Il determinante Calcolo del determinante di matrici particolari matrici

Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici di ordine 2: sia
A=
a11
a21
a12
,
a22
allora
det A = a11 a22 − a21 a12 .
Esempio. Calcolare il determinante di
1 −2
A=
.
−3 4
matrici di ordine 3: sia

a11
A = a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  ,
a33
allora
det A = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 .
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici di ordine 2: sia
A=
a11
a21
a12
,
a22
allora
det A = a11 a22 − a21 a12 .
Esempio. Calcolare il determinante di
1 −2
A=
.
−3 4
matrici di ordine 3: sia

a11
A = a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  ,
a33
allora
det A = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 .
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Esercizio 6.
Calcolare il determinante di

0 0
A= 2 2
−1 1
ciascuna delle seguenti matrici:



−2 0
1
−1
5  , B =  32 −2 − 12  .
2
3
2
3
Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici:




0 1 1
2 0 −1
C = 2 3 0  , D =  32 −1 31  .
4 1 2
0 2 0
E=
0
−1
0
,
2
F =
−2
−6
1
.
3
Esercizio 6.
Calcolare il determinante di

0 0
A= 2 2
−1 1
ciascuna delle seguenti matrici:



−2 0
1
−1
5  , B =  32 −2 − 12  .
2
3
2
3
Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici:




0 1 1
2 0 −1
C = 2 3 0  , D =  32 −1 31  .
4 1 2
0 2 0
E=
0
−1
0
,
2
F =
−2
−6
1
.
3
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −1 0 0 
0 −7


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −1 0 0 
0 −7


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −1 0 0 
0 −7


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Proprietà del determinante
Sia A = [aij ] ∈ Matn (K). Allora:
det A = det AT ;
se B è la matrice ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di
A per α ∈ K, si ha det B = α det A;
se A = [A1 | . . . |An ] e C ∈ Matn,1 (K), si ha
det[A1 | . . . |Aj + C | . . . |An ] =
= det[A1 | . . . |Aj | . . . |An ] + det[A1 | . . . |C | . . . |An ],
e analogamente se viene sommato un vettore riga;
se A ha una riga (o una colonna) nulla, si ha det A = 0;
se B è la matrice ottenuta scambiando di posto due righe (o due
colonne) di A, allora det B = − det A;
se A ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali: det A = 0;
det In = 1.
Il determinante
Esempi. Date le matrici

2 0
A = 2 −1
4 1
C=
0
−1

1
0 ,
2
−2
,
−2

0
B =  32
0
2
−1
2
−4
D=
−6
2

1
3 .
0
2
,
3
a) calcolare det A e det AT e verificarne l’uguaglianza;
b) calcolare det B e calcolarlo estraendo il fattore 2 dalla prima e dalla
terza riga;
c) sommare alla seconda colonna di C il vettore [3 − 2]T e calcolare il
determinante;
d) verificare che det D = 0;
e) scambiare di posto due colonne di A e calcolarne il determinante.
Esercizio 7.
Siano

a
A = 1
2
b
−2
0


c
1
−1
−a
e B = −1
−2
b
−2
0

2c
2 .
−2
Sapendo che det A = 3, calcolare il determinante di B.
Compito. Date

a
C = 1
2
le matrici:
b
−2
0

b+c
−1 
−1

e
a
D = a + 1
16
b
b−2
0

c
c + 1 ,
−8
tenendo conto dell’Esercizio precedente, calcolarne i determinanti.
Esercizio 8.
a) Determinare i valori del parametro reale k per cui la seguente matrice
appartenente a Mat3 (R) ha determinante nullo:


1 −1 0
A = 0 1 −k  .
1 0 −k
b) Sia B ∈ Mat4 (C) la matrice:

1
3
B=
0
i
0
1
i
0
i
λ
0
1

1
0
.
0
λ
Determinare per quali valori di λ ∈ C ha determinante nullo.
Esercizio 8.
a) Determinare i valori del parametro reale k per cui la seguente matrice
appartenente a Mat3 (R) ha determinante nullo:


1 −1 0
A = 0 1 −k  .
1 0 −k
b) Sia B ∈ Mat4 (C) la matrice:

1
3
B=
0
i
0
1
i
0
i
λ
0
1

1
0
.
0
λ
Determinare per quali valori di λ ∈ C ha determinante nullo.
Esercizio 8.
Compito.
c) Sia C ∈ Mat3 (R) la matrice:

k
C = 0
1
1
1
1

0
1 .
k
Determinare per quali valori di k ∈ R la matrice ha determinante nullo.
d) Determinare i valori del parametro reale k
ha determinante nullo:

k
0
−1
 1 k − 1 −1
D=
1
k
2
k
k
2k
per cui la seguente matrice

0
0
.
1
0
Proprietà del determinante
Sappiamo che, per definizione di determinante e grazie al I Teorema di
Laplace, se la matrice ha una riga o una colonna di 0, allora il
determinante è nullo.
Per le stesse ragioni, si vede facilmente che, scambiando tra loro due
righe o due colonne di una matrice, il determinante cambia segno.
Se una matrice A ∈ Matn (K) ha due righe o due colonne proporzionali
(linearmente dipendenti), allora essa ha determinante zero. Infatti,
scambiando queste righe o queste colonne si ha: detA= −detA, da cui
detA=0.
Proprietà del determinante
Infine se si sostituisce a una colonna la somma tra essa e un multiplo di
un’altra, il determinante non varia:
sia A ∈ Matn (K) (con A1 , ..., An le colonne di A); sia t ∈ {1, . . . n}, t 6= j.
Allora
det[A1 | . . . |Aj−1 |Aj + αAt |Aj+1 | . . . |An ] =
= det[A1 | . . . |Aj−1 |Aj |Aj+1 | . . . |An ]+det[A1 | . . . |Aj−1 |αAt |Aj+1 | . . . |An ] =
= det[A1 | . . . |Aj−1 |Aj |Aj+1 | . . . |An ]+α det[A1 | . . . |Aj−1 |At |Aj+1 | . . . |An ] =
= det[A1 | . . . |Aj−1 |Aj |Aj+1 | . . . |An ] + 0 = det[A1 | . . . | . . . |An ] = det A.
Lo stesso vale rispetto alle righe.
Il determinante
Metodo di Gauss-Jordan
Consiste nel trasformare una matrice A ∈ Matn (K) in una matrice
triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando
alle colonne di A le seguenti operazioni:
1
scambiare tra loro due colonne → il det cambia segno;
2
moltiplicare una colonna per α 6= 0 → il det risulta moltiplicato per
α;
3
sommare a una colonna un multiplo di un’altra → il det resta
invariato.
Lo stesso può essere detto rispetto alle righe.
Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice


2 1 3
A = 2 −1 1 .
1 0 4
Il determinante
Metodo di Gauss-Jordan
Consiste nel trasformare una matrice A ∈ Matn (K) in una matrice
triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando
alle colonne di A le seguenti operazioni:
1
scambiare tra loro due colonne → il det cambia segno;
2
moltiplicare una colonna per α 6= 0 → il det risulta moltiplicato per
α;
3
sommare a una colonna un multiplo di un’altra → il det resta
invariato.
Lo stesso può essere detto rispetto alle righe.
Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice


2 1 3
A = 2 −1 1 .
1 0 4
Il determinante
Metodo di Gauss-Jordan
Consiste nel trasformare una matrice A ∈ Matn (K) in una matrice
triangolare, della quale è immediato calcolare il determinante, applicando
alle colonne di A le seguenti operazioni:
1
scambiare tra loro due colonne → il det cambia segno;
2
moltiplicare una colonna per α 6= 0 → il det risulta moltiplicato per
α;
3
sommare a una colonna un multiplo di un’altra → il det resta
invariato.
Lo stesso può essere detto rispetto alle righe.
Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice


2 1 3
A = 2 −1 1 .
1 0 4
Il determinante
Metodo di Gauss-Jordan
In generale se per trasformare A ∈ Matn (K) in una matrice triangolare T
sono stati eseguiti p ∈ N scambi di colonne (o righe) e q ∈ N
moltiplicazioni di una colonna (o riga) con gli scalari k1 , . . . , kq , risulta:
det A = (−1)p (k1 · · · kq )−1 det T .
Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice


4 2 3
A =  1 3 1 .
−1 0 5
Il determinante
Metodo di Gauss-Jordan
In generale se per trasformare A ∈ Matn (K) in una matrice triangolare T
sono stati eseguiti p ∈ N scambi di colonne (o righe) e q ∈ N
moltiplicazioni di una colonna (o riga) con gli scalari k1 , . . . , kq , risulta:
det A = (−1)p (k1 · · · kq )−1 det T .
Esempio. Applicare il metodo di G.-J. alla matrice


4 2 3
A =  1 3 1 .
−1 0 5
Esercizio 9.
Calcolare il determinante delle seguenti matrici tramite il metodo di G.-J.:




0 1 1 2
3 1 1
1 0 3 1

A = 1 2 5 , B = 
0 4 2 2 .
2 0 2
0 2 0 1
Compito. Idem per

1
0
C =
3
1
0
2
0
0
3
5
0
2

2
1
.
1
0
Il determinante
Teorema di Binet
Siano A, B ∈ Matn (K). Allora
det AB = det A · det B.
Esempio. Siano

0
A = 2
3
1
0
0

0
2 ,
4

1
B = 5
0
verificare che vale il Teorema di Binet.
2
0
6

0
0 ;
2
Il determinante
Teorema di Binet
Siano A, B ∈ Matn (K). Allora
det AB = det A · det B.
Esempio. Siano

0
A = 2
3
1
0
0

0
2 ,
4

1
B = 5
0
verificare che vale il Teorema di Binet.
2
0
6

0
0 ;
2
Esercizio 10.
Dimostrare che la seguente matrice di Matn (R)

1
1/2 1/3 . . .
1/2 1/2 1/3 . . .

An = 
1/3 1/3 1/3 . . .
. . . . . . . . . . . .
1/n 1/n 1/n . . .
ha determinante

1/n
1/n

1/n

...
1/n
1 2
n! :
Esercizio 11.
Data la matrice A ∈ Matn (K),
a) determinare il det(−A) in funzione di quello di A;
b) se A è antisimmetrica, cosa si può dire del suo determinante?