Registro delle lezioni corso di Geometria E

Registro delle lezioni corso di
Geometria E-N a.a. 2016/17
docente Raffaella Paoletti
Lunedì 19 Settembre 2016 [1h]
Presentazione del corso. Vettori applicati: definizione, esempi. Vettori paralleli, congruenti, equivalenti.
Vettori liberi. Somma di vettori, moltiplicazione per uno scalare e relative proprietà. Esempi svolti.
Mercoledì 21 Settembre 2016 [1h]
Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Vettori paralleli, complanari, proporzionali. Combinazioni lineari
di vettori.
Lunedì 26 Settembre 2016 [3h]
Vettori linearmente dipendenti/indipendenti. Dipendenza/indipendenza lineare per due e per tre vettori.
Esempi svolti. Sottospazio vettoriale di V_0 generato da un vettore o da due vettori. Generatori, basi e
coordinate. Definizione di sottospazio vettoriale, spazio generato, sistema di generatori, base.
Esercizi: Esercizi n.1 dal sito web
Mercoledì 28 Settembre 2016 [2h]
Definizione di sottospazio vettoriale, spazio generato, sistema di generatori, base. Descrizione di un vettore
attraverso un sistema di generatori e attraverso una base. Coordinate di un vettore. Esempi svolti.
Esercizi: nn.1.1, 1.2, 1.4, 1.8 pag.24 Eserciziario
Lunedì 3 Ottobre 2016 [3h]
Prodotto scalare: definizione, proprietà, interpretazione geometrica. Angolo formato da due vettori e norma di
un vettore attraverso il prodotto scalare. Proiezione di un vettore su un altro vettore. Basi ortogonali,
ortonormali e relativa espressione del prodotto scalare. Simmetrico di un vettore rispetto ad un altro vettore.
Esercizi: Esercizi n.2 dal sito web fino a 2.5 e nn.1.3, 1.5, 1.12, 1.14 - 1.17 pag.24 Eserciziario
Mercoledì 5 Ottobre 2016 [2h]
Simmetrico di un vettore rispetto ad un altro vettore. Proiezione di un vettore su un piano e simmetrico di un
vettore rispetto ad un piano Esercizi svolti. Orientazione su una retta, su un piano e nello spazio. Basi
ortonormali positivamente orientate. Prodotto vettoriale: definizione e interpretazione geometrica.
Esercizi: nn.1.3, 1.6-1.7, 1.9-1.11, 1.13 pag.24 Eserciziario
Lunedì 10 Ottobre 2016 [3h]
Prodotto vettoriale: proprietà e applicazioni. Esempi svolti. Doppio prodotto misto: definizione e significato
geometrico. Esempi svolti. Spazio vettoriale R^2: struttura di spazio vettoriale, isomorfismo con lo spazio dei
vettori di un piano. Base canonica, prodotto scalare, norma e angolo formato da due vettori. Esempi.
Esercizi: completare cap.I Eserciziario
Mercoledì 12 Ottobre 2016 [2h]
Spazio vettoriale R^n. Basi e base canonica. Prodotto scalare e applicazioni. Esempi svolti. Forma cartesiana
e forma parametrica di un sottospazio vettoriale di R^n, passaggio dall’una all’altra. Esempi svolti.
Intersezione di due sottospazi vettoriali. Esercizi di riepilogo.
Lunedì 17 Ottobre 2016 [3h]
Ortogonale di un vettore e ortogonale ad un ssv di R^n: definizione, dimensione, costruzione. Esempi svolti.
Spazio R_n[x] e suoi ssv. Esempi svolti.
Matrici: definizione, matrici particolari. Trasposta e traccia. Somma e moltiplicazione per uno scalare.
Esercizi: Esercizi n.3a dal sito web e nn.4.1-4.2, 4.5-4.10, 4.18-4.22, 4.24-4.26 pag.132 Eserciziario
Mercoledì 19 Ottobre 2016 [2h]
Spazio vettoriale delle matrici di forma fissata. Basi e ssv. Esercizi svolti. Moltiplicazione di matrici:
definizione, principali proprietà. Esempi svolti. Determinante di matrici quadrate: calcolo con lo sviluppo di
Laplace, principali proprietà, esempi svolti. Significato geometrico.
Esercizi: Esercizi n.3b dal sito web nn.3.17-3.27 e nn.4.3, 4.4, 4.26 pag.132 Eserciziario
Lunedì 24 Ottobre 2016 [3h]
Principali proprietà del determinante. Regola di Sarrus per matrici di ordine 3. Determinante di matrici con
parametro. Esempi svolti. Calcolo del prodotto vettoriale e del doppio prodotto misto di vettori di R^3 con
l'ausilio del determinante. Caratteristica di una matrice: definizione e calcolo partendo dai minori di ordine
massimo. Rango di una matrice: definizione ed equivalenza con la caratteristica. Metodo di riduzione a scala
di Gauss. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.3b dal sito web nn.3.28-3.36 e Esercizi n.4 dal sito web nn.4.1, 4.4 e nn. 2.5-2.8,
2.13, 2.15-2.16, 2.21-2.23 da pag.47 Eserciziario
Mercoledì 26 Ottobre 2016 [2h]
Calcolo del rango di matrici con parametro. Applicazioni del rango. Esercizi di riepilogo. Inversa di una
matrice: calcolo con i minori e con la doppia riduzione di Gauss. Esempi svolti. Sistemi lineari: definizione,
forma matriciale, significato di soluzione. Teorema di RouchèCapelli e Teorema di struttura delle soluzioni.
Sistemi equivalenti ottenuti con la riduzione di Gauss. Esempi svolti. Descrizione delle soluzioni come
sottospazi affini di R^n. Sistemi con parametro: discussione e risoluzione. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.4 dal sito web nn.4.13, 4.22 e nn. 3.1-3.20, 3.33, 3.36 da pag.94 Eserciziario
Mercoledì 2 Novembre 2016 [2h]
Sistemi con parametro: discussione e risoluzione. Esempi svolti. Sistemi lineari risolubili con il metodo di
Cramer. Generalizzazione a sistemi non quadrati. Discussione e risoluzione di sistemi parametrici con metodo
di Cramer. Esempi svolti. Esercizi di riepilogo.
Esercizi:
Esercizi n.4 dal sito web nn.4.16-4.24 e nn. 3.26-3.32, 3.34-3.35, 3.37-3.44 da pag.96
Eserciziario
Lunedì 7 Novembre 2016 [3h]
Sottospazi affini di spazi vettoriali: definizione, giacitura e dimensione, rappresentazione cartesiana e
parametrica. Esempi.
Equazione di una retta nel piano: forma parametrica e forma cartesiana, vettore direttore e vettore normale,
significato geometrico dei coefficienti dell'equazione. Rette parallele/ortogonali, fascio di rette proprio ed
improprio. Esercizi svolti.
Equazione parametrica della retta nello spazio; vettore direttore, rette parallele e ortogonali. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 6 pag.209 Eserciziario
Lunedì 14 Novembre 2016 [3h]
Equazione cartesiana di un piano nello spazio: giacitura, passaggio per un punto, vettore normale, significato
geometrico dei coefficienti dell'equazione. Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra due piani. Equazione
cartesiana di una retta nello spazio e suo vettore direttore. Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra un
piano ed una retta. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
Lunedì 21 Novembre 2016 [3h]
Fasci proprio/improprio di piani: definizione, equazioni e utilizzo negli esercizi. Posizioni reciproche di due
rette nel piano e di due rette o due piani o un piano e una retta nello spazio. Piano contenente due rette
complanari. Esercizi di riepilogo.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
Mercoledì 23 Novembre 2016 [2h]
Concetto di distanza. Distanze nel piano: fra due punti, fra un punto ed una retta, fra due rette.
Distanze nello spazio: fra due punti, fra un punto ed un piano, fra una retta ed un piano, fra due piani, fra un
punto ed una retta. Distanza fra due rette nello spazio. Retta di minima distanza per due rette sghembe. Esempi
svolti.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
Lunedì 28 Novembre 2016 [3h]
Angolo formato fra due rette, due piani, un piano e una retta.
Applicazioni lineari: definizione, proprietà principali. Esempi di applicazioni lineari. Unicità dell'applicazione
lineare definita sui vettori di una base. Nucleo e immagine come ssv e Teorema di nullità più rango. Iniettività
e suriettività. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 5 pag.181 Eserciziario: nn. 5.1-5.9, 5.16-5.19
Lunedì 5 Dicembre 2016 [3h]
Matrice associata ad una applicazione lineare. Esempi svolti. Somma, moltiplicazione per uno scalare,
composizione e inversa di applicazioni lineari e relative matrici.
Endomorfismi diagonalizzabili: definizione, esempi. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio
caratteristico: definizione e caratteristiche principali. Ricerca di autovalori e autovettori.
Esercizi: dal capitolo 5 pag.182 Eserciziario: nn. 5.23, 5.26, 5.28, 5.30, 5.31, 5.33, 5.34
Mercoledì 7 Dicembre 2016 [2h]
Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzazione. Esempi di applicazioni diagonalizzabili e non.
Teorema spettrale e applicazioni. Diagonalizzazione di matrici. Esempi svolti. Diagonalizzazione di matrici
parametriche. Esercizi di riepilogo.
Lunedì 12 Dicembre 2016 [3h]
Circonferenza, ellisse, iperbole, parabola: definizione, equazione canonica, elementi notevoli, proprietà
geometriche. Direttrici di una conica.
Le coniche in forma generale: intersezione di un cono con un piano; polinomio e matrice associata. Cenni sul
punto di vista proiettivo. Classificazione affine delle coniche attraverso la matrice associata.
Esercizi svolti sulla classificazione delle coniche e dei fasci di coniche.
Mercoledì 14 Dicembre 2016 [2h]
Decomposizione delle coniche degeneri. Polarità indotta da una conica non degenere. Retta tangente ad una
conica in un suo punto e rette tangenti ad una conica passanti per un punto assegnato. Centro, assi e vertici di
una conica in forma generale. Riduzione a forma canonica. Esempi svolti.
Lunedì 19 Dicembre 2016 [1h]
Esercizi di riepilogo sulle coniche. Cenni sulle quadriche e loro classificazione.