Ricerca del rango riguardo matrici con parametro

Ricerca del rango riguardo matrici con parametro
Laura Aschei
SUGGERIMENTO:
1° caso: matrice del tipo nxn
A=
1
k
k
k+1
0
k
2
0
k
A di ordine 3x3 quindi rg(A) <= 3
1° passo: calcolo il determinante di A al variare di k, lo calcolo rispetto alla seconda colonna
Det(A)= -k ( (k+1)k - 2k ) = -k ( k^2 – k) = - (k-1)k^2
I valori da tenere conto sono 0 e 1, iniziamo a costruirci la tabella.
So che per k diverso 0 e da 1 il determinante è diverso da 0 e il rango
k ≠0 e
è quindi 3 essendo la matrice di ordine 3x3.
K≠1
2° passo: vedo negli altri due casi
K=0
A=
1
0
0
1
0
0
2
0
0
Si nota dalla presenza delle due colonne nulle che il rango di A è 1
K=1
1
1
1
rg = 3
k=0
rg=1
k=1
rg=2
A=
2
0
1
2
0
1
Sappiamo che il determinante di A è 0, quindi il rango sarà sicuramente minore di 3, prendiamo in esame
un qualunque minore di ordine 2 che a vista ci sembra avere determinante diverso da 0, ad esempio:
1
2
1
0
Il determinante di tale di tale matrice è: -2 ≠ 0 perciò il rango della matrice di A sarà maggiore o uguale a 2,
essendo tale sotto matrice di ordine 2.
Rg(A)>=2 e rg(A)< 3 allora rg(A)=2
2° caso: matrice A di ordine nxm
A=
K
1
k+1
0
0
k
k
1
K
1-k
0
0
A di ordine 3x4 quindi rg(A) <= min(3,4) cioè rg(A) <= 3
Ci sono più possibili metodi: o scelgo un minore di ordine 2 di cui studio il determinante e lo orlo, oppure
scelgo un minore di ordine 3 (in quanto è il rango massimo che io possa avere a disposizione) e inizio a
studiarne il determinante al variare di k. Applichiamo il primo metodo e poi il secondo. (se ci fossero state
più righe che colonne il procedimento sarebbe stato il medesimo).
1° metodo: scelgo a mio piacere minore di ordine 2
k
1
0
k
=B
Det(B) = k^2
Per k = 0 avrò quato minore di ordine 2 che avrà determinante sicuramente 0, ma quale sarà il rango della
mia matrice A? Andiamo a calcolarlo sostituendo a k il valore 0
A=
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Notiamo che c’è una colonna nulla quindi tutte le sotto matrici che comprenderanno elementi di quella
colonna avranno determinanti uguali a 0, perciò per il calcolo del mio rango faccio finta che non esista tale
colonna e noto che mi ritrovo a calcolare il rango di una matrice 3x3, vediamone il determinante essendo
una matrice del tipo nxn
Det(C) = det
1
1
0
0
0
1
= -1 (-1) = 1 ≠ 0 perciò essendo un minore di ordine 3 il rg(A) con k=0
1
0
0
sarà maggiore o uguale a 3, ma il rango della matrice a è sicuramente
minore o uguale a 3, perciò per k=0 avremo rg(A)=3. Iniziamo a completare la nostra tabella.
Vediamo ora per k ≠ 0, possiamo applicare il metodo degli orlati
K=0
rg(A)=3
Alla mia matrice minore
k
1
0
k
=B
k≠0
rg(A)=3
In quanto sappiamo che avrà un determinante diverso da 0
Quindi iniziamo ad orlarlo. Orlati possibili:
k
1
k+1
0
k
k
K
1-k
0
K
1
0
0
k
1
K
1-k
0
E
Be scelgo uno dei due e ne studi il determinante al variare di k, ad esempio scelgo il secondo perchè
presenta più 0
K
1
0
0
k
1
K
1-k
0
det di questo minore è: -1 (k – k^2 –k) =k^2
Da questo determinante dedurrei che per k ≠ 0 ho un determinante diverso da 0, ma noi stiamo studiando
esattamente questo caso, quindi abbiamo trovato un minore di ordine 3 diverso da 0, cioè il rg(A) >= 3 ma
rg(A) <= 3 perciò per k ≠ 0 rg(A)=3
Per concludere rg(A)=3 per qualunque k
2° metodo:
A=
K
1
k+1
0
0
k
k
1
K
1-k
0
0
A di ordine 3x4 quindi rg(A) <= min(3,4) cioè rg(A) <= 3
Prendo minore di ordine 3 a mio piacere , per comodità scelgo quello con più zeri
k
k+1
0
0
k
1
K
0
0
Ne calcolo il determinante al variare di k
Det= -1 ( - k^2 – k ) = k^2 +k = k (k+1)
I valori di k da considerare sono 0 e -1
Per k ≠ 0 e k ≠ -1 sappiamo che il determinante della matrice considerata è diverso da 0, quindi il rg(A)=3
Vediamo vegli altri due casi.
K=0
A=
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
Dovremmo fare le stesse considerazioni fatte precedentemente nel 1° metodo, quindi troveremmo che
rg(A) = 3
Per k=-1
A=
-1
1
0
0
0
-1
-1
0
-1
2
0
0
Noto che come nel caso del k=0, ho una colonna nulla quindi non prendendola in considerazione per le
stesse osservazioni fatte nel 1° metodo prendo in esame solo la matrice 3x3 che rimane “eliminando” (cosa
da non dire alla brivio o a bisi!! ) la colonna con tutti zeri, vado a calcolare il determinante della
sottomatrice 3x3
Det(E) = det
-1
1
0
0
-1
-1
= -(-1)(-2 +1)= -1 ≠ 0
-1
2
0
Perciò il rg(A) >= 3 ma essendo per forza rg(A) <= 3 risulterà che rg(A) = 3