Compito E - makutolandia

GEOMETRIA A - Ing. Informatica – ESERCITAZIONE in preparazione alla II PROVA INTERMEDIA
1
COGNOME:
NOME:
TEST – Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda.
Risposte
Domande
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 In uno spazio vettoriale euclideo reale V, quale delle seguenti proprietà è vera per ogni u, v ∈ V ?
[1] | < u, v > | ≤ k u k · k v k
[2] | < u, v > | = k u k · k v k
[3] < u, v > ≥ k u k · k v k
[4] | < u, v > | ≥ k u k · k v k
2 Nello spazio vettoriale euclideo reale R3 con il prodotto scalare < u, v >= 4x1 y 1 + x2 y 2 + 2x3 y 3 , dove u = (x1 , x2 , x3 ),
v = (y 1 , y 2 , y 3 ), quale base di R3 è ortonormale?
1
1
[1] B3 = (( √ , 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, ))
2
2
[2] B2 = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
1
1
[3] B1 = (( , 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, √ ))
2
2
1
1
[4] B4 = (( , 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, √ ))
2
2
3 Un sistema lineare di Cramer
[1] è sempre impossibile
[2] ammette sempre una ed una sola soluzione
[3] ammette infinite soluzioni
[4] ammette una soluzione solamente se è omogeneo


2 0 4
4 Per quali valori di h ∈ R la matrice A = 0 h 1 è diagonalizzabile per similitudine?
3 0 3
[1] per h ∈ {−1, 6}
[2] per ogni h ∈ R
[3] per nessun valore di h ∈ R
[4] per ogni h ∈ R − {−1, 6}
5 Un sottospazio vettoriale U 2 di R5 di dimensione 2 è rappresentato da
[1] un sistema lineare omogeneo minimo di 3 equazioni in 5 incognite
[2] un sistema lineare omogeneo minimo di 2 equazioni in 2 incognite
[3] un sistema lineare minimo di 2 equazioni in 5 incognite
[4] un sistema lineare omogeneo minimo di 2 equazioni in 5 incognite
6 Una matrice A ∈ Mn (K) è diagonalizzabile per similitudine se e solamente se
[1] è regolare
Ph
[2] i=1 m.g.(λi ) = n (m.g.= molteplicità geometrica)
Ph
[3] i=1 m.a.(λi ) = n (m.a.= molteplicità algebrica)
[4] ha n autovalori


3 −4 4
7 La matrice A = 1 −1 −8
0 0 −3

−3 0 0
[1] è simile alla matrice  0 1 0
0 0 1 
−3 0 0
[2] è simile alla matrice  0 −3 0
0
0 1
[3] non è diagonalizzabileper similitudine

0 0 0
[4] è simile alla matrice 0 1 0 
0 0 −3
1.1
8 Se U é il sottospazio 
dello spazio vettoriale euclideo (V 5 , < ·, · >) rappresentato, rispetto ad una base ortonormale, dal
1
1
1
1
1

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 = 0
2
2
2
2
sistema lineare minimo
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a25 x5 = 0 allora il complemento ortogonale ⊥ U ha dimensione:

 3
a1 x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 + a35 x5 = 0,
[1] dipende dal prodotto scalare < ·, · >
[2] 3
[3] 5
[4] 2
9 Il seguente sistema lineare





λ2 y + 3z = 0
2x − 9y + z = λ
2x + 4z = 3,
al variare del parametro reale λ, è
[1] possibile con ∞1 soluzioni per λ = 3, impossibile per λ = −3, possibile e determinato ∀λ ∈ R − {3, −3}.
[2] possibile e determinato per λ ∈ {3, −3}, impossibile ∀λ ∈ R − {3, −3}.
[3] possibile e determinato ∀λ ∈ R − {3, −3}, impossibile per λ ∈ {3, −3}.
[4] possibile e determinato per λ = 3, impossibile per λ = −3, possibile con ∞1 soluzioni ∀λ ∈ R − {3, −3}.


3 0 0
10 La matrice A = 0 3 0
1 0 0

0 0 0
[1] è simile alla matrice 0 3 0
0 0 3


3 0 0
[2] è simile alla matrice 0 0 0
0 0 0
[3] non è diagonalizzabileper similitudine

3 0 0
[4] è simile alla matrice 0 3 0
0 1 1
1.2