 2∨x≥ √ 2 {−2≤x≤2 −2≤ x≤− 2∨ 2≤x≤2 → D=[−2 ;− 2 ]∪[ 2 ;2 ] . esercizi di base → www.mathematice.it ESERCIZI indice Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal testo. 3 13) x −x+3 y=arctan 2 x 14) y= 15) y= risultato esercizio 13 svolgimento esercizio 13 log 0.5 x log 0.5 x−1 risultato esercizio 14 svolgimento esercizio 14 x+3 2−√ x−1 risultato esercizio 15 svolgimento esercizio 15 16) y=(2− x)(1−√ x) risultato esercizio 16 svolgimento esercizio 16 17) y=log 2∣3−x∣ risultato esercizio 17 svolgimento esercizio 17 18) y=ln (e −2 e +1) risultato esercizio 18 svolgimento esercizio 18 19) y=ln (ln ( x)) risultato esercizio 19 svolgimento esercizio 19 20) y=ln x risultato esercizio 20 svolgimento esercizio 20 21) y=log x (2−x ) risultato esercizio 21 svolgimento esercizio 21 2x 2 x www.mathematice.it 22) y=log x∣2−x∣ risultato esercizio 22 svolgimento esercizio 22 23) y=√ tan x risultato esercizio 23 svolgimento esercizio 23 24) 2−4 x y= √ x x 4 −2 risultato esercizio 24 svolgimento esercizio 24 risultato esercizio 25 svolgimento esesercizio 25 2 ln x−5 risultato esercizio 26 svolgimento esercizio 26 √log 0.5 x 2 √ log 0.5 x−5 risultato esercizio 27 svolgimento esercizio 27 28) y=arcsin (log 1 x) risultato esercizio 28 svolgimento esercizio 28 29) y=arcsin x−arccos(1−2 x 2) risultato esercizio 29 svolgimento esercizio 29 30) y=ln ( √ x+1−( x−1)) risultato esercizio 30 svolgimento esercizio 30 risultato esercizio 31 svolgimento esercizio 31 risultato esercizio 32 svolgimento esercizio 32 25) y= 26) 4 x −2 x √ 2−4 x y= 27) y= √ ln x 2 31) y= sin x sin 2 x 32) y= x −sin x 2 x −cos x 2 www.mathematice.it RISULTATI DEGLI ESERCIZI indice Risultato esercizio 13 La funzione y=arctan svolgimento esercizio 13 x3 −x+3 esiste per x2 x≠0 . D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 14 La funzione y= log 0.5 x esiste per 0<x<0.5∨x>0 . log 0.5 x−1 svolgimento esercizio 14 D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 15 La funzione y= x+3 esiste 1≤x <5∨x >5 . 2−√ x−1 svolgimento esercizio 15 D=[ 1;5 )∪( 5;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 16 La funzione y=(2− x)(1−√ x) esiste per 0≤x<2 . D=[ 0 ;2 ) . svolgimento esercizio 16 esercizi Risultato esercizio 17 La funzione y=log 2∣3−x∣ esiste per svolgimento esercizio 17 esercizi x≠3 . D=ℝ∖ { 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) . www.mathematice.it Risultato esercizio 18 La funzione 2x x y=ln (e −2 e +1) esiste per svolgimento esercizio 18 x≠0 . D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 19 La funzione y=ln (ln ( x)) esiste per svolgimento esercizio 19 x>1 . D=( 1 ;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 20 La funzione 2 y=ln x esiste per svolgimento esercizio 20 x>0 . D=( 0 ;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 21 La funzione y=log x (2−x ) esiste per 0<x<1∨1<x<2 . svolgimento esercizio 21 D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 ) . esercizi Risultato esercizio 22 La funzione y=log x∣2−x∣ esiste per 0<x<1∨1<x<2∨ x>2 . D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) . svolgimento esercizio 22 esercizi www.mathematice.it Risultato esercizio 23 La funzione y=√ tan x esiste per 0+k π≤ x< π +k π , k ∈ ℤ . 2 svolgimento esercizio 23 esercizi Risultato esercizio 24 La funzione 2−4 x y= √ x x esiste per 4 −2 x<0∨0<x≤ 1 1 . D=(−∞ ;0 )∪( 0; ] . 2 2 esercizi Risultato esercizio 25 La funzione y= 4 x −2 x esiste per √ 2−4 x x< 1 . 2 1 D=(−∞ ; ) . 2 esercizi Risultato esercizio 26 ln x La funzione y= √ 2 ln x−5 esiste per x≥1∧x≠e 5 2 . 5 2 D=[ 1;e )∪( e ;+∞ ) . esercizi Risultato esercizio 27 La funzione 25 y= √log 0.5 x 2 √ log 0.5 x−5 25 25 esiste per 0<x<0.5 4 ∨0.5 4 <x≤1 . 25 D=( 0 ;0.5 4 )∪( 0.5 4 ;1 ] . esercizi 5 2 www.mathematice.it Risultato esercizio 28 La funzione y=arcsin (log 1 x) esiste per 2 1 ≤x≤2 . 2 1 D=[ ; 2] . 2 esercizi Risultato esercizio 29 La funzione y=arcsin x−arccos(1−2 x 2) esiste per −1≤x≤1 . D=[−1 ;1 ] . esercizi Risultato esercizio 30 La funzione y=ln ( √ x+1−( x−1)) esiste per −1≤x<3 . D=[−1 ;3 ) . esercizi Risultato esercizio 31 La funzione y= sin x esiste per sin 2 x x≠k π , k ∈ℤ . ℝ ∖{ k π , k ∈ℤ} 2 2 esercizi Risultato esercizio 32 La funzione esercizi y= x 2−sin x esiste per 2 x −cos x x≠±α con α≈0.8241 . www.mathematice.it SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI indice Svolgimento esercizio 13 La funzione frazione x → y=arctan x 3−x+3 x2 x3 −x+3 è composta nel seguente modo: x2 arcotangente → arctan x 3−x+3 . x2 L'arcotangente esiste sempre (se esiste l'argomento), quindi l'unica condizione è relativa all'esistenza della frazione: denominatore≠0 → x 2≠0 → x≠0 → D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) . esercizi Svolgimento esercizio 14 La funzione y= log 0.5 x è costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso log 0.5 x−1 logaritmo. Dobbiamo quindi considerare l'esistenza di questo logaritmo e porre il denominatore della frazione diverso da zero. { x>0 esistenza logaritmo log 0,5 x−1≠0 denominatore≠0 → x>0 {x≠0.5 esercizi { x>0 log 0.5 x≠1 → { x>0 log 0.5 x≠log 0.5 0.5 → → 0<x<0.5∨x>0 → D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) . www.mathematice.it Svolgimento esercizio 15 La funzione y= x+3 è costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore 2−√ x−1 compare una radice quadrata. esistenza radice x≥1 x≥1 → { → { {x−1≥0 x−1≠4 2−√ x−1≠0 denominatore≠0 √ x−1≠2 → → D=[ 1;5 )∪( 5;+∞ ) . {x≥1 x≠5 → 1≤x <5∨x >5 esercizi Svolgimento esercizio 16 La funzione y=(2− x)(1−√ x) è un'esponenziale con base variabile. La base è un polinomio, l'esponente contiene una radice quadrata. x>0 cond. base esponenziale {2− x≥0 esistenza radice → {x<2 x≥0 → 0≤x<2 → D=[ 0 ;2 ) . esercizi Svolgimento esercizio 17 Lo schema di composizione della funzione x polinomio → 3−x valore assoluto → ∣3−x∣ logaritmo → y=log 2∣3−x∣ è: log 2∣3−x∣ . Polinomio e valore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, quindi dobbiamo porre solo la condizione di esistenza del logaritmo: ∣3−x∣>0 → 3− x≠0 → esercizi x≠3 → D=ℝ∖ { 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) . www.mathematice.it Svolgimento esercizio 18 Data la funzione 2x x y=ln (e −2 e +1) , i due esponenziali esistono per ogni x, quindi dobbiamo porre solo la condizione di esistenza del logaritmo: e 2 x −2 e x +1>0 → (e x −1)2>0 → e x −1≠0 → e x ≠1 → e x ≠e 0 → x≠0 → D=ℝ∖ { 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) . esercizi Svolgimento esercizio 19 Lo schema di composizione della funzione x logaritmo → ln x logaritmo → y=ln (ln ( x)) è : ln(ln x ) . Dobbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi {lnx>0x>0 esistenza primo logaritmo → esistenza secondo logaritmo {lnx>0x>ln 1 → {x>0 x >1 → x>1 → D=( 1 ;+∞ ) . esercizi Svolgimento esercizio 20 Lo schema di composizione della funzione x logaritmo → ln x quadrato → 2 ( ln x) 2 y=ln x è: . L'unica condizione che dobbiamo porre è quella relativa all'esistenza del logaritmo ( il quadrato esiste sempre se esiste la sua base): esercizi x>0 → D=( 0 ;+∞ ) . www.mathematice.it Svolgimento esercizio 21 La funzione y=log x (2−x ) è un logaritmo, a base variabile, di un polinomio. x≠1 cond. base logaritmo {x>0∧ 2− x>0 cond. argomento logaritmo x≠1 {x>0∧ x<2 → → 0<x<1∨1<x<2 → D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 ) . esercizi Svolgimento esercizio 22 La funzione y=log x∣2−x∣ è un logaritmo a base variabile. x≠1 cond. base logaritmo {∣x>0∧ 2− x∣>0 cond. argomento logaritmo → x≠1 {x>0∧ 2− x≠0 → x≠1 {x>0∧ x≠2 → 0<x<1∨1<x<2∨ x>2 → D=( 0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) . esercizi Svolgimento esercizio 23 Lo schema di composizione della funzione x tangente → tan x radice quadrata → y=√ tan x è: √ tan x . x≠ π +k π , k ∈ℤ esistenza tangente 2 → tan x≥0 cond. esistenza radice { 0+k π≤ x< π +k π , 2 video tan(x)>=0 esercizi k ∈ℤ . x≠ π +k π , k ∈ℤ 2 0+k π≤x< π +k π , 2 { D={ x ∣ k π≤ x< π +k π , 2 k ∈ℤ} k∈ℤ → www.mathematice.it Svolgimento esercizio 24 La funzione 2−4 x y= √ x x è il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice 4 −2 quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x. { 2−4 x ≥0 4 x −2 x ≠0 { 1 2 → x≠0 x≤ esistenza radice quadrata → denominatore diverso da zero x<0∨0<x≤ { 4 x ≤2 → 4 x ≠2 x { 22 x ≤21 → 2 2 x ≠2 x {22 xx≤1 ≠x → 1 1 → D=(−∞ ;0 )∪( 0; ] . 2 2 esercizi Svolgimento esesercizio 25 x La funzione x 4 −2 è il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice y= √ 2−4 x quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x. { x 2−4 ≥0 2−4 x ≠0 2x 1 2 <2 esercizi esistenza radice quadrata → condizione denominatore → 2 x<1 → x< { x 2−4 ≥0 → 2−4 x >0 → 4 x <2 → x 2−4 ≠0 1 1 → D=(−∞ ; ) . 2 2 www.mathematice.it Svolgimento esercizio 26 La funzione y= √ ln x 2 ln x−5 è il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice quadrata e compare due volte ln x . { x>0 condizione esistenza logaritmo ln x≥0 condizione esistenza radice → 2 ln x −5≠0 condizione denominatore { x>0 x≥1 5 → ln x≠ln e 2 { x >0 x≥1 5 → x>0 ln x≥ln 1 → 5 ln x≠ 2 { { 5 ln x≠ ln e 2 5 5 5 x>0 x ≥1 → x≥1∧x≠e 2 → D=[ 1;e 2 )∪( e 2 ;+∞ ) . x≠e 2 ≈12.18 esercizi Svolgimento esercizio 27 La funzione y= √log 0.5 x 2 √ log0.5 x−5 è un rapporto e compare due volte { x>0 condizione esistenza logaritmo log 0.5 x≥0 condizione esistenza radice → 2 √ log 0.5 x−5≠0 condizione denominatore { x>0 x≤1 (base minore di 1) → 25 log 0.5 x≠ 4 { x>0 x ≤1 { 25 4 25 4 x≠0.5 ≈0,013 esercizi 25 4 . { x >0 x≤1 log 0.5 x≠ √ log 0.5 x 25 log0.5 0.5 4 x >0 log 0.5 x≥log 0.5 1 → 5 log x≠ √ 0.5 2 → { x>0 x≤1 log 0.5 x≠log 0.5 0.5 25 4 25 4 25 4 → 0<x<0.5 ∨0.5 <x≤1 → D=( 0 ;0.5 )∪( 0.5 ;1 ] . → www.mathematice.it Svolgimento esercizio 28 y=arcsin ( log 1 x) è: Lo schema di composizione della funzione 2 x logaritmo log 1 x → arcoseno arcsin (log 1 x) . → 2 { 2 x>0 −1≤log 1 x≤1 { esistenza logaritmo condizione arcoseno → 2 x>0 1 −1 log 1 x≥log 1 ( ) 2 → 2 2 1 x≥ 2 { x>0 1 −1 x≤( ) → 2 1 x≥ 2 { x>0 log 1 x ≥−1 2 → log 1 x≤1 2 { x>0 1 2 → 2 2 1 log 1 x≤log 1 2 2 2 log 1 x ≥−log 1 { x>0 1 x≤2 1 → ≤x≤2 → D=[ 2 ; 2] . 1 2 x≥ 2 esercizi Svolgimento esercizio 29 E' data la funzione { y=arcsin x−arccos(1−2 x 2) . −1≤ x≤1 esistenza arcoseno 2 −1≤1−2 x ≤1 esistenza arcocoseno { −1≤x≤1 x 2≤1 → 2 x ≥0 esercizi { → { −1≤ x≤1 1−2 x 2≥−1 → 1−2 x 2≤1 −1≤x≤1 −1≤x≤1 → −1≤x≤1 → D=[−1 ;1 ] . ∀ x∈ℝ { −1≤x≤1 −2 x 2≥−2 → −2 x 2≤0 www.mathematice.it Svolgimento esercizio 30 E' data la funzione y=ln ( √ x+1−( x−1)) . { x +1≥0 esistenza radice qu. → √ x+1−( x −1)>0 esistenza logaritmo x≥−1 {√ x+1>x−1 (*) ──────── (*) { { x −1≥0 x≥1 x−1<0 x<1 √ x+1> x−1 → x+1≥0 ∨ x+1>( x−1)2 → x≥−1 ∨ x+1>x 2+1−2 x → { −1≤x<1 ∨ { x≥1 → −1≤x<1 ∨ x 2−3 x<0 { x≥1 {0<x <3 → −1≤x<1 ∨ 1≤x<3 → −1≤x<3 ──────── Riprendiamo il sistema iniziale x≥−1 {−1≤x<3 → −1≤x<3 → D=[−1 ;3 ) . esercizi Svolgimento esercizio 31 La funzione y= sin x è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo sin 2 x porre è la condizione del denominatore: sin 2 x≠0 → 2 x≠k π , k ∈ ℤ → x≠k π , 2 k∈ℤ . D=ℝ ∖ { x=k π , k ∈ℤ } 2 Osservazione. Non è corretto il seguente procedimento: y= sin x → sin 2 x y= sin x 1 → → y= 2 sin x cos x cos x semplificare prima di porre le condizioni di esistenza. esercizi x≠ π +k π , 2 k ∈ℤ , perché non si può www.mathematice.it Svolgimento esercizio 32 2 La funzione y= x −sin x è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo 2 x −cos x porre è la condizione del denominatore: x 2−cos x≠0 → cos x≠x 2 . Risolviamo l'equazione associata cos x=x 2 con un metodo grafico: video metodo grafico { y=cos x y= x 2 x=α , α≃0.8241 Quindi la funzione esiste per esercizi x≠±α con α≈0.8241 .