Analisi dell`ecosistema Elefante-Albero

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE
A.A. 1999-2000
Analisi dell’ecosistema
Elefante-Albero
Corso di Teoria dei Sistemi
Docente:
Prof. Alessandro Casavola
Studenti:
Lucia Recchia
Lorenzo Minatti
INDICE
Introduzione…………………………………………………………………………………………..1
1 Analisi dei dati…………………………………………………………………………………….2
1.1 Dati relativi alla distribuzione degli elefanti nel Sud Africa……………………………………..2
1.2 Dati relativi alle specie vegetali presenti in Sud Africa………………………………………….4
2 Modello dell’ecosistema elefanti-alberi……………………………………………………………5
3 Stima dei parametri che compaiono nel modello…………………………………………………..8
4 Ricerca dei punti di equilibrio e stabilità………………………………………………………….11
5 Stima del dominio di attrazione…………………………………………………………………...13
6 Ricerca dei cicli limite…………………………………………………………………………….23
7 Osservatore asintotico…………………………………………………………………………….27
7.1 Analisi dell’ecosistema dopo un incendio………………………………………………………29
7.1 Analisi dell’ecosistema all’interno di un parco nazionale………………………………………32
Appendice…………………………………………………………………………………………...37
INTRODUZIONE
L’oggetto di questo studio è esaminare il sistema formato dagli elefanti e dalle piante che
costituiscono il loro habitat. L’indagine si riferisce all’evoluzione della popolazione degli elefanti e
della vegetazione, limitatamente ad alcune aree di maggiore interesse dell’Africa.
I dati a cui viene fatto riferimento sono relativi all’ultimo secolo e descrivono la situazione
nali dislocati nel Sud Africa. Proprio facendo riferimento a questi dati si è
potuto vedere come, negli ultimi 20 anni, le zone abitate dagli elefanti siano drasticamente
cambiate: si assiste principalmente ad una trasformazione delle foreste in savane, praterie e distese
predesertiche. Questa radicale modificazione del paesaggio è comunemente denominata come
Negli studi e nelle relative pubblicazioni degli anni sessanta viene sostenuta una tesi comune: gli
elefanti distruggono gli alberi più velocemente di quanto questi siano in grado di riprodursi, e
proprio questa è la causa dell’elefant problem.
Tramite l’applicazione ai dati trovati di un modello elaborato da Graeme Caughley, si è dunque
cercato di stabilire qual è la relazione fra elefanti e alberi, e più precisamente se ci si deve aspettare
che si verifichi un ciclo limite (conclusione a cui è arrivato lo stesso Caughley) oppure si pensi che
si riesca a raggiungere un punto di equilibrio stabile.
1 ANALISI DEI DATI
1.1 DATI RELATIVI ALLA DISTRIBUZIONE DEGLI ELEFANTI NEL SUD AFRICA
Sulla distribuzione degli elefanti nel Sud Africa si hanno le prime stime alla fine del 1400. In base
alle testimonianze storiche si può dire che molto probabilmente prima del 1652 nel Sud Africa
c’erano circa 100000 elefanti, mentre oggi si raggiunge il numero molto più contenuto di 9000
esemplari.
Il declino della popolazione degli elefanti è stato originato da diversi fattori, che possono tutti essere
insediamento dell’uomo bianco nel Sud Africa. L’uomo bianco,
infatti, ha occupato parte del territorio che era inizialmente abitata dagli elefanti. Tuttavia, oltre ad
aver causato uno spostamento degli elefanti verso zone meno piovose e quindi meno ricche di
vegetazione, la presenza dell’uomo bianco ha contribuito a creare nuove realtà. Per il proprio
sostentamento egli ha iniziato a destinare alcune zone all’agricoltura e, per difendere il proprio
raccolto e i propri spazi, ha cominciato ad uccidere gli elefanti. In più a tutto questo è cominciato a
nascere anche il commercio dell’avorio e per gli elefanti è stato sempre più difficile doversi
difendere dai cacciatori e in più dover cercare di sopravvivere in un ambiente che lentamente si
stava modificando.
Nel corso degli anni la situazione è andata sempre più peggiorando fino a quando nel 1920 nel Sud
Africa sono rimaste solo quattro popolazioni di elefanti che occupavano un territorio di circa
100000 ettari. Da questo momento in poi la distribuzione degli elefanti è tuttavia cambiata
radicalmente. E’ infatti iniziato il lavoro dei parchi nazionali che hanno saputo accrescere
notevolmente la popolazione degli elefanti con la loro opera di protezione e monitoraggio.
Attualmente la popolazione degli elefanti è principalmente distribuita nelle zone in cui le
precipitazioni piovose sono al di sotto degli 800 mm, questo perché nelle zone più piovose si ha una
alta presenza dell’uomo che trova qui migliori condizioni per la coltivazione del terreno.
Superata la fase dei massacri incontrollati e anche delle operazioni di protezione agricola, il destino
della specie si pone oggi un problema che, fortunatamente, non è più quello della diminuzione, ma
al contrario quello del pericoloso aumento dei capi confinati nei parchi naturali. Il manto vegetale
della maggior parte di essi non è più in grado di sopportare le necessità della popolazione in
aumento costante. Per comprendere la situazione è bene tenere presente che il tasso di
accrescimento della popolazione degli elefanti è dell’ordine del 4-5%, il che significa che nel giro di
venti o venticinque anni il numero di elefanti potrebbe raddoppiare.
Purtroppo l’alterazione dell’ambiente causata dagli elefanti confinati nelle riserve, anche quando si
estendono per migliaia di chilometri, è radicale. E’ infatti proprio per evitare che le stesse
popolazioni di elefanti finiscano col perire o subire una forte depauperazione, che si compiono
periodiche uccisioni, abbattendo principalmente le femmine giovani, responsabili dell’alto indice di
natalità.
Esempio abbastanza significativo di quale sia l’andamento della popolazione degli elefanti
all’interno di un parco nazionale, sono i dati relativi al Kruger National Park.
Numero di elefanti
Popolazione degli elefanti al Kruger
National Park
10000
8000
6000
4000
2000
0
1880
1900
1920
1940
1960
1980
2000
Anno
Variazioni della popolazione degli elefanti fra il 1900 e il 1990 nel Kruger National Park
Nel periodo 1900-1960 il tasso di crescita della popolazione è stato dell’8,9% e riflette l’azione di
recupero svolta dal parco nei confronti degli elefanti e l’immigrazione stessa degli animali. Tuttavia
i dati relativi a questo primo periodo sono abbastanza incerti e quindi scarsamente attendibili.
Fra il 1960 e il 1970 il tasso di crescita è stato di circa il 23,1% all’anno. Il fatto che si riscontri un
tasso così elevato di crescita è imputabile alla presenza più pressa
in Mozambico, cause ragionevoli della crescente immigrazione degli elefanti dalle zone più a
rischio nel parco nazionale. Tuttavia si deve anche tener conto della maggior precisione e regolarità
con cui si sono effettuati censimenti nella zona.
Nel ventennio finale, 1970-1990, è stato registrato un tasso di crescita negativo pari al -0,2% per
anno che è da considerarsi indice di una popolazione stabile. Questo segnale di equilibrio è il frutto
del lavoro di amministrazione e controllo svolto all’interno del parco, ma non può comunque essere
considerato troppo ottimisticamente visto che le previsioni indicano comunque un futuro aumento
della popolazione a cui fra l’altro il parco non potrà porre rimedio allargandosi.
1.2 DATI RELATIVI ALLE SPECIE VEGETALI PRESENTI IN SUD AFRICA
Gli elefanti hanno trasformato le steppe arbustive in zone predesertiche e regioni boscose in savane
nude segnate solamente da radi alberi rinsecchiti. La dieta degli elefanti, prevalente erbacea durante
le piogge, cambia nella stagione asciutta. Il pascolo disseccato è poco appetitoso, e gli elefanti
allora preferiscono i rami degli alberi, che staccano con la proboscide quando non abbattono gli
stessi alberi spingendo con tutte le loro forze contro i tronchi. Inoltre se gli alberi sono troppo grossi
vengono scortecciati da terra fin a un’altezza di tre o più metri. Interi boschi risultano così distrutti e
gli incendi che scoppiano d’estate sui pascoli inariditi distruggono gli alberi più piccoli e
impediscono la rinascita del bosco, che così lascia spazio all’erba.
Questa è la situazione vista nei suoi aspetti più generali. Se ci riferiamo più in particolare alla zona
del Kruger National Park e del sud Africa, si deve dire che gli elefanti si cibano principalmente di
‘Colophosperum mopane’. Il rischio di una incombente e forte diminuzione di questi alberi è alto,
anche se si tratta di una specie di natura molto resistente. Sebbene infatti il loro tasso di
accrescimento sia abbastanza elevato, questo dato non deve essere considerato in modo troppo
ottimistico: un’abbondante ricrescita è una condizione necessaria per assicurare la sopravvivenza
della specie nella zona, ma tuttavia non risulta essere una condizione sufficiente.
Gli elefanti, infatti, non impediscono la ricrescita degli alberi, ma impediscono che questi alberi
raggiungano delle altezze elevate. Questo è molto dannoso per la vegetazione, visto che questo
particolare tipo di alberi produce semi solamente quando raggiunge altezze dell’ordine degli 8
metri, mentre in generale nelle zone dove si vede costretto a coesistere con gli elefanti raggiunge in
media un’altezza di appena 2 metri.
Per avere un’idea degli effetti degli elefanti sul ‘Colophosperum mopane’ si può considerare la
tabella alla pagina seguente in cui sono riportate le stime di quanti alberi ogni elefante distrugga in
un anno.
Alberi
distrutti/km2 anno
133
Elefanti/km2
234
8,24
100
3,35
114
3,15
160
4,19
186
7,32
2,38
Alberi distrutti nel Sud Africa in sei diverse zone dove si ha anche una diversa densità di elefanti.
2 MODELLO DELL’ECOSISTEMA ELEFANTI-ALBERI
Nel 1976 Caughley propose un semplice modello preda-predatore per spiegare l’ecosistema
elefanti-foresta. Egli ha sostenuto la possibilità di una coesistenza fra elefanti e alberi tramite un
ciclo limite stabile. In realtà attualmente la dinamica del sistema elefanti-foresta è ancora
sconosciuta.
Il modello adottato in questa analisi dell’ecosistema è così formulato:

dx
a
cy 

= x a − x −
dt
K
x + g 


dy
kx 

= y − A +
+
y
B
dt


Vediamo adesso cosa rappresentano i termini che compaiono nelle due equazioni:
- x è la densità degli alberi;
-
y è la densità degli elefanti;
-
t è il tempo;
-
a è il tasso di naturale incremento degli alberi;
-
K è la densità di alberi che l’ambiante presenta normalmente;
-
c è il tasso istantaneo di eliminazione degli alberi da parte degli elefanti;
-
g è la soglia oltre la quale la distruzione degli alberi dipende solo dalla densità degli elefanti;
-
A è il tasso di decremento degli elefanti in assenza di alberi;
-
k è il tasso per cui A migliora in relazione al rapporto alberi/elefanti;
-
B è la soglia oltre la quale A migliora solamente a causa della densità degli alberi.
Per comprendere come queste due equazioni siano in grado di descrivere il sistema elefanti-foresta
è necessario analizzare il ruolo dei singoli termini che determinano l’evoluzione della densità sia
degli alberi che della popolazione di elefanti.
Se volessimo studiare quale è il tasso di crescita degli alberi di una foresta che è stata parzialmente
distrutta da un incendio, potremmo utilizzare il seguente modello:
dx
a 

= x a − x 
dt
K 

Da una parte infatti deve essere considerato il tasso di naturale incremento degli alberi (a), dall’altra
si deve considerare che più la densità degli alberi aumenta più diminuisce il tasso di naturale
incremento in quanto le condizioni ambientali (del clima e della natura del suolo che contribuiscono
alla crescita degli alberi si tiene conto nel parametro a) sono sempre meno favorevoli alla crescita di
nuovi alberi.
Se si introducono poi degli animali, nel nostro caso gli elefanti, che si cibano degli alberi, allora
deve essere aggiunto un nuovo termine:

cy 
a
dx

= x a − x −
x + g 
K
dt

Il numeratore della frazione che è stata aggiunta identifica il numero di alberi che sono abbattuti in
un anno per una certa densità di elefanti. Questa quantità viene poi normalizzata rispetto alla densità
corrente di alberi più il nuovo parametro g che indica la soglia oltre la quale la distruzione degli
alberi dipende solo dagli elefanti, ovvero superata questa soglia gli alberi presenti sul territorio sono
quelli che non sono stati distrutti dagli elefanti.
La seconda equazione del modello:

dy
kx 

= y − A +
dt
y
+
B


può essere così interpretata: il primo termine indica il tasso di decremento degli elefanti in assenza
degli alberi; il secondo termine invece è una frazione il cui numeratore indica come gli elefanti
riescano a resistere in assenza di alberi in relazione al rapporto elefanti/alberi, e il cui denominatore
serve a normalizzare questo valore tenendo conto del parametro B che rivela quale sia la densità
minima degli elefanti oltre la quale la loro sopravvivenza può essere migliorata soltanto grazie ad
Infine i due parametri g e B hanno la stessa funzionalità: soddisfano la condizione che il tasso di
incremento sia zero quando le densità sono nulle. In un sistema reale i valori di g e di B sono con
molta probabilità abbastanza bassi tanto da entrare in gioco solamente quan
elefanti sono molto basse.
Queste due equazioni possono poi essere modificate a seconda della particolare situazione a cui
devono essere applicate; tuttavia affinchè si possano ritenere affidabili i risultati che esse
permettono di raggiungere devono essere precisate alcune ipotesi:
1) la densità degli alberi e degli elefanti sono quantificabili come singole variabili;
2) eccetto la densità tutti gli altri fattori che normalmente influenzano la crescita degli alberi sono
assunti costanti nel tempo;
3) il tasso di eliminazione degli alberi da parte degli elefanti dipende solo dalla quantità di alberi
disponibile;
4) la crescita degli alberi è rappresentata da una funzione convessa con un solo punto di massimo;
5) il tasso del cambiamento della densità degli elefanti è una funzione il cui aumento è dovuto alla
disponibilità di alberi meno che al numero che ne muore.
Queste precisazioni hanno senso solamente se siamo nel caso in cui la vegetazione è dominata da
una singola specie di alberi, la crescita degli alberi è continua e i fattori che influenzano questa
crescita sono ragionevolmente costanti, e i bisogni e i consumi degli elefanti sono anch’essi costanti
nel tempo.
3 STIMA DEI PARAMETRI CHE COMPAIONO NEL MODELLO
Per la stima dei parametri che compaiono all’interno del modello si è deciso di procedere in due
diverse direzioni: da una parte si sono considerati i valori stimati per l’intera zona del Sud Africa,
dall’altra si è invece provveduto a fare un’analisi più precisa delle particolari condizioni che
interessano maggiormente la zona del Kruger National Park.
Vediamo dunque per prima cosa quali sono i possibili valori che possono assumere questi parametri
relativamente all’intero Sud Africa:
Limite
Limite Condizioni
Inferiore superiore
medie
Parametri
Unità di misura
a
1/anno
0,01
0,04
0,025
K
Alberi/km2
60000
500000
250000
c
alberi/elefanti anno
40
1500
1200
g
Alberi/km2
4
100
15
k
Elefanti/alberi anno
5,9.10-6
9,5.10-6
7,5.10-6
B
Elefanti/km2
0,1
0,1
0,1
A
%
1
1
1
Se invece si considera la zona del Kruger National Park si possono fissare valori più precisi per
alcuni parametri. I parametri che si sono assunti costanti sono K, c, B, A:
-
K valuta la densità di alberi che l’ambiente presenta normalmente, ovvero nel caso in cui non
entrino in gioco fattori esogeni (nel caso in esame, per esempio, l’elevata densità di elefanti in
alcune zone porta al verificarsi di forti cambiamenti nella densità degli alberi). E’ stato stimato che
nelle aree dove si ha come specie dominante il C. mopane di altezza inferiore ai 6 metri, le densità
degli alberi risultano essere comprese fra 135600 e 455000 alberi/km2. Per questo motivo K è
stato assunto pari a 295300 alberi/km2, facendo una semplice media aritmetica fra i due valori
limite dell’intervallo;
-
c rappresenta il tasso di eliminazione degli alberi da parte degli elefanti e, da alcuni studi, è
risultato che è molto più probabile che gli elefanti utilizzino un certo numero di alberi per elefante
all’anno, piuttosto che una certa percentuale degli alberi esistenti. Questo parametro è stato quindi
ricavato basandosi su dati relativi a sei diverse regioni del Sud Africa, in cui si associa a una certa
densità di elefanti la densità degli alberi che vengono abbattuti ogni anno. Si è quindi preso c pari
a 407,58 alberi/elefanti anno, dopo aver effettuato una regressione lineare sui dati elencati già
nella Tabella 1, come si può vedere dal seguente grafico:
250
y = 407,58x + 75,389
alberi/km2 anno
200
150
100
50
0
0.00
2.24
4.48
7.12
9.36
2
elefanti/km
- B indica quale sia la soglia oltre la quale il decremento degli elefanti viene arrestato solamente a
causa della densità degli alberi. Per dare un valore a B ci si è basati su quale sia stata in passato la
minima densità degli elefanti nelle aree del Sud Africa: 0,1 elefanti/km2. Questa densità viene
proprio considerata come la più bassa possibile, ciò significa che se si scende al di sotto di questa
densità gli elefanti si estinguono indipendentemente dalle condizioni dell’ambiente.
- A, ovvero il tasso di diminuzione degli elefanti in assenza di alberi, è presa pari a 1.Questa scelta
può essere facilmente spiegata facendo alcune considerazioni sulle ipotesi al modello. In una
situazione in cui gli elefanti hanno a disposizione un’unica fonte di cibo, la mort
in assenza di questo cibo deve essere molto elevata. Se A non fosse fissata pari a 1 gli altri
parametri dovrebbero tener conto di altre forme di cibo.
Infine i parametri a, g e k che non sono stati fissati in questa particolare analisi sono assunti pari ai
loro valori medi già visti.
La tabella riassuntiva è alla pagina seguente.
Parametro
Costante
Unità di misura
Valore assunto
a
1/anno
0,025
K
Alberi/km2
295300
c
alberi/elefante anno
407,58
g
Alberi/km2
15
k
elefanti/alberi anno
7,5.10-6
B
elefanti/km2
A
%
0,1
1
4 RICERCA DEI PUNTI DI EQUILIBRIO E STABILITÀ
Per ricercare i punti di equilibrio del sistema, ossia le sue soluzioni costanti nel tempo, basta
imporre che le derivate prime rispetto al tempo, delle variabili di stato del sistema, siano
identicamente nulle:
dx
a
cxy
= ax - x 2 =0
dt
K
x+g
dy
kx
= y( - A +
)=0
dt
y+B
Un punto di equilibrio subito evidente è x=0, y=0 che non viene considerato, essendo una soluzione
banale del sistema (La soglia di estinzione degli elefanti è 0.1 elefanti/Km2).
Un altro punto di equilibrio è x=K, y=0 (è facile verificare che questo punto è di equilibrio,
sostituendo questi valori nelle equazioni sopra).
Per verificarne la stabilità o meno, vengono linearizzate le equazioni del modello in un intorno di
questo punto.
Il modello linearizzato è:

X = 

.
-a
0
- cK
g +K
kK
- A+
B

 X

Possiamo considerare fissati i seguenti parametri:
A=1 anni-1
a=0,025 anni -1
B=0,1 elefanti/Km2
g=15 alberi/Km2
k=0.0000075 elefanti/alberi· anni
In questo modo, gli autovalori della matrice del sistema linearizzato diventano funzioni dei
parametri c e K, che sono lasciati variabili, e possono essere ottenuti dalle radici del polinomio
caratteristico della matrice:
p( ë) = ( ë + a )(ë + 1 - 7.5 • 10 -5 • K )
Gli autovalori sono quindi:
1=-a
-5
2=7.5•10 •K-1
Il primo autovalore è ovviamente negativo, mentre il secondo lo è se e solo se K<13333
Quindi possiamo dire che il sistema è stabile asintoticamente quando K<13333 e instabile quando
K>13333.
Generalmente il valore di K viene stimato tra 60000 e 500000 e quindi, in pratica possiamo
considerare questa soluzione instabile; ossia, se da uno stato in cui sono presenti K alberi/Km2 ,
(che è la massima concentrazione di vegetazione sostenibile dall’ ambiente) e nessun elefante,
venisse per esempio messo nel parco qualche esemplare, sicuramente dopo un certo periodo di
tempo il numero di alberi presenti nel parco sarebbe destinato a diminuire nel tempo a favore di
quello degli elefanti.
Infine, gli ultimi due punti di equilibrio del sistema si possono ottenere sostituendo le radici
dell’equazione di secondo grado in x:
aAx 2 + (ckK - aAK + agA) x - ABcK - gAa K = 0
nell’espressione:
y=
(aK - ax)( x + g )
cK
Con il programma MATLAB “prog1”, riportato in appendice, è possibile, al variare di tutti i
parametri, trovare i punti di equilibrio associati all’equazione di secondo grado, scrivere il sistema
linearizzato nell’intorno di tali punti ed infine di calcolare gli autovalori della sua matrice.
In appendice sono riportate alcune iterazioni del programma sia con i valori dei parametri relativi al
Krueger National Park (i parametri non disponibili relativi a questo parco sono stati assunti pari ai
valori medi), sia con i valori medi.
Dai risultati delle iterazioni si può vedere che il primo punto di equilibrio è sempre stabile, essendo
gli autovalori della matrice del sistema linearizzato negativi, mentre il secondo punto dà valori
negativi per x e y e quindi non viene preso in considerazione.
5 STIMA DEL DOMINIO DI ATTRAZIONE
Avendo visto che l’ultimo punto di equilibrio del sistema risulta sempre stabile asintoticamente,
abbiamo cercato di stimarne il dominio di attrazione.
Poiché è risultato impossibile ricavare esplicitamente una funzione definita positiva che
soddisfacesse le condizione del teorema di Lyapunov per la stabilità asintotica e che ci permettesse
quindi di trovare un sottoinsieme del dominio di attrazione, abbiamo tentato di ricavare una stima di
questo dominio usando il programma di simulazione Simulink (lo schema SimulinK del sistema è
riportato in appendice).
Abbiamo prima eseguito una simulazione impostando i valori dei parametri a quelli medi della
tabella .
Con i parametri impostati ai valori medi il punto di equilibrio ha queste coordinate:
x0=167190 alberi/Km2
y0=1.1539 elefanti/Km2
Per trovare una stima del dominio di attrazione, abbiamo provato varie combinazioni di condizioni
iniziali ed abbiamo visto per ognuna di esse, l’evoluzione del sistema. Dai grafici delle evoluzioni,
abbiamo ricavato i punti corrispondenti alle condizioni iniziali che facevano sì che il sistema
Alcuni stati iniziali sono stati scartati non perché il sistema non ritornava all’equilibrio dopo un
certo tempo, ma perché ci ritornava con delle traiettorie inaccettabili; infatti abbiamo visto, che
nella zona che abbiamo preso in considerazione, il campi di variazione delle densità sono questi:
x
[20000 , K] alberi/Km2 (K=250000 con i valori medi dei parametri)
y
[0.1 , 8] elefanti/Km2
e quindi, se partendo da un certo stato iniziale, le traiettorie che risultavano, erano tali che x e y
uscissero da questi campi di variazione, allora quello stato iniziale veniva scartato.
Abbiamo assunto i campi di variazione soprascritti considerando 20000 alberi/Km2 come la densità
di alberi minima in presenza di qualche elefante, per garantirne la sopravvivenza e per garantire la
sopravvivenza della specie di alberi stessa (in assenza di elefanti, per permettere la sopravvivenza
della specie di alberi basterebbe una densità molto minore); K è stata assunta come densità
massima, essendo la “capacità di alberi” dell’ambiente. Per gli elefanti invece, 0.1elefanti/Km2 è la
soglia di estinzione (se y<0.1, la razze si estingue indipendentemente dalla quantità di alberi
presente), mentre 8 elefanti/Km2 è il massimo valore di densità osservato in Sud Africa.
Nel grafico a pagina seguente, riportiamo la stima del dominio di attrazione che abbiamo ottenuto
con la simulazione:
Stima del dominio di attrazione. (Parametri=valori medi).
9
(32000;8)
8
(250000;8)
7
6
Y
5
4
3
Punto di equilibrio
(25000;1.5)
(167190;1.1539)
2
(25000;0.3)
1
(250000;0.1)
(30000;0.1)
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
X
5
x 10
Riportiamo anche alcuni grafici relativi alle simulazioni, in cui le condizioni iniziali sono
“estreme”, ossia sul bordo della nostra stima del dominio di attrazione:
Condizioni iniziali: x0=32000
y0=8 (Parametri=valori medi)
2
1.8
1.6
Densità elefanti
1.4
y=yeq=1.1539
1.2
1
0.8
0.6
0.4
y=ymin=0.1
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (anni)
350
400
450
500
5
x 10
Conidizioni iniziali: x0=32000
y0=8 (Parametri=valori medi)
1.8
1.6
x=xeq=167190
1.4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (anni)
Traiettoria nel piano xy (Parametri=valori medi)
8
x0=32000
y0=8
7
6
5
Y
Densità alberi
1.2
4
3
x=xeq=167190
y=yeq=1.1539
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
1.2
1.4
1.6
1.8
5
x 10
Partendo dalle densità iniziali di 32000 alberi/Km2 e di 8 elefanti/Km2 si ritorna all’equilibrio dopo
un periodo di circa 400 anni. Osserviamo inizialmente una brusca diminuzione nella densità degli
elefanti nei primi 20 anni, dovuta alle scarse risorse alimentari, accompagnata da una diminuzione
(anche se meno marcata) nella densità degli alberi, poiché questi ultimi sono mangiati dal grande
numero di elefanti che sono presenti inizialmente. Si può osservare che nella sua evoluzione, la
densità degli elefanti si avvicina di molto alla soglia di estinzione (0.1 elefanti/Km2 ), quando
raggiunge il suo punto di minimo.
I grafici successivi invece sono riferiti alle condizioni iniziali:
x0=30000 alberi/Km2
y0=0.1 elefanti/Km2
L’evoluzione del sistema parte da uno stato in cui la densità degli elefanti è pari alla soglia di
estinzione, ed in cui le risorse alimentari possono essere considerate relativamente scarse (30000
alberi/Km2 non è infatti una concentrazione di alberi molto elevata), ma, come si può vedere dai
grafici, sufficienti a garantire la sopravvivenza e lo sviluppo della popolazione di elefanti:
Condizioni iniziali: x0=30000 y0=0.1 (Parametri=valori medi)
1.4
y=yeq=1.1539
1.2
Densità elefanti
1
0.8
0.6
0.4
y=y0=0.1
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (anni)
350
400
450
500
5
x 10
Condizioni iniziali: x0=30000 y0=0.1 (Parametri=valori medi)
1.8
1.6
x=xeq=167190
1.4
Densità alberi
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (anni)
Traiettoria nel piano xy (Parametri=valori medi)
1.4
xeq=167190
yeq=1.1539
1.2
1
Y
0.8
0.6
0.4
0.2
x0=30000
y0=0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
1.2
1.4
1.6
1.8
5
x 10
L’ equilibrio viene raggiunto dopo un periodo di circa 450 anni. La popolazione degli elefanti non
si estingue in quanto la curva y(t) è strettamente crescente, e quindi la soglia di estinzione non viene
superata.
Infine abbiamo eseguito una simulazione dove i valori dei parametri sono stati impostati a quelli del
Kruger National Park (KNP):
A=1 anni-1
B=0.1 elefanti/Km2
K=295300 alberi/Km2
k=7.5· 10-6 elefanti/alberi· anni
a=0.025 anni -1
c=407.58 alberi/elefanti· anni
g=15 alberi/Km2
Con questi parametri il punto di equilibrio ha coordinate:
xeq=261040 alberi/Km2
yeq=1.8578 elefanti/Km2
I campi di variazione delle densità, usati per la stima del dominio di attrazione sono questi:
x
[20000 , 295300] alberi/Km2
y
[0.1 , 8] elefanti/Km2
La stima del dominio di attrazione è stata la seguente:
Stima del dominio di attrazione. (Parametri=KNP)
9
(24000;8)
8
(295300;8)
7
(23000;1.5)
6
Y
5
4
Punto di equilibrio
3
(261040;1.8578)
2
(23000;0.2)
1
(295300;0.1)
0
(27000;0.1)
-1
0
0.5
1
1.5
X
2
2.5
3
5
x 10
Vengono inoltre riportati alcuni grafici che mostrano come le evoluzioni ritornano al punto di
equilibrio, partendo da delle condizioni iniziali che si trovano sul bordo dell’insieme che stima il
dominio di attrazione:
Condizioni iniziali: x0=24000 y0=8 (Parametri=KNP)
6
5
Densità elefanti
4
3
y=yeq=1.8578
2
1
y=ymin=0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
450
500
Tempo (anni)
5
Condizioni iniziali: x0=24000 y0=8 (Parametri=KNP)
x 10
3
2.5
x=xeq=261040
Densità alberi
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (anni)
350
400
Traiettoria nel piano xy (Parametri=KNP)
8
x0=24000
y0=8
7
6
Y
5
4
3
xeq=261040
yeq=1.8578
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
X
5
x 10
Condizioni iniziali: x0=27000 y0=0.1 (Parametri=KNP)
2
1.8
y=yeq=1.8578
1.6
Densità elefanti
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
y=ymin=0.1
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
Tempo (anni)
350
400
450
500
5
Condizioni iniziali: x0=27000 y0=0.1 (Parametri=KNP)
x 10
3
x=xeq=261040
2.5
Densità alberi
2
1.5
1
0.5
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Tempo (anni)
Traiettoria nel piano xy (Parametri=KNP)
2
1.8
1.6
xeq=261040
yeq=1.8578
1.4
Y
1.2
1
0.8
0.6
x0=27000
y0=0.1
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
X
2
2.5
3
5
x 10
Confrontando le stime dei due domini di attrazione, ottenute nelle due simulazioni, si può vedere
che nel secondo caso (nel quale i valori dei parametri sono quelli relativi al Krueger National Park)
la stima è un insieme più ampio del primo sia “a destra” del punto di equilibrio che “a sinistra”. La
maggior ampiezza verso destra è semplicemente dovuta al fatto che al Krueger National Park la
massima concentrazione di alberi ammissibile nell’ambiente è maggiore di quella media
(K=295300 alberi/Km2 contro K=250000 alberi/Km2). La maggior ampiezza verso sinistra implica
che nella seconda stima del dominio sono presenti densità iniziali di alberi minori che nella prima
(nella prima stima x assume un valore minimo di 25000 alberi/Km2 , mentre nella seconda di 23000
alberi/Km2). Questo perché nella seconda stima il tasso con cui gli elefanti eliminano gli alberi vale
c=407.58 alberi/elefanti· anno, mentre nella prima è maggiore e vale 1200 alberi/elefanti· anno:
quindi nel secondo caso è possibile la sopravvivenza (e lo sviluppo) della popolazione di elefanti
anche partendo da situazioni in cui le risorse alimentari sono minori che nel primo.
6 RICERCA DEI CICLI LIMITE
Per concludere lo studio delle possibili traiettorie del sistema abbiamo cercato di vedere se era
possibile che le popolazioni degli alberi e degli elefanti potessero evolvere seguendo un ciclo limite.
Abbiamo sfruttato i risultati del teorema di Bendixson, enunciato di seguito:
.
“Dato un modello del tipo
.
x = f ( x, y ) , y = g ( x, y ) , se su un insieme D, semplicemente connesso
l’espressione :
∂f ∂g
+
∂x ∂y
non è identicamente nulla e non cambia di segno, allora non ci sono orbite chiuse del sistema che
Per le equazioni del nostro modello tale espressione vale:
∂f ∂g
2a
cyg
kxB
+
=ax2 - A+
∂x ∂y
K
( x + g)
( y + B) 2
Questa funzione è definita su tutto l’insieme in cui le variabili del modello possono variare, ossia:
{
}
H = ( x, y ) ∈ R 2 : 20000 ≤ x ≤ 250000 0.1 ≤ y ≤ 8
che è un insieme semplicemente connesso.
Usando il programma MATLAB allegato “prog2” (riportato in appendice) è possibile impostare i
valori dei parametri del modello ed ottenere il grafico tridimensionale di questa funzione ed il
grafico delle sue curve di livello.Di seguito riportiamo il grafico dell’espressione
valori dei parametri pari a quelli medi della tabella:
∂f ∂g
+
con i
∂x ∂y
Curve di livello
7
6
Asse y
5
-1
4
3
2
1
-0.8
0.5
1
-0.6
-0.6
1.5
-0.2
2
2.5
Asse x
5
x 10
Come si vede da questi due grafici, la funzione è negativa e cambia segno solo per valori molto
piccoli di y, ma comunque maggiori di 0.1, che è la soglia di estinzione per gli elefanti. Per
visualizzare bene dove c’è il cambio di segno abbiamo ingrandito il grafico precedente in quella
zona del piano:
Curve di livello
0.4
0.35
-0.5
Asse y
0.3
0
0.25
0.5
0.2
1
1.5
0.15
2
2.5
3
0.1
0.5
1
1.5
Asse x
2
2.5
5
x 10
Possiamo quindi suddividere l’insieme H, in cui le variabili x,y possono variare in due sottoinsiemi
∂f ∂g
+
è negativa, e quello in cui è positiva.
∂x ∂y
Secondo il teorema di Bendixson, quindi, se esistono dei cicli limite, questi non possono essere
completamenti contenuti dentro questi due sottoinsiemi, ma devono essere tali da “passare”
attraverso entrambi (devono attraversare la curva di livello di valore 0 della funzione
∂f ∂g
+
).
∂x ∂y
Se consideriamo un ciclo limite “permesso” dal teorema di Bendixson, ossia tale che attraversi
entrambi i sottoinsiemi, il suo punto iniziale può appartenere o meno al dominio di attrazione del
punto di equilibrio. Se ci appartiene, il ciclo limite non può esistere proprio perché, essendo il
punto iniziale dentro il dominio di attrazione, l’evoluzione successiva converge verso il punto di
equilibrio. Se non ci appartiene, il ciclo limite non può esistere lo stesso perché in realtà, i punti di
H non appartenenti al dominio di attrazione sono tali che l’evoluzione torna al punto di equilibrio,
ma seguendo traiettorie che passano fuori da H.
Da questa analisi si può concludere che, con i valori usati per i parametri, esiste una possibilità
teorica per il ciclo limite, ma nella pratica questo non si avvera perché altrimenti si dovrebbero
verificare valori inaccettabili per x e y. Possiamo affermare quindi che le popolazioni di elefanti e
di alberi evolvono verso uno stato di equilibrio (se le loro densità iniziali sono all’interno del
dominio di attrazione del punto di equilibrio) o si ha l’estinzione di una di esse (se le densità iniziali
sono fuori dal domino di attrazione infatti, le evoluzioni che ne seguono escono fuori dall’insieme
H, pur tornando verso il punto di equilibrio).
Possiamo fare un’analisi analoga a quella appena fatta utilizzando come valori per i parametri quelli
relativi al Kruger National Park. I risultati ottenuti sono riportati di seguito:
Curve di livello
8
7
6
-1
Asse y
5
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
Asse x
2
2.5
5
x 10
I risultati che si ottengono con i valori dei parametri relativi al Kruger National Park sono simili a
quelli ottenuti con i valori medi e le conclusioni che si possono trarre sono le stesse.
7 Osservatore asintotico
Per fare un’analisi di sintesi del modello adottato per descrivere l’influenza esistente fra la densità
di alberi e la densità di elefanti in Sud Africa, è stato necessario, per prima cosa, linearizzare le
equazioni proposte da Caugley. La linearizzazione, inoltre, è stata effettuata nell’intorno del punto
di equilibrio asintoticamente stabile, calcolato per i valori medi dei parametri che compaiono nel
modello.
Ricordiamo ancora una volta le equazioni del modello:
dx
ax
cy 

 = f ( x, y)
= x a −
−
dt
K x + g 


kx 
dy
 = g ( x, y)
= y − A +
y + B 
dt

Per costruirsi la matrice del sistema linearizzato bisogna andarsi a calcolare le derivate parziali delle
due funzioni, f e g:
∂f
2ax
cgy
=a−
−
K
(x + g )2
∂x
∂f
cx
=−
∂y
x+ g
∂g
ky
=
∂x y + B
∂g
kBx
= −A +
∂y
( y + B) 2
Considerando ora i valori medi dei parametri del modello, si calcolano queste derivate parziali
proprio nel punto di equilibrio trovato nell’analisi della stabilità del sistema:
xeq = 167190 alberi/km2
yeq = 1.1539 elefanti/km2
Il sistema linearizzato in un intorno opportuno di questo punto è quindi dato da:
dX
= Al X
dt
Y = CX
dove X = x - xeq , Y = y – yeq e

− 0.0084
Al = 
−6
 6.9019 ⋅ 10
− 1.1999 ⋅ 10 3
− 0.9202



Adottato questo nuovo modello lineare per lo studio dell’ecosistema elefanti-foresta, si possono
analizzare diverse situazioni reali tramite l’ausilio di un osservatore asintotico dello stato.
In generale, se si vuole attuare un qualsiasi programma di controllo sui territori del Sud Africa per
monitorare la convivenza fra la vegetazione e gli elefanti, è necessario conoscere istante per istante
il valore dello stato. Visto che non sempre le variabili di stato sono disponibili o misurabili si può
quindi ricorrere all’utilizzo di un osservatore asintotico che sia in grado di fornire stime dello stato
in tempo reale, attraverso la seguente equazione differenziale:
(
dX
= Al X + LC X − Y
dt
)
In questa equazione compare la matrice L che fornisce una stima dell’errore che si commette nel
ricavarsi l’approssimazione dello stato, basandosi, in questo caso, solo su misure delle uscite.
Questa matrice può essere calcolata servendosi dell’algoritmo di allocazione degli autovalori,
(
)
de d ( X − X )
=
= (Al + LC ) X − X = ( Al + LC )e
dt
dt
la matrice (Al+LC) sia asintoticamente stabile.
Per poter allocare gli autovalori di (Al+LC) è però necessario prima andare
a verificare che (Al,,C) siano completamente osservabili, cioè che
 C 
Θ 2 = 

 CAl 
abbia rango pari a due. Una volta effettuata questa verifica si procede eseguendo i singoli passi
dell’algoritmo di allocazione degli autovalori.
In questo studio si sono voluti analizzare due particolari realtà in cui risulta necessario il supporto
dell’osservatore asintotico: la prima è legata al fenomeno degli incendi, che sono una fra le
maggiori cause di disboscamento in Sud Africa; la seconda invece riguarda la gestione vera e
propria dei parchi nazionali in cui la popolazione di elefanti, se non opportunamente controllata,
rischia di essere in costante aumento con gravi danni per la vegetazione.
7.1 ANALISI DELL’ECOSISTEMA DOPO UN INCENDIO
Supponiamo, quindi, di aver studiato l’equilibrio fra alberi ed elefanti all’interno di un determinato
territorio e che poi in questo stesso territorio si sia verificato un incendio abbastanza vasto.
Supponiamo, inoltre, di essere in grado di stimare l’area danneggiata dall’incendio e, di
conseguenza, il numero di alberi che sono stati distrutti. Risulta allora possibile calcolarsi la nuova
densità di alberi. Partendo da queste nuove condizioni andiamo a vedere quali sono gli effetti sullo
stato del sistema, ipotizzando di riuscire a controllare la ricrescita degli alberi, per esempio
servendosi di foto aeree e di relative stime sull’area coperta da vegetazione oppure no.
Il sistema che simula la ricrescita degli alberi è proprio il sistema linearizzato, dove la matrice C è
pari a (1 0),visto che abbiamo ritenuto possibile fare solamente una stima della densità degli alberi
e non una di quella degli elefanti. L’osservatore può invece fornire una stima completa dello stato,
ovvero può anche rendere nota quale sia la densità di elefanti istante per istante durante la ricrescita
degli alberi.
Si verifica facilmente che (Al ,C) sono completamente osservabili, visto che
1
0

Θ = 
 − 0.0084 − 1199.9



ha rango 2.
Vediamo adesso i passi dell’algoritmo di allocazione:
1) Si calcola
det(λI-Al)= λ 2+0.9286λ+0.016
λ 1=0.9286
λ 2=0.016
2) Si calcola inoltre
(Al
0

+ LC ) = 
 − 0.016 − k 2
1
− 0.9286 + k1



3) Si impone che la matrice (Al +LC) sia asintoticamente stabile, per esempio con autovalori reali
distinti -1 e -2
λ 2+(0.9286-k1)λ+0.016-k2=(λ+1)( λ+2)
4) Si determina la matrice
 − 3.9137 
L = 

 − 291500 
E’ ora possibile costruire uno schema con il SIMULINK e vedere quale è la stima dello stato istante
per istante.
Si riportano i grafici risultanti da una simulazione (il cui schema è in appendice) in cui si suppone
che dopo l’incendio si abbia una densità di alberi minore di 100 alberi/km2 rispetto a quello di
equilibrio.
-4
Stima della densità di elefanti
x 10
0
-1
Densità elefanti
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
100
200
300
Tempo (anni)
400
500
Stima della densità di alberi
0
-10
-20
-30
Densità alberi
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
0
100
200
300
Tempo (anni)
400
500
-4
0
x 10
-1
Densità elefanti
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-100
-80
-60
-40
Densità alberi
-20
0
Dalla simulazione risulta quindi che questa diminuzione di alberi, che è equivalente a dire che sono
bruciati circa 20 ettari della superficie complessiva dei parchi nazionali del Sud Africa, porta a una
lieve diminuzione della densità di elefanti (di appena 0.8.10-3). Si nota anche che la ricrescita degli
alberi è abbastanza lunga nel tempo e che tornando verso il punto di equilibrio favorisce un lento
aumento della popolazione degli elefanti.
7.2 ANALISI DELL’ECOSISTEMA ALL’INTERNO DI UN PARCO NAZIONALE
Dall’istituzione dei parchi nazionali si è registrato un continuo incremento della popolazione di
elefanti. Supponiamo quindi che nei parchi, per un certo periodo, non venga praticato il normale
controllo sulle nascite degli elefanti e andiamo quindi a vedere che effetto potrebbe avere tutto
questo sul normale equilibrio fra gli elefanti e la vegetazione.
Altra ipotesi che facciamo è che questa volta tramite foto aeree si facciano continui censimenti degli
elefanti; si avrà così la registrazione continua della popolazione degli elefanti,
misurare in modo ininterrotto la densità degli alberi. Se dunque si è interessati a vedere che effetto
può causare un aumento repentino degli elefanti sulla vegetazione, sarà necessario usare un
osservatore asintotico.
Il sistema che simula l’andamento della popolazione degli elefanti è proprio il sistema linearizzato,
dove la matrice C è pari a (0 1), visto che abbiamo ritenuto possibile fare soltanto una stima della
Si verifica facilmente che (Al ,C) sono completamente osservabili, visto che
1
0

Θ = 
 − 0.0084 − 1199.9



ha rango 2.
Vediamo adesso i passi dell’algoritmo di allocazione:
1)
Si calcola
det(λI-Al)= λ 2+0.9286λ+0.016
λ 1=0.9286
λ 2=0.016
2) Si calcola
(Al
0

+ LC ) = 
 − 0.016 − k 2
1
− 0.9286 + k1



3) Si impone che la matrice (Al +LC) sia asintoticamente stabile
λ 2+(0.9286-k1)λ+0.016-k2=(λ+1)( λ+2)
4) Si determina la matrice
 − 3.9137
L = 
 − 291500



E’ ora possibile costruire uno schema con il SIMULINK (riportato in appendice) e vedere quale è la
stima dello stato istante per istante.
Si riportano quindi i grafici risultanti da una simulazione in cui si suppone che si abbia una densità
di elefanti aumentata di circa 1 elefante/km2.
Stima della densità degli elefanti
1.2
1
Densità elefanti
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
100
200
300
Tempo (anni)
400
500
Stima della densità degli alberi
0
-200
Densità alberi
-400
-600
-800
-1000
-1200
-1400
0
100
200
300
400
500
Tempo (anni)
1.2
1
Densità elefanti
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
Dalla simulazione si comprende subito come anche un aumento della popolazione degli elefanti
che, in base ai dati trovati sul Sud Africa, si potrebbe raggiungere se per venti anni circa non si
attuassero controlli sulle nascite degli elefanti pur continuando a proteggerli, si avrebbero
considerevoli diminuzioni sulla densità degli alberi. Questo d’altra parte favorirebbe una riduzione
della stessa popolazione degli elefanti che si vedrebbero privati della loro unica fonte di
sostentamento. Tutto questo meccanismo alla fine porta di nuovo a una situazione di equilibrio,
come si può rilevare dall’ultimo grafico e come ci si deve aspettare visto che siamo nell’intorno di
un punto di equilibrio asintoticamente stabile.
APPENDICE
PROGRAMMI MATLAB
%PROGRAMMA1
clear
astr='a*A';
bstr='c*k*K -a*A*K + a*g*A';
cstr='-A*B*c*K - g*a*A*K';
ystr='((x+g)*a*(K-x))/(c*K)';
a11str='a-((2*a*x)/K) -(c*y*g/(x+g)^2)';
a12str='-(c*x)/(x+g)';
a21str='(k*y)/(B+y)';
a22str='-A+((B*k*x)/((y+B)^2))';
disp('Inserisci il valore per il parametro k')
k=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro g')
g=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro c')
c=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro K')
K=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro a')
a=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro A')
A=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro B')
B=input('? ');
aI=eval(astr);
b=eval(bstr);
C=eval(cstr);
delta=(b^2)-(4*aI*C);
x2=(-b - sqrt(delta))/(2*aI);
%PRIMO PUNTO DI EQUILIBRIO
disp('Il primo punto di equilibrio è ')
x1=(-b + sqrt(delta))/(2*aI)
x=x1;
y1=eval(ystr)
y=y1;
A1=[eval(a11str) eval(a12str)
eval(a21str) eval(a22str)];
disp('La matrice del sistema linearizzato in quel punto è ')
disp(A1);
disp('I suoi autovalori sono ')
disp(eig(A1));
pause
%SECONDO PUNTO DI EQUILIBRIO
disp('Il secondo punto di equilibrio è ');
x=x2;
x2
y2=eval(ystr)
y=y2;
A2=[eval(a11str) eval(a12str)
eval(a21str) eval(a22str)];
disp('La matrice del sistema linearizzato in quel punto è ')
disp(A2);
disp('I suoi autovalori sono ')
disp(eig(A2));
%PROGRAMMA 2
clear
disp('Inserisci il valore per il parametro k')
k=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro g')
g=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro c')
c=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro K')
K=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro a')
a=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro A')
A=input('? ');
disp('Inserisci il valore per il parametro B')
B=input('? ');
SDF='a-(((2*a)/K)*(x))-((c*(y)*g)/((x+g)^2))';
SDG='-A+((k*(x)*B)/((y+B)^2))';
SV='DF+DG';
i=1;
disp('Seleziona la regione del piano sulla quale vuoi visualizzare
il grafico')
xinf=input('Estremo inferiore lungo x ');
xsup=input('Estremo superiore lungo x ');
yinf=input('Estremo inferiore lungo y ');
ysup=input('Estremo superiore lungo y ');
passox=input('Passo di campionamento in direzione x ');
passoy=input('Passo di campionamneto in direzione y ');
for x=xinf:passox:xsup,
vx(i,1)=x;
i=i+1;
end
j=1;
for y=yinf:passoy:ysup,
vy(j,1)=y;
j=j+1;
end
[nx,mx]=size(vx);
[ny,my]=size(vy);
for i=1:nx,
x=vx(i,1);
for j=1:ny,
y=vy(j,1);
DF=eval(SDF);
DG=eval(SDG);
V(i,j)=eval(SV);
end
end
figure(1)
mesh(vx,vy,V')
xlabel('Asse x')
ylabel('Asse y')
pause
figure(2)
contour(vx,vy,V')
l=contour(vx,vy,V');
xlabel('Asse x')
ylabel('Asse y')
title('Curve di livello')
clabel(l,'manual')
s=1;
clear x y
while s==1,
disp('Dove vuoi calcolare l espressione ?');
x=input('x= ');
y=input('y= ');
DF=eval(SDF);
DG=eval(SDG);
V=eval(SV);
disp('La funzione vale ')
disp(V);
disp('1 Calcola un altro valore ')
disp('2 Fine ');
s=input('');
end
ITERAZIONI DI “PROG1”
PROG1
Inserisci il valore per il parametro k
? 0.0000075
Inserisci il valore per il parametro g
? 15
Inserisci il valore per il parametro c
? 1200
Inserisci il valore per il parametro K
? 250000
Inserisci il valore per il parametro a
? 0.025
Inserisci il valore per il parametro A
?1
Inserisci il valore per il parametro B
? 0.1
Il primo punto di equilibrio è
x1 =
1.6719e+005
y1 =
1.1539
La matrice del sistema linearizzato in quel punto è
1.0e+003 *
-0.0000 -1.1999
0.0000 -0.0009
I suoi autovalori sono
-0.0176
-0.9111
Il secondo punto di equilibrio è
x2 =
-7.2001e+003
y2 =
-0.1540
La matrice del sistema linearizzato in quel punto è
1.0e+003 *
0.0000 -1.2025
0.0000 -0.0029
I suoi autovalori sono
0.0175
-2.8429
» PROG1
Inserisci il valore per il parametro k
? 0.0000075
Inserisci il valore per il parametro g
? 15
Inserisci il valore per il parametro c
? 407.58
Inserisci il valore per il parametro K
? 295300
Inserisci il valore per il parametro a
? 0.025
Inserisci il valore per il parametro A
?1
Inserisci il valore per il parametro B
? 0.1
Il primo punto di equilibrio è
x1 =
2.6104e+005
y1 =
1.8578
La matrice del sistema linearizzato in quel punto è
-0.0192 -407.5566
0.0000 -0.9489
I suoi autovalori sono
-0.0223
-0.9458
Il secondo punto di equilibrio è
x2 =
-1.8613e+003
y2 =
-0.1140
La matrice del sistema linearizzato in quel punto è
0.0255 -410.8914
0.0001 -8.1636
I suoi autovalori sono
0.0224
-8.1605
SCHEMI SIMULINK
Schema del modello, relativo all’analisi della stabilità del sistema
0.0
ax
1
u^2
s
0.0
x
x^2
(ax^2)/K
f(u)
cx/(x+g)
cxy/(x+g)
x(t)
XY Graph
1
-1
s
y
-Ay
f(u)
ky/(y+B)
y(t)
kxy/(y+B)
Schema dell’osservatore
stima
alberi
Demux
alberi elefanti
1
K
stima
elefanti
s
x
A*x
1
K
K
s
dxp/dt
xp
A*xp
C*x
K
C*xp
yp-y
alberi
K
L*C*(x-xp)
BIBLIOGRAFIA
Appunti del corso di Teoria dei sistemi, Prof. A. Casavola, A.A. 1999-2000, Università degli studi
di Firenze
Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, S. Wiggins, Springer-Verlag, 1990
“Realistic parameter assessment for a well known elephant-tree ecosystem model reveals that limit
cycles are unlikely”, K.J. Duffy, B.R. Page, J.H. Swart, V.B. Bajic, Ecological Modelling 121,
pp115-125, 1999
“The long term impact of elephant browsing on baobab trees at Msembe, Ruaha National Park,
nes, K.L. Kapela, African Journal of Ecology 32, pp 177-184, 1994
“Patterns of elephant damage to vegetation in northern Botswana”, R. Ben-Shahar, Biological
Conservation 65, pp 249-256, 1993
“Abundance and distribution of elephants in the Luangwa Valley, Zambia”, G.Caughley,
J.Goddard, East African Wildlife Journal 13, pp 39-48, 1974
“Distribution and status of the African elephant Loxodonta africana in South Africa”, A.J. HallMartin, Koedoe 35, pp 65-88, 1992
“The influence of the African elephant on the vegetation of the Kruger National Park”, P.VanWyk,
N.Fairall, Koedoe 12, pp 57-89, 1969