ESERCIZI PROBABILITA` I euro2

ESERCIZI PROBABILITA’ I
ESERCIZIO 1
Il rendimento annuo di un titolo viene descritto mediante una distribuzione normale. I e III quartile del rendimento sono
uguali a, rispettivamente, -0.1 e 0.3. Si calcoli la probabilità che il rendimento sia negativo.
ESERCIZIO 2
In una popolazione, la quantità di calorie assunte giornalmente da un individuo è ben descritta da una distribuzione
gaussiana con media 2500 calorie e scarto quadratico medio 300.
a) Si calcoli la probabilità che il consumo calorico giornaliero di un individuo scelto a caso dalla popolazione
sia maggiore di 3000; ovvero, equivalentemente, la percentuale di individui nella popolazione che
consumano giornalmente più di 3000 calorie, sulla base del modello proposto.
b) Qual è il valore del consumo calorico che un individuo scelto a caso dalla popolazione supera con probabilità
pari a 0.6? Ovvero, in altri termini, qual è il consumo calorico superato dal 60% degli individui della
popolazione?
ESERCIZIO 3
Si è interessati alla spesa annua sostenuta dalle famiglie di una regione per attività di svago. Si estrae, a caso, una
famiglia che risiede in questa regione; la distribuzione della variabile aleatoria che descrive la sua spesa annua in
attività di svago si assume gaussiana, con una varianza che, sulla base di preesistenti informazioni sulla variabilità delle
quantità in gioco, è fissata pari a 10000
a)
(euro ).
2
Se la spesa media annua delle famiglie della regione fosse pari a 1000 euro, quale sarebbe la probabilità che
la famiglia estratta a caso abbia sostenuto una spesa compresa tra 750 e 1750 euro?
b) Si determini la probabilità che una famiglia scelta a caso spenda più di 1750 Euro.
c) Successivamente, si rileva la spesa annua della famiglia estratta, ed essa risulta pari a 2000 euro.
Alla luce di questo dato (e del modello utilizzato) è ragionevole ipotizzare che la spesa media annua delle famiglie
della regione sia pari a 1000 euro? Si giustifichi opportunamente la risposta.
ESERCIZIO 4
Il ricavo settimanale (in migliaia di euro) risultante dalle vendite di una rivista è modellizzato mediante una
distribuzione gaussiana, di varianza pari a 5; tale valore si suppone assegnato sulla base di informazioni precedenti
sulla variabilità delle vendite.
a) Qual è la probabilità che, in una settimana, il ricavo differisca dal ricavo medio per più di 2 (migliaia di
euro)?
b) Se il ricavo settimanale medio fosse uguale a 20 (migliaia di euro), quale sarebbe la probabilità che il ricavo
in una settimana (a caso) superi 12 (migliaia di euro)?
ESERCIZIO 5
I ritardi, in minuti, riportati da un treno su una tratta vengono registrati su tutti i viaggi (pari a 300) da esso effettuati
nell’ultimo mese. La distribuzione di frequenze dei ritardi è riportata, per intervalli, nella tabella che segue:
intervalli Freq. assolute
[0,10]
30
(10,20]
62
(20,30]
124
(30,40]
58
(40,50]
26
a)
b)
c)
d)
Si calcoli la percentuale di viaggi in cui il treno ha riportato un ritardo maggiore di 15 minuti.
Si calcolino il numero medio di minuti di ritardo e la varianza dei ritardi.
Si supponga di scegliere, a caso, uno dei 300 viaggi effettuati dal treno e si indichi con X la variabile aleatoria
che descrive il ritardo riportato dal treno scelto. Si calcoli la probabilità che il ritardo sia maggiore di 15
minuti. Si calcolino inoltre valore atteso e varianza di X.
Si supponga ora di modellizzare il ritardo di un viaggio scelto a caso tra i 300 mediante una distribuzione
normale con parametri uguali al valore atteso e varianza calcolati al punto precedente. Si calcoli la probabilità
che il ritardo del treno scelto a caso sia maggiore di 15 minuti, utilizzando il modello gaussiano e si confronti
tale valore con quello ottenuto al punto c).
Esercizi di Probabilità I
ESERCIZIO 1
Si ponga X = rendimento annuo di un titolo. Allora sappiamo che X ∼ N (µ, σ 2 ).
Per poter ottenere P(X ≤ 0) abbiamo bisogno di standardizzare la variable usando la
formula Z =
X−µ
σ
e poi utilizzare le tavole.
Bisogna quindi trovare media e varianza della distribuzione.
Procedimento per ottenere la media µ della distribuzione dati i due quartili:
q1 = −0.1 → P(X ≤ −0.1) = 0.25
q3 = 0.3 → P(X ≤ 0.3) = 0.75
q2 = µ =
q1 + q3
= 0.1
2
Procedimento per trovare la deviazione standard σ della distribuzione dato un quartile
e la media:
0.3 − 0.1
0.3 − 0.1
= FZ
= 0.75
P(X ≤ 0.3) = 0.75 → P Z ≤
σ
σ
Usando le tavole trovo che il valore z =
0.3−0.1
σ
per il quale la funzione di ripartizione
della normale standard è pari a 0.75 è z = 0.67. Si ottiene dunque la deviazione standard:
0.67 =
0.3 − 0.1
σ
→ σ=
0.2
= 0.2985
0.67
Dunque otteniamo il risultato richiesto come segue (la quarta disuguaglianza è ottenuta
guardando le tavole)
0 − 0.1
= P(Z ≤ −0.33) = 1−P(Z ≤ 0.33) = 1−0.6293 = 0.3707
P(X ≤ 0) = P Z ≤
0.2985
ESERCIZIO 2
Si ponga X = quantità di calorie assunte giornalmente da un individuo. Allora sappiamo
che X ∼ N (µ = 2500, σ 2 = 3002 ).
a) P(X ≥ 3000) = 1 − P(X ≤ 3000) = 1 − P Z ≤
1
3000−2500
300
= 1 − P (Z ≤ 1.67) =
1 − FZ (1.67) = 1 − 0.9525 = 0.0475. Si noti che la quinta uguaglianza è ottenuta con le
tavole.
b) Sia x il valore del consumo calorico ricercato, tale quindi che P(X > x) = 0.6 o,
x−2500
equivalentemente, P(X ≤ x) = 0.4 . Dunque P(X ≤ x) = P Z ≤ x−2500
.
è
300
300
allora il quantile di ordine 0.4 di una Normale Standard. Dalle tavole si ottiene z = −0.25
e dunque x = −0.25 ∗ 300 + 2500 = 2425.
ESERCIZIO 3
Si ponga X = spesa annua sostenuta dalle famiglie di una regione per attività di svago.
Allora sappiamo che X ∼ N (µ, σ 2 = 10000).
Si assuma µ = 1000 e si noti che σ = 100.
P(750 < X < 1750) = P
750−1000
100
<Z<
1750−1000
100
= P(−2.5 < Z < 7.5) = FZ (7.5) −
FZ (−2.5) = 0.9938 ' 1.
b) Dallo svolgimento del punto a) risulta che la probabilità di una spesa superiore a 1750
è all’incirca uguale a 0.
c) No, non è ragionevole; infatti la probabilità di osservare una spesa pari o superiore a
1750 è zero se la media è 1000.
ESERCIZIO 4
Si ponga X = ricavo settimanale risultante dalle vendite di una rivista. Allora sappiamo
che X ∼ N (µ, σ 2 = 5).
a) P[(X > µ+2) oppure (X < µ−2)] = 1−P(µ−2 < X < µ+2) = 1−P
1 − P(− √25 < Z <
√2 )
5
µ−2−µ
σ
<Z<
µ+2−µ
σ
= 1 − P(−0.89 < Z < 0.89) = 1 − [FZ (0.89) − (1 − FZ (0.89)] =
2 − 2 ∗ 0.7244 = 0.3734.
b) Si assuma µ = 20. Allora P(X > 12) = 1 − P(X < 12) = 1 − P Z <
12−20
√
5
=
1 − FZ (−3.57) ' 1.
ESERCIZIO 5
a) La frequenza è pari a
31+124+58+26
300
=
239
300
2
= 0.7966, dunque la percentuale è 79.66%.
=
30∗5+62∗15+124∗25+58∗35+26∗45
= 24.6.
300
2
2
30(5−24.6) +62(15−24.6) +124(25−24.6)2 +58(35−24.6)2 +26(45−24.6)2
300
b) µ =
σ2 =
Si ottiene dunque σ =
√
= 114.5067.
114.5067 ' 10.7.
c) Si ponga X = ritardo. Dunque P(X > 15) = 0.7966 (vedi punto a). Inoltre sappiamo
che µ = E(X) = 24.6 e σ 2 = Var(X) = 114.5067.
d) Si ponga X = ritardo e si assuma che X ∼ N (24.6, σ 2 = 114.5067).
' 1 − FZ (−0.9) = FZ (0.9) = 0.8159.
P(X > 15) = P Z > 15−24.6
10.7
3
ESERCIZI DI PROBABILITA’ II
ESERCIZIO 1
Dai dati in possesso dall’ufficio marketing di un grande magazzino è noto che i clienti spendono, in media,
95 euro con una deviazione standard di 21 euro. Si assuma la distribuzione normale per la spesa dei clienti.
a) Determinare la probabilità che un cliente scelto a caso spenda meno di 68 euro.
b) Il direttore della divisione marketing decide una politica promozionale che consiste nell’offrire un
omaggio ai visitatori del grande magazzino che spendono più di una certa cifra. Come deve essere fissata tale
cifra affinché il 5% dei clienti riceva l’omaggio?
c) Qual è la probabilità che estraendo a caso un cliente, questi riceva l’omaggio?
ESERCIZIO 2
Uno studio condotto da un mensile di videogiochi e computer rivela che gli abbonati della rivista trascorrono
una media di 12 ore alla settimana davanti al computer a giocare. Ipotizziamo che il tempo trascorso a
giocare sia distribuito normalmente con scarto quadratico medio pari a 2.3 ore.
a) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra tra le 15 e le 20 ore settimanali a giocare al
computer
b) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra più di 10 ore settimanali a giocare al computer
c) Determinare la probabilità che un abbonato trascorra più di 18 ore settimanali a giocare al computer
c) Il 10% degli abbonati gioca al computer un numero di ore superiore o pari a …?
ESERCIZIO 3
La spesa mensile (in euro) delle famiglie milanesi in prodotti per la casa si distribuisce secondo la legge
normale con media pari a 50 euro e scarto quadratico medio pari a 10 euro.
a) Determinare la probabilità che una famiglia milanese spenda più di 60 euro?
b) L’80% delle famiglie milanesi spende una cifra compresa tra 10 euro e … euro
ESERCIZIO 4
Il numero di televisori presenti nelle 5052 famiglie di una piccola città ha la seguente distribuzione
N. televisori
0
1
2
3
Freq. Assol.
875
1264
2345
568
Determinare la probabilità che estraendo a caso una famiglia della piccola città, questa possieda:
a) 1 televisore
b) almeno un televisore
c) meno di 2 televisori
ESERCIZIO 1
Per descrivere il numero di guasti mensili cui sono soggette le due parti A e B di un impianto industriale
viene utilizzata la seguente distribuzione di probabilità:
X \ Y
0
1
2
0
0.2
0.1
0
0.3
1
0.1
0.2
0
0.3
2
0
0.2
0.2
0.4
0.3
0.5
0.2
dove X = numero di guasti di A e Y = numero di guasti di B
a- Si calcoli la probabilità che A abbia almeno un guasto
b-Si calcoli la probabilità che A e B abbiano entrambi almeno un guasto
c-Si calcoli la probabilità che vi sia stato un guasto nel complesso
d- Si calcoli il numero atteso di guasti di B
e- Si dica se è più variabile il numero di guasti di A o quello di B.
f- Si calcoli il numero atteso di guasti totali
g- La riparazione di un guasto di A costa 100; quella di un guasto di B costa 150. Si calcoli il costo totale
atteso di riparazione mensile
h- Si calcoli lo scarto quadratico medio del costo totale
ESERCIZIO 2
La realizzazione di un prodotto consta di 3 fasi: A, B e C.
Sia X il tempo (in secondi) della fase A, Y quello della fase B e Z quello della fase C.
X è descritto da una distribuzione normale di media 40 e varianza 9; Y e Z hanno media rispettivamente 40
e 50 e varianza 4 e 9. Inoltre:
Cov(X,Y)=4
Cov(X,Z)=-1
Cov (Y,Z)=3
a-Si calcoli la probabilità che il tempo della fase A sia inferiore a 35 secondi
b- Per la fase A, qual è il tempo superato con probabilità 0.1?
c- Qual è il tempo atteso di lavorazione totale?
d- Qual è la sua varianza?
e- 1 secondo di lavorazione della fase A ha costo pari a 7, 1 secondo della fase B ha costo pari a 6, 1
secondo della fase C ha costo pari a 8. Si calcoli la varianza del costo totale di lavorazione del prodotto
f- Supponendo che il costo totale abbia distribuzione normale , si calcoli la probabilità che il costo totale sia
compreso tra 900 e 1000.
ESERCIZIO 3
Siano X,Y e Z variabili aleatorie con X distribuita normalmente con media -3 e varianza 9 , Y distribuita
normalmente con media 0e varianza 4 e Z distribuita normalmente con media 2 e varianza 2.
Consideriamo T=X-Y-Z
Supponiamo: ρ(X,Y)=-0.3 ρ(X,Z)=0 e ρ(Y,Z)=0.2
a- Calcolare E(T)
b- Calcolare Var(T)
c- Supponendo T normale, calcolare il quantile di ordine 0.4 di T
ESERCIZIO 4
Il tempo totale impiegato da un dipendente di un’azienda per raggiungere, da casa, il luogo di lavoro è dato
dalla somma dei seguenti 4 tempi:
1: tempo impiegato per raggiungere, a piedi, la fermata del tram, pari a 6 minuti;
2: tempo di attesa del tram, descritto da una variabile aleatoria con distribuzione normale di media 7
minuti e scarto quadratico medio di 2 minuti;
3: tempo impiegato per percorrere il tratto in tram, descritto da una variabile aleatoria con distribuzione
normale di media 16 e scarto quadratico medio 3;
4: tempo impiegato per percorrere, a piedi, il tratto fermata del tram-luogo di lavoro, pari a 1 minuto.
Si supponga che il tempo di attesa ed il tempo di percorrenza del tram siano associati e che il legame sia
descritto da una covarianza pari a 4.
a) Si calcoli la probabilità che il tempo di percorrenza del tram sia superiore a 14 minuti.
b) Si dica, giustificando la risposta, se è da ritenersi meno variabile il tempo di attesa o il tempo di
percorrenza del tram.
c) Supponendo distribuito in accordo ad una normale anche il tempo totale impiegato dalla persona
per il percorso casa-lavoro, si calcoli la probabilità che tale tempo sia maggiore di 35 minuti.
d) Se il dipendente deve essere al lavoro alle ore 9.00, a che ora deve partire per limitare la
probabilità di arrivare in ritardo al 5%?
Esercizi di Probabilità II
ESERCIZIO 1
Si ponga X = spesa media. Allora sappiamo che X ∼ N (µ = 95, σ 2 = 212 ).
= P (Z < −1.29) = FZ (−1.29) = 1 − FZ (1.29) =
a) P(X < 68) = P Z < 68−95
21
1 − 0.9015 = 0.0985
b) Sia x il valore della soglia di spesa ricercato. Si tratta di determinare il valore x tale
che P(X > x) = 0.05 o equivalentemente P(X < x) = 0.95. Standardizzando si ottiene
P( X−95
21 <
x−95
21 )
= 0.95 quindi
x−95
21
è il quantile della Normale Standard di ordine 0.95,
che dalle tavole si trova eguale a 1.64. Quindi x = z ∗ 21 + 95 = 129.44.
c) Chiaramente la probabilità è 0.05 (5%) per come è stata scelta la soglia.
ESERCIZIO 2
Si ponga X = tempo trascorso a giocare. Allora sappiamo che X ∼ N (µ = 12, σ 2 =
2.32 ).
a) P(15 < X < 20) = P
15−12
2.3
<Z<
20−12
2.3
= P (1.3 < Z < 3.48) = FZ (3.48) −
FZ (1.3) = 0.9997 − 0.9032 = 0.0965.
b) P(X > 10) = P Z > 10−12
= 1 − FZ (−0.87) = FZ (0.87) = 0.8078.
2.3
c) P(X > 18) = P Z > 18−12
= 1 − FZ (2.61) = 1 − 0.9955 = 0.0045. d) Sia x il numero
2.3
di ore ricercato, tale che P(X > x) = 0.1, o, equivalentemente P(X < x) = 0.9.
Standardizzando si ottiene P(X < x) = P( X−12
2.3 <
x−12
2.3 )
= 0.9 quindi
x−12
2.3
è il quantile
di ordine 0.9 della Normale Standard, che dalle tavole si trova eguale a 1.28. Quindi
x = z ∗ 2.3 + 12 = 14.944.
ESERCIZIO 3
Si ponga X = spesa mensile sostenuta dalle famiglie milanesi in prodotti per la casa.
Allora sappiamo che X ∼ N (µ = 50, σ 2 = 102 ).
a) P(X > 60) = P Z > 60−50
= 1 − FZ (1) = 1 − 0.8413 = 0.1587.
10
b) Sia x il valore ricercato, vale a dire tale che P(10 < X < x) = 0.8 o, equivalentemente,
1
P
10−50
10
<Z<z=
x−50
10
= 0.8. Dunque si ottiene
FZ (z) − FZ (−4) = 0.8 → FZ (z) ' 0.8 + 0 = 0.8
Grazie alle tavole si trova z = 0.84 che equivale alla cifra x = z ∗ 10 + 50 = 58.4.
ESERCIZIO 4
Si ponga X = numero di televisori.
a) P(X = 1) =
b) P(X ≥ 1) =
c) P(X < 2) =
1264
5052 = 0.25, ossia il 25%.
1264+2345+568
' 0.83, ossia l’83%.
5052
875+1264
' 0.42, ossia il 42%.
5052
2
Esercizi di Probabilità III
ESERCIZIO 1
Si ponga X = numero di guasti di A e Y = numero di guasti di B.
a) P(X ≥ 1) = 0.5 + 0.2 = 0.7.
b) P[(X ≥ 1) e (Y ≥ 1)] = 0.2 + 0.2 + 0.2 + 0 = 0.6 (vedi fig. 1).
Figure 1
c) P(X + Y = 1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 (vedi fig. 2).
Figure 2
d) E(Y ) = 0 ∗ P(Y = 0) + 1 ∗ P(Y = 1) + 2 ∗ P(Y = 2) = 0.3 + 0.8 = 1.1
e) Si calcoli prima il valore atteso di guasti di A, E(X) = 0.9, e le due varianze:
Var(X) = 02 ∗P(X = 0)+12 ∗P(X = 1)+22 ∗P(X = 2)−E(X)2 = 0.5+0.8−0.81 = 0.49
Var(Y ) = 02 ∗ P(Y = 0) + 12 ∗ P(Y = 1) + 22 ∗ P(Y = 2) − E(Y )2 = 0.3 + 1.6 − 1.21 = 0.69
Utilizzando il coefficiente di variazione si può notare che il numero di guasti di A è di
poco più variabile del numero di guasti di B:
√
√
0.49
0.69
C.V.(X) =
= 0.778
C.V.(Y ) =
= 0.755
0.9
1.1
1
f) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = 2
g) Si ponga C = costo di riparazione. Allora E(C) = E(100X + 150Y ) = 100E(X) +
150E(Y ) = 255.
h) Var(C) = Var(100X + 150Y ) = 1002 Var(X) + 1502 Var(Y ) + 2Cov(100X, 150Y ) =
1002 Var(X) + 1502 Var(Y ) + 2 ∗ 100 ∗ 150Cov(X, Y ) = 10000 ∗ 0.49 + 22500 ∗ 0.69 + 30000 ∗
p
0.41 = 32725. Dunque lo scarto quadratico medio è σC = Var(C) = 180.9.
P
NB. La covarianza si calcola come segue: Cov(X, Y ) =
xyP(X, Y ) − E(X)E(Y ) =
1 ∗ 1 ∗ 0.2 + 1 ∗ 2 ∗ 0.2 + 2 ∗ 2 ∗ 0.2 − 0.9 ∗ 1.1 = 0.41.
ESERCIZIO 2
Si ponga X il tempo (in secondi) della fase A, Y quello della fase B e Z quello della
fase C. Si assuma che X ∼ N (µ = 40, σ 2 = 9), E(Y ) = 40, E(Z) = 50, Var(Y ) = 4,
Var(X) = 9, Cov(X, Y ) = 4, Cov(X, Z) = −1, Cov(Z, Y ) = 3.
= FZ (−1.67) = 1 − FZ (1.67) = 1 − 0.9525 = 0.0475.
a) P(X < 35) = P Z < 35−40
3
b) Bisogna risolvere l’equazione (in x) P(X > x) = 0.1 o, equivalentemente, P(X < x) =
0.9. Standardizzando, P Z < z = x−40
= 0.9, e usando le tavole si trova z = 1.28 che
3
equivale alla cifra x = z ∗ 3 + 40 = 43.84.
c) E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y ) + E(Z) = 40 + 40 + 50 = 130.
d) Var(X+Y +Z) = Var(X)+Var(Y )+Var(Z)+2Cov(X, Y )+2Cov(X, Z)+22Cov(Y, Z) =
9 + 4 + 9 + 2 ∗ 4 + 2 ∗ (−1) + 2 ∗ 3 = 34.
e) Si ponga C = costo di lavorazione. Dunque Var(C) = Var(7X + 6Y + 8Z) =
49Var(X) + 36Var(Y ) + 64Var(Z) + 84Cov(X, Y ) + 112Cov(X, Z) + 96Cov(Y, Z) = 49 ∗
9 + 36 ∗ 4 + 64 ∗ 9 + 84 ∗ 4 + 112 ∗ (−1) + 96 ∗ 3 = 1673.
f) Si assuma C ∼ N (µ, σ 2 = 1673) con µ = E(C) = E(7X + 6Y + 8Z) = 920.
1000−920
√
√
Dunque P(900 < C < 1000) = P 900−920
<
Z
<
= FZ (1.96) − FZ (−0.49) =
1673
1673
FZ (1.96) − 1 + FZ (0.49) = 0.975 − 1 + 0.6879 = 0.6629.
ESERCIZIO 3
Si pongano X ∼ N (µ = −3, σ 2 = 9), Y ∼ N (µ = 0, σ 2 = 4) e Z ∼ N (µ = 2, σ 2 = 2).
Sia T = X − Y − Z e si assuma ρ(X, Y ) = −0.3, ρ(X, Z) = 0 e ρ(Z, Y ) = 0.2.
a) E(T ) = E(X − Y − Z) = E(X) − E(Y ) − E(Z) = −3 − 2 = −5.
2
p
b) Per calcolare le covarianze si usa la seguente formula: Cov(X, Y ) = ρ(X, Y ) VarXVar(Y );
si ottiene dunque Cov(X, Y ) = −1.8, Cov(X, Z) = 0 e Cov(Z, Y ) = 0.566. Si puo quindi
calcolare a varianza di T come segue: Var(T ) = Var(X − Y − Z) = Var(X) + Var(Y ) +
Var(Z)−2Cov(X, Y )−2Cov(X, Z)+2Cov(Y, Z) ' 9+4+2+2∗1.8+2∗0.5657 = 19.7314.
c) Si assuma T ∼ N (µ = −5, σ 2 = 19.7314). Per calcolare il quantile bisogna risolvere
0.4 +5
l’equazione 0.4 = FT q0.4 = P(T < q0.4 ) o, equivalentemente, 0.4 = P Z < z = √q19.7314
.
√
Usando le tavole si trova z = −0.25 che equivale al quantile q0.4 = z ∗ 19.7314 − 5 =
−6.11.
ESERCIZIO 4
Si ponga T = tempo impiegato da un dipendente di un’azienda per raggiungere, da casa,
il luogo di lavoro. Allora abbiamo che T = X + Y + J + H dove X = 6, Y ∼ N (µY =
7, σY = 2), J ∼ N (µJ = 16, σJ = 3) e H = 1. Si assuma inoltre che Cov(Y, J) = 4.
a) P(J > 14) = P Z > 14−16
= P(Z > −0.67) = FZ (0.67) = 1 − 0.9525 = 0.7486.
3
b) Si utilizzi il coefficiente di variazione dei due tempi
C.V.(Y ) =
2
= 0.2857
7
C.V.(J) =
3
= 0.1875
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dunque il tempo di attesa Y è più variabile del tempo di percorrenza del tram, J.
c) Si assuma T ∼ N (µT , σT2 ) dove µT = E(T ) = E(X +Y +J +H) = 7+E(X)+E(J) = 30
e σT2 = σ 2 (Y + J) = σ 2 (Y ) + σ 2 (J) + 2Cov(Y, J) = 4 + 9 + 8 = 21. Dunque P(T > 35) =
√
= P(T > 1.09) = 1 − FZ (1.09) = 1 − 0.8621 = 0.1379.
P Z > 35−30
21
√
d) Bisogna risolvere l’equazione (in t) P(T > t) = 0.05 o, equivalentemente, P Z > z = t−30
=
21
√
0.05. Usando le tavole si ottiene z = 1.64 che equivale a t = z ∗ 21 + 30 = 37.52. Il
lavoratore deve quindi uscire di casa circa 38 minuti prima delle 9:00, ossia alle 8:22.
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