anello delle matrici, determinante e sue proprietà

L’anello delle matrici
Esempio. Siano
3
A=
0
0
0
2
1
1
,
2

0
1
B=
3
1

1
2
,
4
0
calcolare AB e BA.
Osservazioni
Siano A ∈ Matm,n (K) e B ∈ Matp,q (K).
Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB ∈ Matm,q (K).
Il prodotto BA è definito se m = q. Si ha BA ∈ Matp,n (K).
Il prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni
precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno:
AB ∈ Matm (K)
e BA ∈ Matn (K).
L’anello delle matrici
Esempio. Siano
3
A=
0
0
0
2
1
1
,
2

0
1
B=
3
1

1
2
,
4
0
calcolare AB e BA.
Osservazioni
Siano A ∈ Matm,n (K) e B ∈ Matp,q (K).
Il prodotto AB è definito se n = p. Si ha AB ∈ Matm,q (K).
Il prodotto BA è definito se m = q. Si ha BA ∈ Matp,n (K).
Il prodotto tra matrici non è commutativo. Nelle notazioni
precedenti, ponendo n = p e m = q si hanno:
AB ∈ Matm (K)
e BA ∈ Matn (K).
L’anello delle matrici
Proprietà relative al prodotto tra matrici
Siano A, B ∈ Matm,n (K), C , D ∈ Matn,p (K), E ∈ Matp,q (K). Allora:
(AC )E = A(CE );
(A + B)C = AC + BC e B(C + D) = BC + BD;
per ogni α ∈ K, si ha α(AC ) = (αA)C = A(αC );
AIn = A e In C = C ;
se è definito il prodotto di matrici XY , allora lo è anche Y T X T ed
equivale a (XY )T .
Esercizio 4.
Siano
−2
A=
3
C=
−1
1
1
−1
0
,
1
0
,
−1

1
B = 1
1
2 2
D=
1 1
Calcolare/verificare:
a) (A · B) · C = A · (B · C )
b) (A + D) · B = A · B + D · B
c) 3(A · B) = (3A) · B = A · (3B) (compito)
d) C · I2 = I2 · C = C
e) A · D T
f) (CD)T = D T C T (compito)
g) (C · B T )T = B · C T (compito).

0
0 ,
2
1
.
2
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni righe per
colonne precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni righe per
colonne precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
L’anello delle matrici
Proposizione
La terna (Matn (K), +, ·) è un anello, rispetto alle operazioni righe per
colonne precedentemente definite.
[Significa che (Matn (K), +, ·) è un gruppo abeliano rispetto alla somma;
il prodotto ha l’unità ed è associativo; valgono le proprietà distributive.]
Definizione
Una matrice A ∈ Matn (K) è detta invertibile se esiste una matrice
B ∈ Matn (K) tale che
AB = BA = In .
Osservazione. Tale matrice, se esiste è unica.
Definizione
Nelle notazioni precedenti, la matrice B si dice inversa di A e si indica
con A−1 .
L’anello delle matrici
Proposizione
Siano A, B ∈ Matn (K) invertibili. Allora
−1
a) A−1 è invertibile e A−1
= A;
T
−1
= A−1 ;
b) AT è invertibile e AT
c) AB è invertibile e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Notazione. Gln (K) := {A ∈ Matn (K) : A è invertibile} (gruppo
moltiplicativo).
L’anello delle matrici
Proposizione
Siano A, B ∈ Matn (K) invertibili. Allora
−1
a) A−1 è invertibile e A−1
= A;
T
−1
= A−1 ;
b) AT è invertibile e AT
c) AB è invertibile e (AB)−1 = B −1 A−1 .
Notazione. Gln (K) := {A ∈ Matn (K) : A è invertibile} (gruppo
moltiplicativo).
Il determinante
Sia A ∈ Matn (K) una matrice. Indichiamo con Aij la matrice di
Matn−1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna.
Definizione
Chiamiamo determinante di A = [aij ] ∈ Matn (K) rispetto alla prima
riga lo scalare definito come segue:
aP
se n = 1
11
det A :=
1+j
(−1)
a
det
A
j
se n ≥ 2
1j
1
j∈In
Il determinante si indica anche con |A| o d(A).
Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:


−2 1 0
1 2
A = [2], B =
, C =  1 −2 6 .
3 4
−1 2 3
Il determinante
Sia A ∈ Matn (K) una matrice. Indichiamo con Aij la matrice di
Matn−1 (K) ottenuta eliminando da A la i-esima riga e la j-esima colonna.
Definizione
Chiamiamo determinante di A = [aij ] ∈ Matn (K) rispetto alla prima
riga lo scalare definito come segue:
aP
se n = 1
11
det A :=
1+j
(−1)
a
det
A
j
se n ≥ 2
1j
1
j∈In
Il determinante si indica anche con |A| o d(A).
Esempio. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:


−2 1 0
1 2
A = [2], B =
, C =  1 −2 6 .
3 4
−1 2 3
Il determinante
Teorema (I Teorema di Laplace)
Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque
riga o colonna:
P
rispetto alla i-esima riga: det A = j∈In (−1)i+j aij det Aij ,
P
rispetto alla j-esima colonna: det A = i∈In (−1)i+j aij det Aij .
Definizione
Chiamiamo complemento algebrico dell’elemento aij lo scalare
(−1)i+j det Aij .
Esempio. Data la matrice

−2
A= 0
−1
calcolarne il determinante.

1 0
0 6 ,
2 3
Il determinante
Teorema (I Teorema di Laplace)
Il determinante di una matrice può essere sviluppato rispetto a qualunque
riga o colonna:
P
rispetto alla i-esima riga: det A = j∈In (−1)i+j aij det Aij ,
P
rispetto alla j-esima colonna: det A = i∈In (−1)i+j aij det Aij .
Definizione
Chiamiamo complemento algebrico dell’elemento aij lo scalare
(−1)i+j det Aij .
Esempio. Data la matrice

−2
A= 0
−1
calcolarne il determinante.

1 0
0 6 ,
2 3
Esercizio 5.
Siano

0
A = 0
4
1
3
1

2
3 ,
2

1
C = 3
1
3
2
2

2
1 ,
3

−2
2

B=
1
1

−1
0
D=
0
2

0
− 12 
,
3 
−1

2
1 6
1 −2 52 
.
0
3 1
−3 7 1
4 1
1 −2
0 0
2 −2
Calcolare:
a) il determinante di A e di B;
b) tutti i complementi algebrici di A.
Compito. Calcolare i determinanti delle matrici C e D.
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici di ordine 2: sia
A=
a11
a21
a12
,
a22
allora
det A = a11 a22 − a21 a12 .
Esempio. Calcolare il determinante di
1 −2
A=
.
−3 4
matrici di ordine 3: sia

a11
A = a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  ,
a33
allora
det A = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 .
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici di ordine 2: sia
A=
a11
a21
a12
,
a22
allora
det A = a11 a22 − a21 a12 .
Esempio. Calcolare il determinante di
1 −2
A=
.
−3 4
matrici di ordine 3: sia

a11
A = a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23  ,
a33
allora
det A = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31 .
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Il determinante
Regola di Sarrus
a11
A = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22 ,
a32
Esercizio 6.
Calcolare il determinante di

0 0
A= 2 2
−1 1
ciascuna delle seguenti matrici:



−2 0
1
−1
5  , B =  32 −2 − 12  .
2
3
2
3
Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici:




0 1 1
2 0 −1
C = 2 3 0  , D =  32 −1 31  .
4 1 2
0 2 0
0
E=
−1
0
,
2
−2
F =
−6
1
.
3
Esercizio 6.
Calcolare il determinante di

0 0
A= 2 2
−1 1
ciascuna delle seguenti matrici:



−2 0
1
−1
5  , B =  32 −2 − 12  .
2
3
2
3
Compito. Svolgere lo stesso esercizio per le matrici:




0 1 1
2 0 −1
C = 2 3 0  , D =  32 −1 31  .
4 1 2
0 2 0
0
E=
−1
0
,
2
−2
F =
−6
1
.
3
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −7
0 −1 0 0 


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −1 0 0 
0 −7


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Calcolo del determinante di matrici particolari
matrici diagonali di ordine n: prodotto degli elementi sulla diagonale,
matrici triangolari di ordine n: prodotto degli elementi sulla
diagonale.
Esempio. Calcolare il determinante delle matrici:



3 0 0 0
0 0
0 −1 0 0 
0 −7


A=
0 0 2 0  , B = 0 0
0 0 0 −1
0 0

3
0
C =
0
0
−2
−1
0
0

3 1
0 4
,
2 −2
0 −1

2
−1
D=
1
0
0
−4
2
0

0 0
0 0
,
12 0
0 1

0 0
0 0
.
3 0
0 4
Il determinante
Proprietà del determinante
Sia A = [aij ] ∈ Matn (K). Allora:
det A = det AT ;
se B è la matrice ottenuta moltiplicando una riga o una colonna di
A per α ∈ K, si ha det B = α det A;
se A = [A1 | . . . |An ] e C ∈ Matn,1 (K), si ha
det[A1 | . . . |Ai + C | . . . |An ] =
= det[A1 | . . . |Ai | . . . |An ] + det[A1 | . . . |C | . . . |An ],
e analogamente se viene sommato un vettore riga;
se A ha una riga (o una colonna) nulla, si ha det A = 0;
se B è la matrice ottenuta scambiando di posto due righe (o due
colonne) di A, allora det B = − det A;
se A ha due righe (o due colonne) uguali o proporzionali: det A = 0;
det In = 1.
Il determinante
Esempi. Date le matrici

2 0
A = 2 −1
4 1
C=
0
−1

1
0 ,
2
−2
,
−2

0
B =  32
0
2
−1
2
−4
D=
−6
2

1
3 .
0
2
,
3
a) calcolare det A e det AT e verificarne l’uguaglianza;
b) calcolare det B e calcolarlo estraendo il fattore 2 dalla prima e dalla
terza riga;
c) sommare alla seconda colonna di C il vettore [3 − 2]T e calcolare il
determinante;
d) verificare che det D = 0;
e) scambiare di posto due colonne di A e calcolarne il determinante.