Schema - andreadd.it
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Equazioni lineari a coefficienti costanti: sono equazioni del tipo: . Sfruttiamo il principio di sovrapposizione per scrivere “soluzione generale = soluzione generale parte omogenea + soluzione particolare equazione completa”. Si studia quindi l’equazione caratteristica: e ad ogni sua radice reale si associa dell’equazione differenziale; ad ogni coppia di soluzioni complesse e coniugate dell’equazione caratteristica associamo Principio di sovrapposizione (vale per la linearità): se u è soluzione di allora ogni combinazione lineare di e risolve . Dimostrazione: Conseguenza: se A ha 2 autovalori reali e distinti λ1, λ2 (con auto vettori rispettivi Sistemi 2.2: del tipo: ) posso scrivere la soluzione generale del sistema 2.2: . Distinguiamo veri casi: autovalori reali distinti, stesso segno - , integr. gen: - autovalori reali, segno opposto integrale generale: - “degenere”: 1 autovalore è nullo autovalori complessi e coniugati autovalori reali coincidenti distinguiamo 2 sottocasi: - regolare (se molteplicità algebrica e molteplicità geometrica coincidono); - non regolare [Molteplicità algebrica k: è K volte soluzione dell’equazione caratteristica ] [Molteplicità geometrica: numero di parametri dai quali dipende la soluzione dell’equazione: ] Teorema: un autovalore semplice è sempre regolare [moltepl geom moltepl algeb] Teorema: se ogni autovalore di A è regolare A è diagonalizzabile, ovvero abbiamo n autovettori l. i. accostati costituiscono S (invertibile perché fatta da colonne l.i.) con la proprietà che: (diagonale) - Matrice esponenziale: partendo da un sistema 2.2 introduco una matrice esponenziale introdotta deve risolvere il sistema: con la proprietà: ovvero la matrice . La soluzione generale del sistema sarà data da: [Polinomio di Taylor con resto di Peano: ] Se A non è diagonale, ma è diagonalizzabile, cioé se [autovalori distinti regolari] Definizione: . Conseguenze: - se A è diagonale: - se A è diagonalizzabile: [se un insieme di n autovettori l.i. che accostati generano S e ] Integrale Generale: Casi particolari ; Def [caso A non diagonalizzabile]: N è nihlpotente di ordine k se k(intero) t.c. Teorema [autovalori coincidenti non regolari]: P è diagonalizzabile usando S costituita da un set di autovettore generalizzato relativo ad A. Def: autovettore generalizzato associato ad A è una soluzione del sistema: Per una matrice qualsiasi: Matrice esponenziale autovalori complessi: si usa una matrice auto vettori. Effetto di su A: . ottenuta facendo l’accostamento della parte reale e della parte immaginaria degli pseudo diagonalizza A portandola nella forma . La matrice esponenziale è: quindi Oppure, più semplicemente trovo tradizionalmente gli autovettori che costituiscono la matrice S, di conseguenza trovo S -1 così da trovare: Sistemi non lineari autonomi: Metodo globale Def integrale primo: Equivalentemente costante su soluzione del sistema non lineare autonomo [non operativa]. è costante quindi equazione che definisce gli integrali primi, equazione differenziale alle derivate parziali. Teorema: se sappiamo trovare la soluzione dell’equazione delle traiettorie la soluzione generale dell’equazione delle traiettorie è un integrale primo. Dimostrazione: sia una soluzione dell’equazione delle traiettorie , derivo rispetto a x: . In forma implicita data da , uso Conseguenza: le linee di livello di sono insieme di traiettorie. Osservazione: integrali primi = ”sistemi conservativi”, l’integrale primo si conserva lungo le traiettorie Il sistema Lotka-Volterra ammette l’integrale primo: Sistemi Hamiltoniani: Teorema: se un sistema è hamiltoniano, H è un integrale primo. Dimostrazione: Condizione necessaria per Hamilton: Osservazione: questa condizione necessaria è anche sufficiente se il dominio di f e di g è semplicemente connesso. Classificazione dei punti di equilibrio sistemi lineari: 2 autovalori reali e distinti origine = nodo a due tangenti 2 autovalori reali origine = colle o sella sempre instabile: 1 autovalore reale doppio 2 autovalori complessi e coniugati Linearizzazione: Proposizione I: se per S.L., l’origine è asintoticamente stabile o instabile S.O. è asintoticamente stabile o instabile rispettivamente. Proposizione II: se per S.L., l’origine è: nodo a due tangenti P0 è la “deformazione di nodo a due tangenti” per S.O. e così per nodo a una tangente, fuoco o sella. Dubbio il caso di centro. Matrice jacobiana: Teorema (Stabilità per linearizzazione): Se l’origine è asintoticamente stabile per il S.L.P0, (cioè gli auto valori di hanno parte reale negativa), allora è localmente asintoticamente stabile per S.O. Se ha un autovalore con parte reale positiva, allora è instabile sia per S.L.P0 che per S.O. Funzione di Liapunov: V è una funzione di Liapunov per il sistema autonomo nell’intorno A dell’origine se: 12Teorema: L’esistenza di una funzione di Liapunov garantisce che l’origine, punto d’equilibrio, sia stabile. Se inoltre: allora l’origine è asintoticamente stabile. Coordinate polari: sostituzione: . Differenziando le equazioni: . Otteniamo le relazioni dinamiche: Caso non omogeneo: Risolvere prima e trovare il suo integrale generale. Poi pongo dalla quale trovo soddisfare l’equazione dalla quale ricavo . Vale lo stesso per . Se allora devo porre Se ho ad es. devo porre che dovrà soddisfare l’equazione ricaverò ad es. L’integrale generale sarà ad esempio: , e ponendo ricaverò che devono dalla quale Classificazione delle Traiettorie (orbite): - Punti Critici = Punti stazionarie (di equilibrio) ; Se l’unico punto critico è l’origine; Se il sistema ha un luogo di punti stazionari dato dalle soluzioni di , quindi c’è una retta di punti critici coincidente con l’autovettore relativo all’autovalore nullo. - Le traiettorie periodiche corrispondo ai livelli energetici che sono confinati nella buca di potenziale - Traiettorie: Le traiettorie non costanti si trovano facendo Se infinite che integrato da l’equazione delle traiettorie: Gli autovettori di un sistema sono le uniche traiettorie (orbite) rettilinee. Se Le traiettorie (orbite) rettilinee sono - Luogo dei punti: Def: un punto si dice punto di equilibrio per il sistema se: . Il punto è l’orbita che corrisponde alla soluzione costante: , con grafico una retta parallela all’asse t. Il punto si dice: - stabile se per ogni , esiste un tale che, se , la soluzione esiste per ogni . [una soluzione che parte abbastanza vicino a si mantiene sempre abbastanza vicino]; - asintoticamente stabile se è stabile e, inoltre, . [una soluzione che parte abbastanza vicino a non solo ci si mantiene sempre abbastanza vicino ma converge a ]; - instabile se non è stabile, cioè se non vale la condizione di stabilità. I cicli sono orbite che hanno la forma di curve semplici e chiuse e che corrispondono a soluzioni periodiche. Orbite periodiche isolate prendono il nome di cicli limite ( ), che si dice: - stabile se per ogni , esiste un tale che le orbite che partono a distanza minore di da rimangono a distanza da minore di , per ogni ; - asintoticamente stabile se è stabile e se le orbite che partono a distanza minore di si avvolgono a spirale su , per ; - instabile se non è stabile (ossia se esistono orbite che, pur partendo vicino quanto si vuole a , se ne allontanano).