Macroeconomia di lungo periodo 1p

L’economia di lungo periodo
1a p.
La crescita:
I modelli di Harrod e Domar;
Il modello di Solow.
Mario Sportelli
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi di Bari
Via E. Orabona, 4
I-70125 Bari (Italy)
(Tel.: +39 (0)99 7720 626; fax: +39 (0)99 7763 295)
E-mail: [email protected]
URL: http://www.dm.uniba.it/~msportelli
1
I modelli di matrice keynesiana.
• Il modello di Roy F. Harrod (1900 – 1978)
La teoria Keynesiana1, affermatasi dopo la crisi del 1929,
aveva mostrato che l’economia può permanere indefinitamente
in un equilibrio di sotto-occupazione. Solo adeguati incrementi
della spesa pubblica potevano stimolare la domanda aggregata
e ridurre la disoccupazione e, teoricamente, consentire uno
stabile equilibrio di piena occupazione.
La teoria dinamica di Harrod, elaborata a partire dal 1939, pur
condividendo l’ottica keynesiana, tendeva ad evidenziare
l’instabilità dell’equilibrio di piena occupazione.
J. M. Keynes “Teoria generale dell’occupazione, dell’interesse e della moneta” 1936.
2
I modelli di matrice keynesiana.
Harrod non formalizzò mai il suo modello, pur continuando ad
affinarlo fino al 1973. Le prime versioni formali del modello
risalgono al 1948 ad opera di altri economisti. Tali versioni
hanno condotto ad una interpretazione del modello di Harrod
come un modello di crescita. In realtà, come recenti studi
hanno dimostrato, la teoria dinamica di Harrod contiene gli
ingredienti per sviluppare un modello di crescita ciclica.
Le ipotesi di base del modello di Harrod sono finalizzate a
fornire una versione dinamica della teoria keynesiana.
3
Il modello di Harrod.
 Il risparmio ex ante (desiderato)
S=
(t ) sY (t − 1)
dove s = propensione media al risparmio (0 < s < 1).
 L’investimento ex ante (desiderato) al tempo t
I (t=
) k (Y (t ) − Y (t − 1) )
dove k = acceleratore (k > 0).
Affinché vi sia equilibrio è necessario che il risparmio e
l’investimento ex ante coincidano. Pertanto,
sY (t −=
1) k (Y (t ) − Y (t − 1) )
4
Il modello di Harrod.
Riordinando, si ottiene:
s+k
Y (t ) −
Y (t − 1) =
0
k
da cui,
s+k 
Y (t ) = Y (0) 

k


t
Pertanto, in equilibrio, il reddito dovrebbe crescere al tasso
costante
Y (t ) − Y (t − 1) s
= = Gw
Y (t − 1)
k
dove Gw = tasso garantito di crescita.
5
Il modello di Harrod.
In modo equivalente al tasso garantito di crescita, può essere determinato ex
post, il tasso effettivo di crescita
s'
G=
k'
Se G = Gw il sistema cresce in equilibrio. Poiché G = Gw solo accidentalmente,
allora:
 se G > Gw deve essere s’ > s o k’ < k. Ne consegue che il risparmio desiderato
inferiore a quello effettivo indurrà una riduzione del risparmio, mentre il
coefficiente desiderato di capitale maggiore del coefficiente di capitale effettivo
indurrà un aumento dell’investimento. Pertanto, Gw si allontanerà ulteriormente
da G.
 se G < Gw deve essere s’ < s o k’ > k. Ne consegue che il risparmio desiderato
maggiore di quello effettivo indurrà un aumento del risparmio, mentre il
coefficiente desiderato di capitale minore del coefficiente di capitale effettivo
indurrà una riduzione dell’investimento. Pertanto, Gw si allontanerà
ulteriormente da G.
6
Il modello di Harrod.
La divergenza progressiva dei due tassi di crescita indotta da
G ≠ Gw è nota in economia come principio d’instabilità di
Harrod.
Sull’instabilità del modello si fondano le maggiori critiche alla
teoria dinamica di Harrod.
7
Il modello di Domar.
Il modello di E. Domar (1914-1997) è spesso accomunato
a quello di Harrod per la similarità del risultato. In realtà,
questo modello parte da presupposti diversi ed ha un
obiettivo diverso: determinare il tasso di crescita
dell’investimento che consentirebbe ad un sistema
economico, che ha raggiunto la piena utilizzazione della
capacità produttiva e la piena occupazione, di permanere
in tale equilibrio nel lungo periodo.
La peculiarità del modello di Domar è nell’aver
evidenziato il duplice ruolo dell’investimento: da un lato
esso accresce la domanda aggregata nel breve periodo,
dall’altro, aumenta la capacità produttiva nel lungo
periodo.
8
Il modello di Domar.
Siano P(t) la produzione potenziale realizzabile con la capacità
produttiva disponibile e I(t) l’investimento (ossia, la variazione
della capacità produttiva). Posto che la produttività media del
capitale (σ) sia costante, la variazione della produzione
potenziale è definita dalla seguente:
P (t ) = σ I (t )
Affinché la capacità produttiva continui ad essere pienamente
utilizzata, è necessario che la domanda aggregata cresca nelle
stessa misura della produzione potenziale:
Y = P
ma
Y = C + I = cY + I
9
Il modello di Domar.
Pertanto, essendo
=
Y
1  1
=
I
I
1− c
s
dove 1 – c = s = propensione marginale al risparmio,
dalla condizione di equilibrio otteniamo:
1
σ I = I ⇒ I = sσ I
s
da cui segue
I (t ) = I 0 e sσ t
10
Il modello di Domar.
Secondo Domar, l’equilibrio permane quando l’investimento cresce ad
un tasso costante pari al prodotto tra la propensione marginale al
risparmio e la produttività media del capitale.
Osservazione – Quando l’investimento cresce al tasso costante sσ, anche
il reddito cresce allo stesso tasso. Infatti, essendo
1  1

=
Y =
I
I
1− c
s
integrando ambo i lati, otteniamo
1
=
Y (t )
I 0 e sσ t + B )
(
s
ma, se in t = 0 vi è equilibrio, deve essere Y0 = (1/s) I0 e, quindi B = 0.
Pertanto, Y (t ) = Y0 e sσ t .
11
I modelli di Harrod e Domar
(una osservazione critica)
Questi due modelli, entrambi instabili, sono accomunati, perché sembra
diano lo stesso risultato formale. Infatti, essendo σ = 1/k, il reddito e
l’investimento crescono allo stesso tasso costante.
In realtà, i due modelli non sono equivalenti.
Supponiamo sussista l’equilibrio S = I. In tempo continuo, la funzione
dell’investimento di Harrod è I = kY . Sostituendo nella condizione di
equilibrio e dividendo ambo i lati per Y, otteniamo:
S (Y )
Y
=k
Y
Y
 S (Y ) Y
Y
da =
cui
= soluzione dinamica di Harrod.
Y
k
12
I modelli di Harrod e Domar
(una osservazione critica)
Differenziando la condizione di equilibrio, otteniamo :
S ′Y = I
Poiché
=
Y (1=
k )I σ I
segue che
I

S ′σ I = I ⇔ = S ′σ = soluzione dinamica di Domar.
I
E’ evidente che le due soluzioni coincidono se e solo se S/Y = S’. Se
questa uguaglianza non sussiste, reddito e investimento crescono a tassi
diversi, nonostante l’equilibrio.
C’è tuttavia un legame tra i due tassi di crescita.
13
I modelli di Harrod e Domar
(una osservazione critica)
Dividendo la soluzione di Domar per quella di Harrod, otteniamo:
I I
S′
= = εS

Y Y SY
dove εS = elasticità del risparmio. Questo coefficiente di elasticità,
come l’evidenza empirica dimostra, è positivo e maggiore di 1.
Pertanto,
Y 1 I
=
Y εS I
Se il reddito cresce più lentamente dell’investimento, la crescita in
condizioni di “Steady state” non esiste.
14
Il modello neoclassico di crescita.
Questo modello si deve all’economista R. Solow (1924) e nasce
come risposta al’instabilità dei modelli del tipo Harrod-Domar.
Le equazioni del modello sono le seguenti:
Y
=
= F (1, K=
Y F ( L, K ) ⇔
L) F (1, r )
L
=
S sY 0 < s < 1
K= I= S
L = L0 e nt
dove F è la funzione di produzione aggregata, L la forza lavoro,
che cresce ad un tasso costante ed esogeno, r = K/L.
15
Il modello neoclassico di crescita.
Il modello si fonda sulle seguenti ipotesi:
• piena occupazione in t = 0;
• la funzione di produzione è di tipo neoclassico e, quindi,
caratterizzata da rendimenti costanti di scala e tale che
FL > 0; FLL < 0 FK > 0 FKK < 0
lim FL = lim FK = ∞
L →0
K →0
lim
FL lim
FK 0
=
=
L →∞
K →∞
Con le opportune sostituzioni, il modello genera un’equazione
differenziale non lineare.
16
Il modello neoclassico di crescita.
r = K L ⇒ K = rL = rL0 e
nt
nt
nt

 e + rnL e =
K=
rL
I=
sY =
sL e F (1, r )
nt
0
0
0
L’equazione dinamica risulta, pertanto,
nt
rL0 e nt + rnL0 e nt =
sL0 e F (1, r )
da cui,
r
sF (1, r ) − nr
17
Il modello neoclassico di crescita.
L’equilibrio
sF (1, r ) = nr
è stabile. Infatti:
sF (1, r ) > nr ⇒ r > 0
mentre,
sF (1, r ) < nr ⇒ r < 0
18
Il modello neoclassico di crescita.
Il tasso di crescita del reddito nel modello di Solow.
s
r
s K
=
⇔ =
n F (1, r )
n Y
K Y
=
K Y
K sY sLF (1, r )
= =
=
K K
K
L K
=
L Y
sF (1, r )
= n
r
Y
Quindi,
= n.
Y
19
Il modello neoclassico di crescita.
Assumendo una funzione di produzione Cobb-Douglas a
rendimenti costanti, possiamo determinare una soluzione
specifica del modello.
Sia Y L1−α K α (0 < α < 1) la funzione di produzione.
=
Essendo
deduciamo
Y Kα
α
= α= r=
F (1, r )
L L
=
r sr α − nr
20
La trasformazione di Bernulli
Poniamo z = r1-� .
z
z =
(1 − α )r r ⇔
=
r −α r
(1 − α )
−α
Moltiplicando ambo i lati dell’equazione dinamica di
Solow per r -� ,
−α
1−α

r r= s − nr
otteniamo
z
= s − nz ⇔ z + n(1 − α ) z = (1 − α ) s
1−α
21
La soluzione analitica
Segue che
[ − n (1−α )]t
z (t ) Ae
=
s
+
n
La soluzione dinamica di Solow è, pertanto:
1
1−α
dove
 [− n (1−α )]t s 
r (t )  Ae
=
+ 
n

1−α
0
=
A r
s
−
n
s
L’equilibrio è stabile, perché t → ∞ ⇒ r (t ) →  
n
1
1−α
.
22