Frizione idraulica: modello nello spazio degli stati Si consideri il

0.0.
9.4 1
Frizione idraulica: modello nello spazio degli stati
Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione:
P
Q
Kv
Cm
P1
A
xm
x
ẋ
mp
b
Km
Fm
ẋd
Pressione di alimentazione
Portata volumetrica nella valvola
Costante di prop. della valvola
Capacità idraulica del cilindro
Pressione all’interno del cilindro
Sezione del pistone
Schiacciamento della molla a tazza
Posizione del pistone
Velocità del pistone
Massa del pistone
Attrito lineare del pistone
Rigidità della molla
Forza della molla sul pistone
Velocità di spostamento dei dischi frizione
x
4
Cm
Km mp Q x
P1
b, A
5
Q
3
6
2
Valvola
(Kv )
1
P
R=0
Il corrispondente modello dinamico POG è il seguente:
-
P
P1
6
--
A
-
Fx
-
Kv
?
-
Qx
Cilindro
Valvola
1
2
Fb
p
1
mp
3
A
?
ẋ
Pistone
4
Fm
6
6
?
1
s
Q
1
s
6
V
6
- ?
1
Cm
?
Km
xm
b
6
1
s
6
-
-
-
-
Attrito
-
6
ẋd
Molla a tazza
5
6
Le sezioni indicate a tratteggio nello schema POG rappresentano “sezioni reali”
del sistema fisico attraverso le quali fluisce una potenza il cui valore è pari al
prodotto delle variabili che caratterizzano la sezione tratteggiata dello schema
a blocchi.
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9. MODELLISTICA
9.4. ESEMPI DI MODELLISTICA DINAMICA
9.4 2
Descrizione del sistema nello spazio degli stati
• Le equazioni che caratterizzano il sistema sono le seguenti:


Q = Kv (P − P1)
Fm = K m x m








 C Ṗ = Q − Q
 F = AP
x
1
m 1
x


Qx = A ẋ
mpẍ = Fx − Fb − Fm








ẋm = ẋ − ẋd
Fb = b ẋ
Quando le equazioni vengono scritte in modo “non organizzato” non è facile
capire qual è l’ordine dinamico del sistema e se sono state scritte tutte le
equazioni necessarie per la completa definizione del sistema.
• Se il sistema è lineare, uno dei modi migliori per passare dallo schema a
blocchi POG al corrispondente modello dinamico nello spazio degli stati è quello
di prendere come variabili di stato le variabili di potenza che caratterizzano le
uscite degli elementi dinamici presenti all’interno del sistema. Nel caso in esame
il vettore di stato x e il vettore degli ingressi u sono i seguenti:
x = P1 ẋ Fm ,
u = P ẋd
T
T
• È inoltre opportuno che le variabili di stato siano ordinate all’interno del
vettore x secondo l’ordine con cui si susseguono gli elementi dinamici all’interno
dello schema POG.
• Siccome il sistema è lineare, il vettore x delle variabili di potenza è legato al
vettore q delle variabili energia da equazioni costitutive che sono lineari:

 
 


C
P
C
0
0
V
P1
m 1
m
q =  p  =  mpẋ  =  0 mp 0   ẋ  = L x
1
0 0 K1m
xm
Fm
Km F m
• La matrice diagonale L, denominata matrice energia, è caratterizzata solo
dai coefficienti energia delle equazioni costitutive degli elementi fisici.
• L’energia Ea accumulata nel sistema è una funzione quadratica definita
positiva della sola matrice energia L e del vettore di stato x:
1
Ea = x L x
2
T
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9. MODELLISTICA
9.4. ESEMPI DI MODELLISTICA DINAMICA
9.4 3
• Le equazioni dinamiche del sistema fisico si ottengono semplicemente scrivendo q̇ = L ẋ = xq , dove xq è il vettore delle variabili di potenza presenti
all’ingresso degli integratori. Per sistemi lineari, il vettore xq può sempre essere espresso come combinazione lineare del vettore di stato x e del vettore di
ingresso u: xq = A x + B u. Nel caso in esame si ha che:

  
  

Cm 0 0
Ṗ1
−Kv −A 0
P1
Kv 0 P
 0 mp 0   ẍ  =  A −b −1  ẋ  +  0 0 
ẋ
0 0 K1m
0
1 0 Fm
0 −1 | {zd }
Ḟm
{z
} | {z } | {z } u
{z
} | {z } |
|
x
ẋ
A
B
L
Scritto in forma vettoriale, il sistema assume la forma:
L ẋ = A x + B u
• Si noti che procedendo in questo modo la matrice A assume una forma
particolare: riscrivendo la matrice A come somma della sua parte simmetrica
As = (A + A )/2 e della sua parte emisimmetrica Aw = (A − A )/2:


 
 
0 −A 0
−Kv −A 0
−Kv 0 0
A =  A −b −1  =  0 −b 0  +  A 0 −1  = As + Aw
0 1 0
0
1 0
0
0 0
{z
} |
{z
}
|
As
Aw
T
T
ci si accorge che:
1) la matrice simmetrica As è funzione dei soli parametri statici del sistema:
Kv e b. La potenza Pd dissipata nel sistema è una funzione quadratica
della sola matrice As e del vettore di stato x:
Pd = x As x
T
2) la matrice emisimmetrica Aw è funzione soltanto dai parametri di “collegamento” tra i vari elementi dinamici del sistema: blocco di connessione
A e sezione 5. La matrice Aw rappresenta una ridistribuzione dell’energia
all’interno del sistema, infatti la forma quadratica basata sulla matrice Aw
è sempre nulla:
0 = x Aw x
T
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9. MODELLISTICA
9.4. ESEMPI DI MODELLISTICA DINAMICA
9.4 4
• Il calcolo del vettore q̇ = A x + B u, e quindi delle matrici A e B, risulta
particolarmente agevole se dallo schema POG originario si tolgono gli elementi
dinamici lasciando in evidenza le variabili di potenza e gli ingressi q̇i dei vari
integratori:
Fx
- -- P
A
6
6
6
?
P
Fb
Fm
1
q̇2
?
Kv
b
q̇1
Q
?
-
-
6
Qx
ẋ
A
q̇3
6
?
-
-
-
-
6
ẋd

  
  
−Kv −A 0
P1
Kv 0 q̇1
P
L ẋ = q̇ = q̇3 =  A −b −1  ẋ  +  0 0 
ẋ
q̇3
0
1 0 Fm
0 −1 | {zd }
|
{z
} | {z } | {z } u
x
A
B
• Moltiplicando a sinistra questa equazione per la matrice L−1 si porta il
sistema nella forma “classica” utilizzata nell’analisi dei sistemi dinamici:
−1
−1
ẋ = L
| {zB} u
| {zA} x + L
A
⇔
ẋ = A x + B u
B
• In questo caso la variabile di uscita di interesse, y = Fm , coincide con la
terza componente del vettore di stato:
 
P1
y = Fm = 0 0 1  ẋ  = C x
Fm
• Si noti che se si opera la trasformazione q = L x (cioè x = L−1q) nello
spazio degli stati, il sistema in oggetto può essere descritto in modo equivalente
nel seguente modo utilizzando le variabili energia q:
q̇ = A L−1q + B u
• Sarebbe la descrizione dinamica più appropriata, ma l’uso delle variabili
energia q come variabili di stato non è la più frequente.
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9. MODELLISTICA