Anteprima Estratta dall` Appunto di Geometria

Anteprima Estratta dall' Appunto di
Geometria
Università : Università degli studi di Salerno
Facoltà : Ingegneria
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L' Appunto
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1
ESERCIZI SU OMOMORFISMI
1. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x − z, −3x + 4y − z, −3x + 3z)
a) Trovare una base di Kerϕ e una base ortonormale di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,-1,1), (0,0,3)} e B ={(-2,0,0), (0,-3,1), (0,0,4)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile.
2. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + z, y + z, 2x − 2y)
co
m
a) Trovare una base di Kerϕ e una base ortonormale di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-2,1), (0,1,2), (0,0,1)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile.
rib
e.
3. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + 2y − z, 4x + y + z, 5x + 3y)
AB
Ct
a) Trovare una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)} e B ={(1,0,0), (2,1,0), (-3,1,1)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile e spiegare il perchè.
4. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (−x + 2y − 3z, y + z, −x + 4y − z)
a) Trovare una base di Kerϕ e una base ortonormale di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,-1,2), (0,0,1)} e B ={(2,0,1), (0,2,1), (0,0,1)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile.
5. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + y, 2x − y + 3z, x + z)
a) Trovare una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-1,2), (0,-1,1), (0,0,2)}.
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2
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile e spiegare il perchè.
6. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + z, −x + y, 2x − y + z)
a) Trovare una base di Kerϕ e una base ortonormale di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-2,1), (0,-1,-1), (0,0,-1)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile.
7. Sia ϕ : R3 → R5 tale che ϕ(3, 1, −2) = (1, 0, −1, 2, 0), ϕ(1, 0, −1) =
(0, 3, 1, −2, 1), ϕ(2, 2, −1) = (2, −9, −5, 10, −3).
• a) Calcolare ϕ(x, y, z).
co
m
b) Determinare una base di ker ϕ e una base ortonormale di
Im ϕ.
e.
8. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
rib
ϕ(x, y, z) = (x + y − z, 4x + 2z, 4y − 6z)
AB
Ct
a) Trovare una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-1,1), (0,1,2), (0,0,1)}.
c) Dire se ϕ è ortogonalmente diagonalizzabile e spiegare il perchè.
9. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + y, 2x + z, x − y + z)
a) Trovare una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-1,2), (0,-1,1), (0,0,2)}.
c) Dire se ϕ è diagonalizzabile.
10. Sia ϕ :R3 →R3 l’omomorfismo tale che
ϕ(x, y, z) = (x + y, 2x + z, x − y + z)
a) Trovare una base di Kerϕ e di Imϕ.
b) Calcolare la matrice rappresentativa di ϕ rispetto alle basi
p
B={(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} e B ={(1,-1,2), (0,-1,1), (0,0,2)}.
c) Dire se ϕ è diagonalizzabile.
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TRACCIA
Sia * :R3 $R3 l’omomorÞsmo tale che
5
3
3
5
*(x, y, z) = ( x + z, y, x + z)
2
2
2
2
a) Trovare la dimensione e una base di Ker* e di Im*.
b) Dire se * è diagonalizzabile e/o ortogonalmente diagonaliz- zabile motivando la risposta.
c) Calcolare gli autospazi associati a *.
SVOLGIMENTO
;
?
m
a) I vettori che appartengono al Ker* sono tutti quelli che si trasformano
attraverso l’omomorÞsmo * nel vettore nullo. Trovare una base per il Ker*
equivale quindi ad individuare una base per lo spazio delle soluzioni del seguente
sistema:
+ 23 z = 0
y=0
= 3
5
x
+
2
2z = 0
e.
co
5
2x
Ct
rib
Riducendo a scalini la matrice dei coecienti
6
5 5
5 5
0 23
2
2
$ 7 0
A=7 0 1 0 8
3
r3 = 35 r1 + r3
0 25
0
2
0
1
0
3
2
6
0 8
8
5
AB
si può notare che questa ha rango massimo e pertanto il sistema omogeneo
ad essa associato non ammette alcuna soluzione diversa da quella banale. Si
conclude quindi che il Ker* è costituito dal solo vettore nullo, ossia Ker* = {0},
la dimensione è 0 e non esiste alcuna base di Ker*.
Nel caso dell’omomorÞsmo *, avendo questo come insieme di deÞnizione lo
spazio vettoriale R3 , dalla relazione fornita dal teorema della dimensione si ha
che
dim(R3 ) = dim(Ker*) + dim(Im*)
da cui si ricava in particolare che
dim(Im*) = dim(R3 ) dim(Ker*) = 3
pertanto essendo Im* uno sottopazio di R3 di dimensione 3, si può concludere
che Im* coincide proprio con R3 e quindi come base di Im* può essere scelta la
stessa base canonica di R3 .
1
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Un’altra possibile base di Im* poteva essere scelta ricordando che le colonne
della matrice rappresentativa dell’omomorÞsmo rappresentano le immagini attraverso * dei vettori della base canonica di R3 . Pertanto l’insieme costituito
dalle colonne della matrice rappresentativa dell’omomorÞsmo determina un insieme di generatori per Im* e quindi per ottenere una base di Im* basta considerare i vettori linearmente indipendenti di tale insieme. Avendo già notato che
la matrice A ha rango massimo si conclude che le colonne di A sono linearmente
indipendenti e quindi costituiscono una base per Im*.
Pertanto
una possibile baseª di Im* è data dal seguente insieme:
© 5
( 2 , 0, 32 ), (0, 1, 0), ( 32 , 0, 25 ) .
b) Osserviamo subito che la matrice A del passo precedente, rappresentativa
di * rispetto alla base canonica, è simmetrica, quindi l’endomorÞsmo è simmetrico e in base al teorema spettrale anche ortogonalmente diagonalizzabile, a
maggior ragione sarà anche diagonalizzabile.
5
5
2
0
0
1
3
0
2
3
2
5
2
e.
det 7
co
m
c) Per calcolare gli autospazi dell’endomorÞsmo bisogna calcolare dapprima
gli autovalori di tale applicazione risolvendo l’equazione caratteristica, che si
ottiene dalla seguente relazione:
6
0 8 =0
rib
calcolando il determinante rispetto alla seconda riga si ha l’equazione
¶µ
¶
¸
5
5
9
=0
2
2
4
Ct
·µ
AB
(1 )
che può essere ridotta nel modo seguente
(1 )
µ
9
25
5 + 2 4
4
¶
=0
¡
¢
(1 ) 2 5 + 4 = 0
e produce le seguenti soluzioni
= 1, = 1, = 4
che rappresentano gli autovalori dell’endomorÞsmo.
Quindi vi sono solo due autovalori: = 1 con molteplicità algebrica 2,
essendo soluzione doppia dell’equazione caratteristica, e = 4 con molteplicità
1.
2
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1. In un triangolo rettangolo un cateto misura 42 cm e la sua proiezio
Risposta:
Pitagora:
altezza = sqrt(cateto^2 * proiezione cateto^2) = 33.6cm
Euclide:
proie
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2. Calcola perimetro e area di un triangolo rettangolo sapendo che l'ipoten
Risposta:
Proiezione : cateto = cateto : ipotenusa
=> cateto = sqrt(ipo
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