20_spatial and temporal coherence of light

SPATIAL AND TEMPORAL COHERENCE OF LIGHT, APPLICATION TO MICROSCOPY
Temporal Coherence:
Consideriamo un fascio luminoso composto da luce con due colori puri λ e λ+∆λ .
La fase totale dell’onda vale φ=kx-ωt. I vettori d’onda corrispondenti ai due colori valgono:
K1=2π/λ e K2=2π/(λ+ ∆λ). Ad un tempo fissato T e ad una distanza L dalla posizione in cui le due
onde sono in fase la differenza di fase diventa ∆ φ = (K1-K2)L; quando ∆ φ diviene dell’ordine di
1 radiante (~ 60 gradi) le due onde non sono piu` in fase e non possiamo osservare fringe di
interferenza risultanti. Quindi abbiamo interferenza per:
1 = (K1-K2)L ~= 2π ∆λ L / λ2
(λ∆λ trascurabile)
il che impone L ~= λ2 / (2π ∆λ ) , L viene assunto come distanza di coerenza della luce in
questione. Assumendo che C= λ υ e che ∆ υ/ υ = ∆ω/ω= ∆λ/ λ si ottiene:
L= C/ ∆ω e quindi T= 1/ ∆ω che viene indicato come ‘tempo di coerenza’ del fascio di luce. In
altre parole maggiore e` la purezza spettrale di una sorgente maggiore e` la sua coerenza temporale.
Questa situazione si incontra in dispositivi ottici denominati ‘a suddivisione di intensita`’, un
esempio ne e` il classico interferometro di Michelson:
M1
L
PH
L+∆L
λ
λ+∆λ
M1, M2 flat mirrors
L1, L2 positive lenses
BS beamsplitter
PH pin-hole
M2
L1
BS
L2
Light Detector
Il fascio viene filtrato spazialmente e collimato dal pin-hole PH e dalla lente positiva L1, viene
successivamente diviso in intensita` dal beam-splitter BS. Sul rivelatore LD vediamo scorrimento di
fringe al variare di ∆L solo se siamo all’interno della lunghezza di coerenza caratteristica della
sorgente considerata. Nella pratica se la sorgente utilizzata e` un laser HeNe vedremo fringe per
variazioni di distanza anche di molti metri, nel caso di diodi superluminescenti vedremo fringe in
intorni di ∆L di pochi micron da 0. Infine mai nel caso di luce prodotta da lampadine ad
incandescenza. Il diagramma seguente visualizza il caso di coerenza temporale bassa:
Id =
Id =
1
2
1
2
( I r + I s ' ) + Re
( Ir + Is' )
I d = 12 ( I r + I s ' )
Diagramma di interferenza a bassa coerenza temporale, nel caso di un diodo
superluminescente con lunghezza d’onda di 820 nm e larghezza di banda 30 nm
nel caso specifico si tratta di un diodo superluminescente con lunghezza d’onda centrale di λ=820 nm
∆λ= 30 nm (sorgente ‘parzialmente coerente’) . La lunghezza di
coerenza corrispondente e’ di : L~ 4 µ.
Una sorgente ad incandescenza produrrebbe somma incoerente di radiazione anche per ∆L prossimi
a zero, al contrario un laser HeNe produrrebbe fringe di ampiezza costante su estensioni molto
grandi (vedi tabella seguente).
e larghezza di banda FWHM di
Source
HeNe Laser
SuperL diode
Hg Arc (Low Pressure)
Hg Arc (Low Pressure)
Central Wav. nm
632,8
820
546,1
546,1
∆λ nm
10-5 - 10-6
30
1
10
L
104 Cm
4µ
1 mm
0.1 mm
Alcune sorgenti a varie lunghezze di coerenza.
Spatial Coerence:
E` una misura della coerenza di fase in un fascio luminoso fra punti differenti del fascio scelti in un
piano trasversale al verso di propagazione, contrariamente al caso precedente che riguardava la
coerenza di fase fra punti scelti lungo il verso di propagazione. In questo senso viene anche
denominata coerenza trasversa. La situazione della figura seguente esemplifica il caso:
A
P1
∆
θ
d
P2
B
L
Il segmento AB rappresenta l’estensione di una sorgente luminosa (ad esempio filamento
incandescente di una lampadina), I punti P1 e P2 realizzano una ‘linea base’ di analisi del fronte
d’onda generato da tutto AB. Un raggio che da A viaggia verso P2 sperimenta una differenza di
fase rispetto ad un analogo viaggiante verso il punto centrale di P1P2 pari a ∆φ= (2π d sinθ)/ 2λ, lo
sfasamento in P2 per raggi provenienti da A e da B sara` dunque: ∆φ= (2π d sinθ)/ λ. Per ragioni
analoghe onde emesse da A e B che sono in fase all’istante T in P2 si trovano fuori fase in P1 di
∆φ= 2x(2π d sinθ)/ λ, essendo sinθ ~ ∆/2L abbiamo:
∆φ= (2π d ∆ )/ Lλ
Possiamo anche qui accettare una differenza di fase massima di 1 radiante (~60 deg) per mantenere
coerenza di illuminazione fra P1 e P2 il che implica:
d = Lλ/2π ∆ che definiamo come coerenza spaziale della sorgente AB alla distanza L.
In altre parole la coerenza spaziale dipende strettamente dalle dimensioni fisiche della sorgente.
Quindi se una sorgente a bassa coerenza temporale puo` essere migliorata in coerenza temporale
applicando un forte filtraggio in lunghezza d’onda in modo da restringere ∆λ lo stesso si puo`
ottenere in termini di coerenza spaziale filtrando spazialmente la sorgente tramite un pin-hole, in
entrambi i casi perdendo fotoni.
L’interferometro che realizza la situazione di figura e` l’interferometro a due fenditure di Young,
esso, contrariamente all’interferometro di Michelson, realizza una suddivisione del fronte d’onda in
arrivo spazialmente ed e` stato utilizzato per ricavare il diametro di stelle vicine sulla base della
relazione qui ricavata. Esercizio: il sole ha un diametro angolare di circa 30 primi, e’ possibile
realizzare uno sperimento di Young a terra con fringe visibili ?
MICROSCOPIA OCT
Una applicazione interessante della luce ‘parzialmente coerente’ si ottiene nella microscopia OCT
(Optical Coherence Tomography). Se l’interferometro di Michelson viene modificato nel modo
seguente seguente :
la superficie dell’oggetto in misura viene illuminata e messa a fuoco in un punto mobile in X e Y
per effetto dello specchio di scanning sovrastante l’obbiettivo. Il punto messo a fuoco e` coniugato
sulla superficie di un detector monodimensionale illuminato da un secondo obbiettivo. Viene cosi
realizzata la scansione laterale della superficie in esame. La scansione attraverso il campione
dipende dalla lunghezza d’onda centrale utilizzata (su tessuti biologici lunghezze d’onda superiori
al µm forniscono buone penetrazioni, dell’ordine del mm) e dalla interferenza di coerenza ricercata
muovendo lo specchio di riferimento (vedi seconda figura). Se lo specchio di riferimento viene
mosso e fornisce una indicazione precisa della posizione (encoder lineare micrometrico) diviene
Immagine di una porzione del polmone di un coniglio della Nuova Zelanda, ottenuta con il precedente sistema, una
sezione X, Z viene mostrata
possibile, per ogni punto X, Y, realizzare una scansione virtuale in Z tramite esso ricercando tutte le
deboli interferenze originate da scattering da parte di zone interne al campione con differenti
proprietà di trasmissione. Si ottiene alla fine una mappatura 3D del campione con precisione Z
dell’ordine del ∆λ associato alla sorgente utilizzata. La tecnica e` virtualmente non invasiva.