Frizione idraulica Si consideri il seguente modello idraulico

1.4 1
1.1. MODELLISTICA - Modellistica dinamica
Frizione idraulica
Si consideri il seguente modello idraulico semplificato di una frizione:
P
Q
Kv
Cm
P1
A
x
ẋ
mp
b
Km
Fm
x
Km
mp Qx
Pressione di alimentazione
Portata volumetrica nella valvola
Costante di prop. della valvola
Capacità idraulica del cilindro
Pressione all’interno del cilindro
Sezione del pistone
Posizione del pistone
Velocità del pistone
Massa del pistone
Attrito lineare del pistone
Rigidità della molla
Forza della molla sul pistone
Q
Valvola
(Kv )
P
1
b+mps
Cm s
R=0
Fm
6
x
6
1
s
6
Q
?
-
-
Qx
A
?
ẋ
-
Km
?
1
Kv
P1
b, A
Il corrispondente modello dinamico POG è il seguente:
P1
Fx
- -- P
A
6
?
Cm
-
-
6
0
Utilizzando la formula di Mason e le seguenti variabili ausiliarie
1
1
Km
G1 = K v ,
G2 =
,
G3 =
,
G4 =
Cm s
b + mp s
s
si ottiene la funzione di trasferimento G(s) del sistema:
Fm(s)
A G1 G2 G3 G4
G(s) =
=
P (s)
1 + G1 G2 + A2 G2 G3 + G3 G4 + G1 G2 G3 G4
che sostituendo diventa:
AKmKv
G(s) =
Cmmps3 + (Cm b + Kv mp)s2 + (A2 + CmKm + Kv b)s + KmKv
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1. MODELLISTICA
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1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica
Le equazioni che caratterizzano il sistema sono le seguenti:
⎧
⎧
⎪
Q
=
K
(P
−
P
)
v
1
⎪
⎪
⎨
⎨ Fm = K m x
Fx = A P 1
CmṖ1 = Q − Qx
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩ m ẍ = F − b ẋ − F
Qx = A ẋ
p
x
m
Quando le equazioni vengono scritte in modo “non organizzato” non è facile
capire qual è l’ordine dinamico del sistema e se sono state scritte tutte le
equazioni necessarie per la completa definizione del sistema. Se si introduce il
seguente “vettore di stato”
x = P1 ẋ x
T
le equazioni del sistema possono essere strutturate nel modo seguente:
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤⎡
⎤
⎡
0
Kv
P1
−Kv −A
Cm Ṗ1
⎣ mp ẍ ⎦ = ⎣
A −b −Km ⎦ ⎣ ẋ ⎦ + ⎣ 0 ⎦ P
x
0
0
1
0
ẋ
y = Fm
dove P è la pressione di controllo in ingresso e y = Fm è la forza misurata in
uscita. Tale sistema di equazioni può essere riscritto nella forma seguente:
⎤⎡
⎡
⎡
⎤ ⎡ Kv ⎤
⎤
Kv
A
−
0
−
P
Ṗ1
1
Cm
Cm
Cm
⎥
⎢
K
A
b
m
⎣ ẍ ⎦ = ⎣
⎦
⎣
⎣
P
ẋ + 0 ⎦ mp − mp − mp ⎦
u
x
ẋ
0
0
1
0
x
B
A
ẋ
y = 0 0 Km x
C
che in forma compatta diventa (descrizione nello spazio degli stati):
A è la matrice di sistema
ẋ = A x + B u
dove
B è la matrice degli ingressi
y = Cx
C è la matrice delle uscite
Il sistema è lineare, perciò ammette un unico punto di lavoro x0 ogni qual volta
l’ingresso è costante u = u0 . Tale punto di lavoro x0 si determina imponendo
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1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica
ẋ = 0 e u0 = P :
x0 = −A−1B u0,
y0 = C x0
Nel caso in oggetto si ottiene:
⎤
⎤
⎡
⎡
P
P1
x0 = ⎣ ẋ ⎦ = ⎣ 0 ⎦ ,
AP
x 0
Km
y0 = [Fm]0 = A P
La funzione di trasferimento G(s) di un sistema lineare descritto nello spazio
degli stati si ottiene anche utilizzando la seguente relazione:
G(s) = C(sI − A)−1B
Il risultato che si ottiene è identico a quello ottenuto con la formula di Mason.
Se il sistema è non lineare si deve procedere in modo diverso. Supponiamo,
per esempio, che nel caso in esame sia la valvola che la molla siano elementi
non lineari: Φv (∆P ) e Φm (x).
P
-
P1
6
∆P
?
--
A
-
Fx
1
b+mps
Cm s
Fm
6
x
6
1
s
6
Q
?
-
-
Qx
A
?
ẋ
-
Φm(x)
?
1
Φv (∆P )
-
-
-
6
0
La descrizione nello spazio degli stati è ora la seguente:
⎤
⎡
⎡ ⎤
Φv (P1 − P ) A ẋ
−
Ṗ1
⎢−
C
Cm ⎥
m
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ẍ ⎥ = ⎢ A P1 b ẋ Φm(x) ⎥ ,
Fm = Φm(x)
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎣ ⎦ ⎢ mp
mp
mp ⎥
⎦
⎣
ẋ
ẋ
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1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica
Posto x1 = P1, x2 = ẋ, x3 = x, x = [x1 x2 x3]T , u = u = P e y = Fm , la
descrizione nello spazio degli stati è ora la seguente:
⎧
⎡
⎤
Φ
(u−x
)
A
x
⎡
⎤
v
1
2
⎪
− Cm
⎪
ẋ
Cm
⎪
1
⎢
⎥
⎪
⎪
Φm (x3 ) ⎥
A x1
b x2
⎢
⎪
⎣
⎦
=
ẋ
⎪
2
⎪
⎣ mp − mp − mp ⎦
⎪
⎨ ẋ3
ẋ = f (x, u)
x2
↔
⎪
y = h(x)
ẋ
⎪
f(x, u)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y
=
Φ
(x
)
m 3
⎪
⎪
⎩
h(x)
In questo caso h(x) è funzione del solo vettore di stato x. Nel caso più generale
la funzione h(x, u) dipende anche dal vettore degli ingressi u. Anche in questo
caso il punto di lavoro x̄ associato all’ingesso u = ū si determina imponendo
ẋ = 0:
⎧
⎧
Φ
(ū−x̄
)
v
1
x̄1 = ū − Φ−1
⎪
⎪
=
0
v (0)
⎪
⎪
C
⎨
⎨
m
Φm (x̄3 )
A x̄1
x̄2 = 0
f (x̄, ū) = 0 →
−
=0 →
m
m
p
p
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ x̄ = 0
⎩ x̄3 = Φ−1
m (A x̄1 )
2
Nel caso di sistemi non lineari possono esistere più punti di lavoro associati alo
stesso valore del vettore di ingresso u.
La linearizzazione del sistema nell’intorno del punto di lavoro si opera nel modo
seguente:
⎧
∂f (x, u) ∂f (x, u) ⎪
⎪
(x − x̄) +
(u − ū)
⎪
⎨ ẋ =
∂ xT (x̄,ū)
∂ uT (x̄,ū)
∂h(x) ⎪
⎪
⎪
⎩ y = ∂ xT (x − x̄)
(x̄)
Posto x̃ = x − x̄ e ũ = u − ū, si ottiene il sistema linearizzato
x̃˙ = A x̃ + B ũ
y = C x̃
dove
∂f (x, u) A=
,
∂ xT (x̄,ū)
∂f (x, u) B=
,
∂ uT (x̄,ū)
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∂h(x) C=
∂ xT (x̄)
1. MODELLISTICA
1.4 5
1.4. MODELLISTICA - Esempi di modellistica dinamica
Nel vaso in esame si ha:
⎤
⎡ K
A
v
0
− Cm − Cm
⎥
⎢ A
Km ⎥
b
A=⎢
,
−
−
mp
mp ⎦
⎣ mp
0
1
0
⎡
Kv
Cm
⎤
⎥
⎢
⎥,
B=⎢
0
⎦
⎣
0
C = 0 0 Km
dove
∂Φv (u − x1) ∂Φv (u − x1) ∂Φv (w) Kv = −
=
=
∂ x1
∂
u
∂ w w=Φ−1
(x̄1 ,ū)
(x̄1 ,ū)
v (0)
∂Φm(x3) −1
Km =
dove
x̄3 = Φ−1
m (A (ū − Φv (0)))
∂ x3 x3 =x̄3
In questo modo si ottiene formalmente lo stesso modello dinamico lineare
considerato inizialmente.
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