Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017 1. Usando vettori
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Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017 1. Usando vettori
Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017 1. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare: i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sono ortogonali. ii) Il teorema di Talete che l’angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una semicirconferenza è un angolo retto. 2. i) Dato un elemento ā 6= 0̄ in Zp , per un numero primo p, dimostrare che l’applicazione φ : Zp → Zp , φ(x̄) = āx̄, è iniettiva. ii) Concludere che ogni elemento ā 6= 0̄ in Zp ha un elemento inverso rispetto al prodotto. 3. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita n e f : V → V un endomorfismo anti-autoaggiunto, cioè < v, f (w) >= − < f (v), w >, per tutti v, w ∈ V . Dimostrare che: i) ogni autovalore di f è in iR (un numero puramente immaginario o 0); ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali; iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è anti-hermitiana (A = −t Ā); iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f . 4. i) Per la matrice simmetrica reale 2 A = 0 3 0 3 −1 0 , 0 2 trovare una base ortonormale B di R3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S tale che S −1 AS è una matrice diagonale. ii) Applicare il cambiamento di coordinate x = Sy di R3 alla forma quadratica q(x) = xAx = 2x21 − x22 + 2x23 + 6x1 x3 : qual’è la forma diagonale che si ottiene (”assi principali”)? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R3 di Y = {y ∈ R3 : q(y) = 1} (indicando gli assi y1 , y2 e y3 ); qualè il nome geometrico di questo oggetto? t 5. Data la matrice λ 0 A= 0 0 a λ 0 0 b d µ 0 c e , f µ con λ 6= µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a, . . . , f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual’è la forma normale di Jordan di A (in dipendenza dai coefficienti a, . . . , f ; giustificare la risposta). 6. i) Sia f : Rn → Rm un’applicazione lineare. Dimostrare che esiste una matrice m × n reale A tale che f = L(A) : Rn → Rm (l’applicazione lineare associata alla matrice A). ii) Sia A una matrice reale quadrata n × n. Se esiste una base ortonormale B di Rn di autovettori di A, dimostrare che A è una matrice simmetrica. Seconda prova scritta di Geometria 1, 20 febbraio 2017 1. Usando vettori e ortogonalità, dimostrare che le tre altezze di un triangolo si interseccano in un punto. 2. i) Dare la definizione della matrice MA B (f ) = (aij ) di un’applicazione lineare f : V → W , rispetto a basi A = (v1 , . . . , vn ) di V e B = (w1 , . . . , wm ) di W . ii) Dimostrare che MA B : Hom(V, W ) → M(m × n, K) è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove MA B associa a un’applicazione A lineare f : V → W la sua matrice MB (f ) rispetto alle basi A di V e B di W . 3. i) Per la matrice simmetrica reale 0 √ 2, 1 1 2 A = 2 √0 2 0 trovare una base ortonormale B di R3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S tale che S −1 AS è una matrice diagonale (quale matrice diagonale?) ii) Applicare il cambiamento di coordinate x = Sy di R3 alla forma quadratica q(x) = √ t xAx = x21 +x23 +4x1 x2 +2 2x2 x3 : qual’è la forma diagonale che si ottiene,in coordinate y1 , y2 , y3 (”assi principali”)? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R3 di Y = {y ∈ R3 : q(y) = 1} (indicando gli assi y1 , y2 e y3 ); qualè il nome geometrico di questo oggetto? 4. Data la matrice µ 0 A= 0 0 a λ 0 0 b d λ 0 c e , f λ con λ 6= µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a, . . . , f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual’è la forma normale di Jordan di A, in dipendenza dai coefficienti a, . . . , f ? (giustificare la risposta) 5. Sia v1 , . . . , vn una base di V e v1∗ , . . . , vn∗ la base duale di V ∗ . i) Dimostrare che, per ogni v ∈ V , v = v1∗ (v)v1 + . . . + vn∗ (v)vn . ii) Dimostrare che, per ogni φ ∈ V ∗ , φ = φ(v1 )v1∗ + . . . + φ(vn )vn∗ . 6. i) Sia v1 , . . . , vn una base ortonormale di uno spazio unitario V ; dimostrare che, per ogni v ∈ V , v =< v1 , v > v1 + . . . + < vn , v > vn . ii) Sia w1 , . . . , wm una base ortonormale di un sottospazio W di V , e v ∈ V . Dare la formula per la proiezione ortogonale ṽ ∈ W di v in W (in termini della base di W ), poi dimostrare che v − ṽ è ortogonale a W . iii) Dimostrare che V = W ⊕ W ⊥ .