Il Calcolo combinatorio. 1) Disporre persone. a) Andrea e Bea

Il Calcolo combinatorio.
1) Disporre persone.
a) Andrea e Bea frequentano la stessa classe e sono
vicini di banco. Sapendo che i banchi sono
posizionati due a due, in quali e quanti modi possono
disporsi?
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………………………………………………………………………………………..
Puoi aiutarti con un diagramma ad albero nel seguente modo:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
b) Andrea, Bea e Carlo, frequentano la stessa classe, ma i banchi sono disposti a
tre a tre, in quali e quanti modi si possono collocare?
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Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
1
c) Quattro amici, Andrea, Bea, Carlo e Daniela, vanno
al cinema, in quali e quanti modi possono disporsi
uno accanto all’altro?
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……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
d) Cinque amici, Andrea, Bea, Carlo, Daniela e Enrico,
partecipano ad una gara di freccette, quante sono
le possibili classifiche?
……………………………………………………………………………………………..
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Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………………..
Regola: ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
Andando al cinema, in quanti modi i 18 allievi di III C possono sedersi uno vicino
all’altro? ……………………………………………………………………………………………………………………………………..
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2) Disporre numeri.
a) Prendi in considerazione le cifre 1 e 2, quanti numeri di due cifre puoi scrivere?
Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di persone?
Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
b) Prendi in considerazione le cifre 1 e 2, quanti numeri di tre cifre puoi scrivere?
Puoi aiutarti con un diagramma ad albero:
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
c) Prendi in considerazione le cifre 1, 2 e 3, quanti numeri di tre cifre puoi
scrivere? Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di
persone?
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
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d)
Prendi in considerazione le cifre 1, 2 e 3, quanti numeri di quattro cifre puoi
scrivere? Quale differenza trovi con il primo esempio della diposizione di
persone?
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
Regola: ……………………………………………………………………………………………………………………………
Negli esempi che abbiamo trattato, in ogni situazione abbiamo verificato in quali e
quanti modi potevamo spostare i vari elementi; matematicamente abbiamo delle
PERMUTAZIONI ( Pn), che si dividono in permutazioni semplici, e permutazioni con
ripetizioni. Per calcolare il numero di permutazioni utilizzeremo la seguente formula:
Permutazioni semplici: Pn = n! = n . (n – 1) . ( n - 2) . …….2. 1
n! , si legge n fattoriale ; dunque 2! : …………………………………….; 9! = …………………………………
Sulla calcolatrice utilizzeremo i tasti :
Es: Calcola: P3 = 3. 2 . 1=………..; sulla calcolatrice P3 =……………………
P7 =…………………………..; sulla calcolatrice: P7 =…………………………………………………..;
P18 =………………………………….………; sulla calcolatrice: P18 =…………………………………………………..;
Permutazioni con ripetizione: Pn,r= nn
3) Disporre lettere.
a) Prendi in considerazione la parola ERA , spostando le lettere quante altre
possibili parole, anche prive di significato, ottieni? Aiutati con un diagramma ad
albero. Trovi un analogia con gli esercizi precedenti?
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
Osservazione: La permutazione delle lettere in una parola è detta ANAGRAMMA.
Una parola può avere diversi anagrammi, ma non tutti di un senso compiuto.
b) Quanti e quali anagrammi possiede la parola ROMA. Aiutati con un diagramma
ad albero.
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
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c) Quanti e quali anagrammi possiede la parola ORO? Aiutati con un diagramma ad
albero.
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
Osservazione: Nelle parole in cui delle lettere si ripetono, per calcolare gli
anagrammi dobbiamo dividere il numero totale degli anagrammi, per il numero
degli anagrammi che si ripetono, utilizzando la seguente regola.
Esempio : anagramma della parola mamma:
5!
P5, 3m;2a = 3! ∙2! =
120
6 ∙4
= 10 , che puoi tranquillamente elencare.
Osservazione: Sulla calcolatrice puoi inserire direttamente i calcoli con il
fattoriale.
 Determina il possibile numero d’anagrammi delle seguenti parole,
indicandone almeno uno di senso compiuto, sperando che esista.
Ira; SOS ; Mare ; Gala ; Padre; Abaco; Matematica
 Determina il numero degli anagrammi del tuo nome e del tuo cognome, ne
esiste almeno uno di senso compiuto?
Cosa servono le permutazioni nella vita di tutti i giorni?
4) Le disposizioni.
a) Andrea, Bea e Carlo frequentano la stessa classe e vogliono stare di banco
assieme. Quali possibilità si presentano, sapendo che nel banco a due v’è la
possibilità di stare vicino alla finestra. Aiutati con un diagramma ad albero.
Osservazione:……………………………………………………………………………………………………………………..
Conclusione:…………………………………………………………………………………………………………………………..
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b) Andrea, Bea, Carlo e Daniela frequentano la stessa classe e vogliono stare di
banco assieme. Quali possibilità si presentano, sapendo che nel banco a due v’è
la possibilità di stare vicino alla finestra. Aiutati con un diagramma ad albero.
Conclusione:……………………………………………………………………………………………………………………
Negli esempi trattati, abbiamo sempre preso in considerazione solo una parte
degli elementi e li abbiamo ordinati senza ripeterli, ottenendo una DISPOSIZIONE
SEMPLICE di n elementi presi k volte.
Matematicamente scriveremo: Dn ;k = n . ( n -1) . ( n – 2) …. k volte.
E si legge disposizione di n elementi presi k volte.
Sulla calcolatrice utilizzeremo i tasti:
D3;2 = …………………; D4;2 = …………………; D18;2 = …………………;
 In una classe di 21 allievi, in quanti modi puoi eleggere il capoclasse e il
vice capoclasse, sapendo che i due ruoli non possono essere ricoperti
dalla stessa persona?
 Ad un campionato di calcio partecipano 10 squadre. Sapendo che il torneo
viene disputato con partite d’andata e ritorno, quante gare avrai in
totale?
c) Con le cifre 1; 2; 3 quanti numeri di due cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero.
d) Con le cifre 1; 2; 3 ; 4 quanti numeri di due cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero.
e) Con le cifre 1; 2; 3 quanti numeri di tre cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero.
Prendi in considerazione i seguenti esempi e cerca di dedurre la regola
generale.
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a) Con le cifre 1 e 2 quanti numeri di tre cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero. Quanti numeri di 4; 5; 6 ..n cifre puoi definire?
b) Con le cifre 1,2 e 3 quanti numeri di quattro cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero. Quanti numeri di 5;6 ..n cifre puoi definire?
c) Con le cifre 1,2,3 e 4 quanti numeri di cinque cifre puoi definire? Aiutati con un
diagramma ad albero. Quanti numeri di 6;7 ..n cifre puoi definire?
Negli esempi trattati, abbiamo sempre preso in considerazione tutti gli
elementi ripetendoli, ottenendo una DISPOSIZIONE CON RIPETIZIONE di n
elementi presi k volte.
Matematicamente scriveremo: Dn ;k ;r = nk .
5) Le combinazioni.
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Esercizi.
1) Quanti sono gli anagrammi (anche privi di senso) delle parole DON, RAMO;
SCUOLA, SCHERMO?
2) Quanti sono gli anagrammi delle parole: ORO ; ORSO; NOTTE; CELLE; VACANZA.
3) Quanti sono gli anagrammi del Nome dei tuoi genitori?
4) In quanti modi Andrea, Bea, Carlo e Daniela possono essere interrogati durante una
Lezione?
5) In quanti modi l’insegnate d’educazione fisica può farvi mettere su di un rango?
6) In quanti modi si possono schierare in campo (senza distinzione di ruoli):
a) 5 giocatori di una squadra di Hockey
b) 6 giocatori di una squadra di pallavolo
c) 11 giocatori di una quadra di calcio
d) 15 giocatori di una squadra di rugby
7) Con le cifre 1; 2 e 3 quanti numeri di tre cifre puoi formare? Quali casi si
presentano? Quali sono?
8) Enrico possiede un guardaroba poco fornito, costituito solamente da 2 paia di
pantaloni, 2 giacche e 4 camice. In quanti modi potrà vestirsi Enrico, combinando
questi 8 capi d’abbigliamento?
9) Hai due lucchetti a combinazione variabile:
a)
Descrivi la differenza tra i due tipi di
lucchetto.
b)
c)
Quanti numeri puoi scrivere sul primo lucchetto.
Quanti numeri puoi scrivere sul secondo
lucchetto.
d)
Quanti numeri in più puoi scrivere con il primo
lucchetto?
e)
Supponi d’avere un lucchetto con cinque
possibilità, quanti numeri puoi scrivere?
f) In una scuola media vuoi codificare tutti i 270 allievi, quale lucchetto
proporresti?
10) Con le 10 cifre, quanti numeri di targa a cinque cifre puoi produrre, sapendo che lo
zero non verrà messo a come prima cifra?
11) Con le 10 cifre, quanti numeri di targa a sei cifre puoi produrre, sapendo che lo
zero non verrà messo a come prima cifra?
12) Nel canton Ticino erano immatricolati a fine settembre 2014 circa 296'640 veicoli.
Come ben saprai il numero massimo per le targhe ticinesi è di sei cifre. Fin quando
basteranno sei cifre per poter targare tutti i veicoli?
13) Le targhe italiane, sono composte da due lettere, tre cifre e ancora due lettere.
Quante targhe potrai comporre?
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CALCOLO COMBINATORIO NEL RALLY MATEMATICO.
1) BANDIERE MULTICOLORI (Cat. 5, 6)
Per la festa della scuola, ognuna delle 19 classi disegna una bandiera con quattro
strisce orizzontali. Gli alunni di ogni classe devono colorare le strisce seguendo queste
regole:
-
ogni striscia deve essere di un solo colore: rosso, giallo o blu
-
in ogni bandiera bisogna utilizzare tutti e tre i colori,
-
non si devono colorare con lo stesso colore due strisce che si
toccano.
Ogni classe potrà avere una bandiera differente da quelle di tutte le altre classi?
Disegnate o descrivete le bandiere che avete trovato.
2) VACANZE INVERNALI. (Cat.3,4,5)
Per le sue vacanze sulla neve, Michele vuole acquistare un completo composto da una
giacca a vento, un paio di pantaloni e un berretto.
I pantaloni, la giacca e il berretto sono disponibili ognuno in tre colori: rosso, giallo e
blu. Michele non vuole dei pantaloni rossi, vuole anche che il colore dei pantaloni sia
diverso da quello della giacca a vento e da quello del berretto.
Quanti diversi completi può formare Michele?
Indicate i colori della giacca a vento, dei pantaloni e del berretto di ogni
completo che avete trovato.
3) BASTONCINI E TRIANGOLI (Cat. 7, 8, 9, 10)
Giorgio ha trovato in una scatola sei bastoncini di lunghezze rispettive 4 cm, 5 cm, 6
cm, 9 cm, 10 cm e 11 cm.
Ne sceglie tre per formare un triangolo.
Ecco per esempio il triangolo costruito con i bastoncini di 4
6
4
cm, 6 cm e 9 cm di lunghezza:
9
Dopo aver costruito un triangolo, Giorgio rimette i tre bastoncini nella scatola e
ricomincia.
Quanti triangoli differenti potrà costruire Giorgio con i suoi sei bastoncini?
Spiegate come avete trovato le vostre soluzioni e descrivetele.
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4) BANDIERINE (I) (CAT. 3, 4) ©ARMT.2009 - 17° - FINALE
Ecco 10 modelli di bandierine che sono composte ognuna da 4 rettangoli, da colorare.
Saranno poi appese sulle porte di 10 classi di una scuola.
Gli allievi decidono di colorare le bandierine di ciascuna classe in questo modo:
- ognuno dei quattro rettangoli deve essere colorato tutto di un colore: rosso,
oppure blu, oppure giallo;
- ogni bandierina non deve essere colorata con più di due colori;
- due rettangoli che hanno un lato in comune devono essere di colori differenti.
Ciascuna delle dieci classi potrà avere una bandierina diversa da quelle
delle altre classi, rispettando le regole per colorarle?
Quante sono le bandierine differenti? Mostrate come le avete colorate.
5) IL CODICE DEL PALAZZO (CAT. 3, 4) ©ARMT 2010 - 18° - FINALE
Ecco la tastiera che si trova all’entrata di un palazzo:
Componendo un codice si può aprire la porta d’ingresso. Il codice
deve essere composto da due lettere diverse. Per esempio con le
lettere B e F si possono formare due codici diversi: BF e FB. Invece
BB non è un codice che apre la porta.
A
D
B
E
C
F
In questo palazzo ci sono 35 appartamenti. I proprietari vorrebbero avere,
ciascuno, un codice diverso.
Sarà possibile avere 35 codici diversi, di due lettere, per aprire la
porta d’ingresso? Spiegate perché è possibile o perché non è possibile.
6) Pierino possiede 2 cravatte, una blu e una rossa, e tre camice, blu, bianca e rossa.
In quanti modi può combinare cravatta e camicia? Aiutati con un diagramma ad albero.
Qual è la probabilità che
a) Abbia la cravatta rossa e la camicia rossa?
b) Non abbia cravatta e camicia dello stesso colore?
7) Prendendo in considerazione le cifre 4 – 5 – 6, senza ripeterle, determina:
a) Quanti numeri puoi ottenere?
b) Supponi di mettere tutti questi numeri in un sacchetto, qual è la probabilità
d’estrarre un numero:
i) Pari.
ii) Primo.
iii) Un multiplo di 3?
c) Prendendo in considerazioni le medesime cifre quanti numeri di due cifre puoi
ottenere? (senza ripeterle!)
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