CINEMATICA del corpo rigido

SEZIONE 2
CINEMATICA
del corpo rigido
Le seguenti note sono una sintesi estrema dei concetti alla base della dinamica dei corpi rigidi. Lo
studente può considerare di aver appreso realmente tali concetti solo se è in grado di risolvere
agevolmente i problemi presentati nella sezione 3 ( ed in seguito 5) di queste dispense.
Nel capitolo precedente abbiamo visto che l’analisi cinematica di un elemento materiale E si
sviluppa sulla sola base del vettore di posizione che è un descrittore a tre parametri. Anticipiamo
che nel caso del corpo rigido l’analisi richiede l’introduzione di un descrittore più complesso che
introduce sei parametri, quanti sono i gradi di libertà del corpo rigido. Di questi sei parametri, tre
sono contenuti in un vettore associato alla posizione di un punto assegnato del corpo rigido, mentre
gli altri sono contenuti all’interno di una matrice di rotazione 3x3 che vede 9 coefficienti legati tra
di loro da sei condizioni di vincolo. Restano così liberi tre ulteriori parametri per la descrizione
della configurazione spaziale del corpo rigido.
2.1 MATRICE DI ROTAZIONE
Un corpo si dice rigido quando le mutue distanze tra i suoi punti sono invariabili nel tempo.
Consideriamo una terna di riferimento Roxyz rispetto alla quale il corpo rigido si sposta (ossia
rispetto alla quale le coordinate dei punti del corpo rigido variano con il tempo) ed una terna
R’o’x’y’z’ solidale al corpo rigido (ossia rispetto alla quale le coordinate dei punti del corpo sono
invariabili nel tempo). Limitiamo per il momento l’attenzione ai soli spostamenti del corpo rigido
che lasciano inalterata la posizione di un suo punto. Scegliamo allora i riferimenti Roxyz e
R’o’x’y’z’ con le origini O ed O’ coincidenti tra loro e coincidenti con il punto che nello
spostamento resta fisso. Chiamiamo lo spostamento che lascia invariata la posizione di un punto del
corpo spostamento sferico. E’ chiaro che un punto qualunque del corpo rigido soggetto ad uno
spostamento sferico descrive una traiettoria che giace su una sfera il cui raggio è pari alla distanza
del punto considerato dall’origine del sistema di riferimento (sia esso Roxyz o R’o’x’y’z’) essendo
tale distanza, per definizione di corpo rigido, invariabile nel tempo.
z’
z
P
y’
O - O’
y
x
x’
Nel caso dell’elemento materiale, la descrizione del moto dell’elemento E consiste nel fornire le
componenti del vettore di posizione in un certo sistema di riferimento ad ogni istante t. Nel caso di
un corpo l’obiettivo è identico: fornire ad ogni istante t le coordinate del vettore di posizione di un
suo qualunque punto P rispetto al sistema di riferimento Roxyz. Poiché un corpo è costituito di
infiniti elementi materiali, tale descrizione richiede in generale infiniti vettori di posizione, cioè
infinito a tre funzioni scalari del tempo.
Se però il corpo è rigido, si ha una semplificazione notevole del problema poiché il vincolo di
rigidità limita i gradi di libertà del corpo considerato a 6 soltanto: sono cioè necessarie solo sei
funzioni scalari del tempo per determinare la posizione in funzione del tempo di un qualunque
punto del corpo rigido. Se poi, come in questo caso, studiamo spostamenti sferici vincolando un
punto a non spostarsi, il corpo rigido presenta soli tre gradi di libertà. Quindi sono sufficienti tre
funzioni scalari del tempo per esprimere lo spostamento di un qualunque punto del corpo.
Al fine di studiare la legge che permette di esprimere lo spostamento di un punto qualunque del
corpo rigido in funzione di queste tre funzioni scalari, si consideri un generico punto P di coordinate
x,y,z nel sistema di riferimento Roxyz e coordinate x’,y’,z’ nel sistema R’o’x’y’z’. Se i j k , i ' j' k '
sono i versori rispettivi dei due sistemi di riferimento, il vettore OP si può esprimere nelle due
forme equivalenti:
OP = x i + y j + z k
OP = x' i ' + y ' j ' + z ' k '
La relazione tra le coordinate nei due sistemi di riferimento si determina come segue:
x = OP ⋅ i = ( x' i ' + y ' j ' + z ' k ')⋅ i
y = OP ⋅ j = (x' i ' + y ' j ' + z ' k ')⋅ j
z = OP ⋅ k = ( x' i ' + y ' j ' + z ' k ')⋅ k
Ossia, in forma matriciale, si ha:
⎧ x ⎫ ⎡ i '⋅i
⎪ ⎪ ⎢
⎨ y ⎬ = ⎢ i '⋅ j
⎪ z ⎪ ⎢i '⋅k
⎩ ⎭ ⎣
j'⋅i
k '⋅i ⎤
j'⋅ j k '⋅ j ⎥⎥
j'⋅k k '⋅k ⎥⎦
⎧ x'⎫
⎪ ⎪
⎨ y '⎬
⎪ z'⎪
⎩ ⎭
⇒
x = R x′
(1)
essendo R la matrice di rotazione. Tale matrice contiene 9 elementi, ma questi devono dipendere
da 3 soli parametri indipendenti. Infatti i versori degli assi sono vincolati a rispettare le 6 condizioni
di ortogonalità:
i ⋅ j = 0, i ⋅ k = 0, j ⋅ k = 0
i ′ ⋅ j′ = 0, i ′ ⋅ k ′ = 0, j′ ⋅ k ′ = 0
Ci occuperemo in seguito di far figurare esplicitamente i tre termini indipendenti della matrice di
rotazione (vedi 2.5).
2.2 PROPRIETA’ DELLA MATRICE DI ROTAZIONE
In un corpo rigido la distanza mutua tra coppie di punti del sistema resta inalterata. Tale vincolo ha
un riflesso sulle proprietà della matrice di rotazione. La condizione di rigidità implica che esiste un
invariante nella trasformazione delle coordinate espressa dalla (1). Infatti il modulo del vettore x ′ ,
ossia la distanza tra il punto P e l’origine dei sistemi di riferimento, valutato da un osservatore
solidale al corpo, coincide con il modulo del vettore x valutato nel sistema di riferimento fisso. Ciò
comporta:
x T x = x′T x ′
Esprimendo il primo membro di questa uguaglianza usando la relazione (1) abbiamo:
(Rx′) T (Rx′) = x ′T x′
⇒
x′ T R T Rx′ = x′T x ′
dunque:
RT R = I
R −1 = R T
⇒
⇒ RR T = I
(2)
Cioè la matrice di rotazione è una matrice ortogonale, la cui inversa si calcola per semplice
trasposizione dei suoi elementi.
2.3 ROTAZIONE ATTORNO AD UN ASSE FISSO
Descriviamo il moto di un corpo rigido nel quale i punti di una retta restino fissi. Supponiamo che
sia l’asse z a restare fisso cosicché l’asse z coincide con z’. Tale moto è descritto in modo completo
dall’uso di una sola funzione scalare del tempo che è l’angolo di rotazione θ (t ) attorno all’asse z.
Visto dall’asse z al tempo t il piano xy si presenta nel modo:
y
y’
P
x’
j
j’
i’
i
θ (t )
x
O
La matrice di trasformazione in questo caso si ricava dalla (1) posto k ≡ k ′ che, ricordando le
condizioni di ortogonalità, produce:
⎡ i '⋅i
⎢ i '⋅ j
⎢
⎢⎣i '⋅k
j'⋅i
k '⋅i ⎤ ⎡ i '⋅i
j'⋅ j k '⋅j ⎥⎥ = ⎢⎢ i'⋅ j
j'⋅k k '⋅k ⎥⎦ ⎢⎣i'⋅k
k ⋅ i ⎤ ⎡ i '⋅i j'⋅i 0⎤ ⎡
cos θ
cos(π / 2 + θ ) 0⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
cos θ
0⎥⎥
j'⋅ j k ⋅ j ⎥ = ⎢i '⋅j j'⋅ j 0⎥ = ⎢cos(π / 2 − θ )
0
0
1⎥⎦
j'⋅k k ⋅ k ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣
j'⋅i
R
( z)
⎡cos θ
= ⎢⎢ sin θ
⎢⎣ 0
− sin θ
cos θ
0
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
E’ facile verificare in questo caso come la matrice trovata rispetti la condizione (2).
Con la stessa tecnica è facile rendersi conto che si determinano analoghe matrice per rotazioni
attorno agli assi x e y. Più precisamente posto i ≡ i ′ si ha:
⎡ i '⋅i
⎢ i '⋅ j
⎢
⎢⎣i '⋅k
j'⋅i
k '⋅i ⎤ ⎡ i ⋅ i
j'⋅ j k '⋅ j ⎥⎥ = ⎢⎢ i ⋅ j
j'⋅k k '⋅k ⎥⎦ ⎢⎣i ⋅ k
0 ⎤ ⎡1
0
0
k ′ ⋅ i ⎤ ⎡1 0
⎤
⎥
⎢
⎥
⎢
cos ϕ
cos(π / 2 + ϕ )⎥⎥
j'⋅ j k ′ ⋅ j ⎥ = ⎢0 j'⋅ j k ′ ⋅ j ⎥ = ⎢0
⎥⎦
cos ϕ
j'⋅k k ′ ⋅ k ⎥⎦ ⎢⎣0 j'⋅k k ′ ⋅ k ⎥⎦ ⎢⎣0 cos (π / 2 − ϕ )
j'⋅i
R
( x)
0
⎡1
⎢
= ⎢0 cos ϕ
⎢⎣0 sin ϕ
0 ⎤
− sin ϕ ⎥⎥
cos ϕ ⎥⎦
Infine posto j ≡ j′ si ha:
⎡ i '⋅i
⎢ i '⋅ j
⎢
⎢⎣i '⋅k
j'⋅i k '⋅i ⎤ ⎡ i '⋅i
j'⋅ j k '⋅j ⎥⎥ = ⎢⎢ i'⋅ j
j'⋅k k '⋅k ⎥⎦ ⎢⎣i'⋅k
cosψ
0 cos (π / 2 − ψ )⎤
j ⋅ i k ′ ⋅ i ⎤ ⎡ i '⋅i 0 k ′ ⋅ i ⎤ ⎡
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
0 ⎥=⎢
0
1
0
j⋅ j k′ ⋅ j⎥ = ⎢ 0 1
⎥
⎥⎦
cosψ
j ⋅ k k ′ ⋅ k ⎥⎦ ⎢⎣i '⋅k 0 k ′ ⋅ k ⎥⎦ ⎢⎣cos(π / 2 + ψ ) 0
R
( y)
⎡ cosψ
= ⎢⎢ 0
⎢⎣− sinψ
0 sinψ ⎤
1
0 ⎥⎥
0 cosψ ⎥⎦
2.4 COMPOSIZIONE DI ROTAZIONI
La relazioni trovate precedentemente permettono di calcolare la matrice di rotazione relativa ad una
rotazione rispetto ad un asse fisso. E’ facile determinare sulla base di questi elementi l’espressione
della matrice di rotazione per uno spostamento sferico più generale. Supponiamo che il corpo rigido
subisca due spostamenti sferici in successione descritti dalle matrici R 1 ed R 2 . Lo spostamento
finale è certamente ancora uno spostamento sferico e quindi descrivibile attraverso una matrice di
rotazione R . Dunque si pone il seguente problema: assegnate le matrici di rotazione R 1 ed R 2 ,
come si determina la matrice che descrive lo spostamento risultante? Bisogna stabilire dunque la
relazione intercorrente tra R 1 , R 2 ed R .
A tal fine si considerino tre sistemi di riferimento Roxyz, R’o’x’y’z’ , R’’o’’x’’y’’z’’. Il primo
sistema è il sistema fisso; al termine del primo spostamento sferico il sistema solidale con il corpo
rigido R’o’x’y’z’ avrà subito un cambiamento di orientazione; la relazione tra le coordinate in
R’o’x’y’z’ e quelle in Roxyz è fornita dalla x = R 1 x ′ (vedi equazione (1)). Per l’analisi della
seconda rotazione si renda solidale al corpo rigido la terza terna R’’o’’x’’y’’z’’ mentre la terna
R’o’x’y’z’ rimane fissa. In tal caso la relazione che lega le coordinate in R’’o’’x’’y’’z’’ a quelle in
R’o’x’y’z’ è fornita dalla x ′ = R 2 x ′′ . Combinando le due relazioni trovate si ha:
x = R 1 x ′ = R 1 (R 2 x ′′) = R 1 R 2 x ′′
(3)
Dunque la relazione tra le coordinate nel sistema solidale al corpo dopo aver subito i due
spostamenti sferici e quelle nel sistema di riferimento fisso si ottiene dalla (3). Ne segue che la
matrice di rotazione R relativa allo spostamento prodotto da due spostamenti sferici si ottiene
effettuando il prodotto delle associate matrici di rotazione R 1 ed R 2 :
R = R 1R 2
La relazione è generalizzabile al caso di N spostamenti sferici. Dunque:
N
R = ∏ Ri
(4)
i =1
2.5 MATRICE DI ROTAZIONE MEDIANTE GLI ANGOLI DI CARDANO
La relazione (4) permette di derivare in modo semplice una matrice di rotazione generale capace di
descrivere un qualunque spostamento sferico attraverso tre funzioni scalari indipendenti. A tal fine
si considerino due sistemi di riferimento Roxyz e R’’’o x’’’y’’’z’’’ Il primo sistema è, come
sempre, il sistema fisso, mentre il secondo R’’’ o x’’’y’’’z’’’ è solidale al corpo rigido. E’ facile
mostrare come si possa far coincidere il sistema Roxyz con il sistema R’’’o x’’’y’’’z’’’ effettuando
tre rotazioni elementari. La prima rotazione, caratterizzata dall’angolo ϕ , è effettuata attorno al solo
asse x di Roxyz; il sistema d’assi Roxyz si porta allora nella configurazione R’o x’y’z’ (con gli assi
x e x’ coincidenti). La seconda rotazione, caratterizzata dall’angoloψ , è effettuata attorno all’ asse
y’ di R’o x’y’z’; il sistema d’assi R’o x’y’z’ si porta nella configurazione R’’o x’’y’’z’’ (con gli assi
y’ e y’’ coincidenti). La terza ed ultima rotazione, caratterizzata dall’angolo θ si effettua attorno
all’asse z’’ di R’’o x’’y’’z’’ ; il sistema d’assi R’’o x’’y’’z’’ si porta nella configurazione R’’’o
x’’’y’’’z’’’ (con gli assi z’’ e z’’’ coincidenti).
La rotazione risultante dalle tre rotazioni attorno ai tre assi sopra considerati, si ottiene
semplicemente dal paragrafo 2.3 e dalla (4):
R=R R
( x)
0
⎡1
⎢0 cos ϕ
⎢
⎢⎣0 sin ϕ
( y′)
R
( z ′′ )
0
⎡1
⎢
= ⎢0 cos ϕ
⎣⎢0 sin ϕ
0 ⎤ ⎡ cosψ cos θ
sin θ
− sin ϕ ⎥⎥ ⎢⎢
cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣− cos θ sinψ
0 ⎤
− sin ϕ ⎥⎥
cos ϕ ⎦⎥
⎡ cosψ
⎢ 0
⎢
⎣⎢− sinψ
− cosψ sin θ
cos θ
sinψ sin θ
0 sinψ ⎤ ⎡cos θ
1
0 ⎥⎥ ⎢⎢ sin θ
0 cosψ ⎥⎦ ⎢⎣ 0
sinψ ⎤
0 ⎥⎥
cosψ ⎥⎦
− sin θ
cos θ
0
0⎤
0⎥⎥ =
1⎥⎦
e dunque la matrice di rotazione :
R=R R
( x)
( y′)
R
( z ′′ )
cosψ cos θ
⎡
⎢
= ⎢cos ϕ sin θ + sin ϕ sinψ cos θ
⎢⎣sin ϕ sin θ − cos ϕ cos θ sinψ
− cosψ sin θ
cos ϕ cos θ − sin ϕ sin θ sinψ
sin ϕ cos θ + cos ϕ sinψ sin θ
sinψ
⎤
− sin ϕ cosψ ⎥⎥
cosψ cos ϕ ⎥⎦
Gli angoli qui usati per rappresentare la matrice di rotazione sono gli angoli di Cardano.
2.6 ROTOTRASLAZIONI
Consideriamo ora due terne Roxyz e R’o’x’y’z’ con le origini O ed O’ che non siano più
coincidenti, ossia la terna solidale al corpo si disponga nello spazio in modo completamente
arbitrario. Dall’analisi dei moti sferici (con un punto fisso) abbiamo visto che l’orientazione della
terna R’o’x’y’z’ si descrive mediante tre funzioni scalari indipendenti, ad esempio i tre angoli di
Cardano e l’associata matrice di rotazione. Ora le coordinate del generico punto P solidale al corpo
rigido rispetto al sistema R’o’x’y’z’ sono raccolte nel vettore x ′ . Quindi il vettore O’P ha
coordinate x O'P nel sistema di riferimento Roxyz espresse da x O'P = Rx′ . Se siamo interessati però
a determinare le coordinate di OP in Roxyz si dovrà semplicemente considerare che
OP=OO’+O’P. Dette x e x O ' le coordinate di P e di O’ nel sistema di riferimento Roxyz avremo
immediatamente:
x = x O ' + Rx′
(5)
che esprime le coordinate, ossia la posizione, di un generico punto P, solidale al corpo, nel sistema
di riferimento Roxyz , note le coordinate dell’origine O’ di R’o’x’y’z’ nel sistema di riferimento
Roxyz , nota la matrice di rotazione R (ϕ ,ψ , θ ) e note le coordinate di P stesso, x’ y’ z’ (invariabili
nel tempo), rispetto al sistema R’o’x’y’z’ solidale con il corpo.
2.7 DISTRIBUZIONE DI VELOCITA’ ED ACCELERAZIONE
Rappresentando la (5) la posizione di un generico punto P solidale al corpo rigido in funzione dei
sei parametri contenuti in x O ' = ( xO ' , y O ' ,z O ' ) T , R (ϕ ,ψ , θ ) , passiamo ora a determinare velocità ed
accelerazione di P, rispettivamente v P = x& e a P = &x& . Banalmente tale operazione richiede solo la
derivazione rispetto a t della (5). Abbiamo dunque:
& x′
v P = x& = x& O ' + R
&& x′
a P = &x& = &x& O ' + R
(6)
Tali relazioni chiudono, almeno concettualmente, l’analisi cinematica del corpo rigido. E’ però
comodo fornire delle relazioni equivalenti alle (6) ottenute sulla base di semplici considerazioni.
Si noti infatti che nelle (6) compaiono vettori le cui coordinate sono tutte espresse nel sistema di
riferimento fisso Roxyz eccezione fatta per il vettore x ′ . Esprimiamo allora quest’ultimo attraverso
la (5):
x ′ = R −1 ( x − x O ' ) = R T ( x − x O ' )
avendo utilizzato la proprietà (2) della matrice di rotazione. Sostituendo nell’espressione di v P si
ottiene:
& R T (x − x )
x& = x& O ' + R
O'
& R T matrice velocità angolare, si ha:
ponendo Ω = R
v P = x& = x& O ' + Ω (x − x O ' )
(7)
che è la formula fondamentale della cinematica scritta in forma matriciale (o tensoriale). Ad essa si
& RT è
può dare anche forma vettoriale. A tal fine si osservi che la matrice velocità angolare Ω = R
antisimmetrica ossia Ω T = −Ω . Infatti considerata la relazione (2) si ha:
RR T = I
⇒
d
(RR T ) = 0
dt
& R T + RR
&T =0
R
⇒
⇒
& T = −R
& R T ⇒ Ω T = −Ω
RR
E’ noto che il prodotto di una matrice antisimmetrica per un vettore può essere ricondotto ad un
prodotto vettoriale tra due vettori. Infatti una matrice antisimmetrica deve avere la forma:
⎡ 0
M = ⎢⎢ − α
⎢⎣− β
α
0
−γ
β⎤
γ ⎥⎥
0 ⎥⎦
Effettuando il prodotto per un vettore u si ottiene:
α
⎡ 0
M u = ⎢⎢ − α
⎢⎣− β
β ⎤ ⎧u x ⎫ ⎧ α u y + β u z ⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
γ ⎥⎥ ⎨u y ⎬ = ⎨ − α u x + γ u z ⎬
0 ⎥⎦ ⎪⎩u z ⎪⎭ ⎪⎩− β u x − γ u y ⎪⎭
0
−γ
Consideriamo ora il prodotto vettoriale tra un vettore w ed u :
i
j
w × u = wx
ux
wy
uy
⎧w y u z − w z u y ⎫
⎪
⎪
wz = ⎨ wz u x − wx u z ⎬
u z ⎪⎩ wx u z − w y u x ⎪⎭
k
e chiediamoci quali devono essere le componenti di w affinché M u = w × u . Eguagliando le
componenti dei due vettori risultanti:
⎧ α u y + β u z ⎫ ⎧w y u z − w z u y ⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎨ − α u x + γ u z ⎬ = ⎨ wz u x − wx u z ⎬
⎪− β u − γ u ⎪ ⎪ w u − w u ⎪
x
y⎭
y x⎭
⎩ x z
⎩
w y = β , wz = −α , wx = −γ
⇒
Dunque, ad una matrice antisimmetrica M , che dipende da soli tre parametri indipendenti, si può
associare un vettore w tale che M u = w × u .
Allora alla matrice velocità angolare Ω che è antisimmetrica si può associare un vettore ω tale
che:
⎧ω x ⎫
⎪ ⎪
ω = ⎨ω y ⎬
⎪ω ⎪
⎩ z⎭
⎡ 0
⎢
Ω = ⎢ ωz
⎢− ω y
⎣
− ωz
0
ωx
ωy ⎤
⎥
− ωx ⎥
0 ⎥⎦
per cui vale l’identità:
Ω (x − x O ' ) = ω × (x − x O ' )
Dalla (7) allora, posto v O ' = x& O ' , (x − x O ' ) = OP − OO' = O' P , si ottiene:
v P = v O ' + ω × O' P
(8)
che è la formula fondamentale della cinematica scritta in forma vettoriale.
Passiamo alle accelerazioni. Tornando alla (7), deriviamo rispetto al tempo:
& (x − x ) + Ω (x& − x& )
a P = &x& = &x& O ' + Ω
O'
O'
Utilizzando la (7) per esprimere la differenza di velocità contenuta nell’ultima parentesi a secondo
membro, si ha:
& (x − x ) + Ω Ω (x − x )
a P = &x& = &x& O ' + Ω
O'
O'
(9)
Questa fornisce l’accelerazione di un generico punto solidale al corpo rigido. Anche questa formula
per l’accelerazione può essere espressa in forma vettoriale:
& × O' P + ω × (ω × O' P)
a P = &x& O ' + ω
(10)
Concludiamo con alcune osservazioni.
Consideriamo un moto sferico in cui un punto C, centro del moto, è fisso con velocità
conseguentemente nulla. La (8), ove si ponga O’=C, diventa:
v P = ω × CP
Ora per tutti i punti P tali che il loro vettore di posizione CP è parallelo al vettore ω , risulta
v P = 0 . Se ne conclude che in un moto sferico tutti i punti della retta passante per C e direzione
uguale a quella di ω hanno velocità nulla. Tale asse retta prende nome di asse di istantanea
rotazione.
2.8 MOTI PIANI
Il moto è piano quando le velocità dei punti del corpo rigido sono parallele ad un piano assegnato
Π solidale al sistema di riferimento Roxyz. Da ciò segue anche che le traiettorie dei punti del corpo
si sviluppano su piani paralleli a Π . Consideriamo l’equazione (8), nella forma
v P − v O ' = ω × O' P , applicata ad un moto piano: per ogni istante t il punto P si muove su un piano
parallelo a Π , per cui il vettore O' P è parallelo a Π ; il vettore v P − v O ' è anch’esso parallelo a
Π . Se ne conclude che il vettore ω moltiplicato vettorialmente per il vettore O' P parallelo a Π
deve produrre un vettore v P − v O ' ancora parallelo a Π : ciò implica che ω deve esse ortogonale a
Π in ogni istante t. Questo significa che per i moti piani il vettore velocità angolare ha direzione
invariabile ed ortogonale al piano del moto Π (ovviamente sia il modulo che il verso possono
invece variare). Dunque per un moto piano:
v P = v O ' + ω × O ' P,
ω⊥Π
Se scegliamo il sistema di riferimento Roxyz con gli assi x y su Π , z risulta ortogonale al piano. In
tale sistema di riferimento la velocità angolare ha le seguenti rappresentazioni:
⎧0⎫
⎪ ⎪
ω = ⎨ 0 ⎬,
⎪ω ⎪
⎩ z⎭
⎡0
Ω = ⎢⎢ω z
⎢⎣ 0
− ωz
0
0
0⎤
0⎥⎥
0⎥⎦
ma
⎡cos θ
d ⎢
T
&
Ω = RR = ⎢ sin θ
dt
⎢⎣ 0
− sin θ
cos θ
0
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
⎡ cos θ
⎢− sin θ
⎢
⎢⎣ 0
sin θ
cos θ
0
0⎤ ⎡− θ& sin θ
⎢
0⎥⎥ = ⎢ θ& cos θ
1⎥⎦ ⎢⎣ 0
− θ& cos θ
− θ& sin θ
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥⎦
⎡ cos θ
⎢− sin θ
⎢
⎢⎣ 0
sin θ
cos θ
0
⎡ 0 − θ& 0⎤
& R T = ⎢θ& 0 0⎥
Ω=R
⎢
⎥
⎢ 0 0 0⎥
⎣
⎦
e dunque ω z = θ&.
Consideriamo ora l’accelerazione per il moto piano. Il termine ω × (ω × O' P) si semplifica in
2
− ω O' P . Si osservi infatti la figura sottostante che mostra l’orientamento dei vettori
ω, ω × O' P, ω × ( ω × O' P) considerando che ω ⊥ Π .
0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦
ω
Π
O' P
ω × O' P
ω × ( ω × O' P )
Dunque:
& × O' P − ω 2 O' P
a P = aO ' + ω
2.9 CAMBIAMENTO DI RIFERIMENTO PER GLI OPERATORI
Abbaiamo visto che le coordinate di un punto dello spazio dipendono dal sistema di riferimento
rispetto al quale queste sono valutate. La relazione (1) risolve il problema di correlare i due insiemi
di coordinate associate allo stesso punto P in due sistemi di riferimento diversi.
Consideriamo ora una generica matrice A ed un vettore u . Il prodotto v = Au produce un vettore
v . In definitiva, la matrice A , attraverso l’operazione di moltiplicazione matriciale, stabilisce una
corrispondenza tra il vettore u ed il vettore v , ossia una legge di associazione tra vettori nel
riferimento Roxyz. Consideriamo ora le rappresentazioni dei vettori u e v nel sistema di riferimento
R’o x’y’z’, siano esse u ′ e v ′ . Si pone allora il problema che segue: la legge di associazione tra i
vettori di Roxyz rappresentata da A , come si rappresenta nel sistema R’o x’y’z’ ? La risposta è
immediata considerando che:
v = Rv ′,
u = Ru ′,
v = Au
Sostituendo le prime due nella terza abbiamo:
Rv ′ = ARu ′
⇒
v ′ = (R T A R ) u′
Di qui risulta evidente che nel sistema R’o x’y’z’ la legge corrispondente a quella rappresentata da
A in Roxyz, è data dalla matrice A ′ = R T A R .