La valutazione delle obbligazioni File

RENDIMENTO, RISCHIO E
LIQUIDITA’ DEI TITOLI A
REDDITO FISSO
Lucidi di Marco Di Antonio
VARIABILI RILEVANTI PER
L’ANALISI DI UN TITOLO
LIQUIDITA’
RENDIMENTO
RISCHIO
VARIABILI RILEVANTI PER
L’ANALISI DI UN TITOLO
Caratteristiche
tecniche
dei titoli
Tipologia emittente
Condizioni esterne
dei mercati
LIQUIDITA’
RENDIMENTO
RISCHIO
I TITOLI A REDDITO FISSO
(obbligazioni, titoli di Stato, ecc.)
LE COMPONENTI DEL RENDIMENTO DI UN
TITOLO
• Differenza tra valore di rimborso/prezzo di vendita e
prezzo di emissione/prezzo di acquisto
• Cedole periodiche (entità e frequenza)
• Frutti del reinvestimento delle cedole
Un po’ di matematica
finanziaria

Attualizzare (capitalizzare) flussi di cassa
futuri (attuali) significa determinarne il
VALORE ATTUALE (VALORE FUTURO)
FLUSSI di CASSA
FUTURI
VALORE ATTUALE
Tasso di attualizzazione
FLUSSI di CASSA
ODIERNI
Tasso di capitalizzazione
6
Il valore della moneta nel tempo
• Il concetto di valore attuale (o di
attualizzazione) è basato sulla nozione
secondo la quale 1 euro di flusso di cassa
che ci verrà pagato fra un anno avrà meno
valore di 1 euro pagatoci oggi.
• Tale nozione è innegabile, perché se
depositiamo 1 euro in un conto di risparmio
che frutta interessi, fra un anno otterremo 1
euro più gli interessi.
Mishkin, Eakins, Istituzioni e
mercati finanziari, 3/ed.
7
Valore Attuale e I tassi di interesse
• Come trovare i tassi di attualizzazione o di
capitalizzazione?
• Diverse modalità di esposizione a seconda di:
– Periodo di riferimento: anno (solitamente), semestre,
mese, ecc.
– Frequenza di pagamento degli interessi: Mensile
semestrale, annuale..
– Modalità di capitalizzazione: semplice vs. composta
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Capitalizzazione semplice vs composta
• Un flusso di cassa in uscita (C0=:capitale) e in
entrata (Mt:montante);
• t = durata del contratto
- C0
• In regime di capitalizzazione semplice:
Mt
C0 
( 1  rt )
+ Mt
M t  C 0 ( 1  rt )
• In regime di capitalizzazione composta:
C0 
Mt
(1  r )
M t  C0 ( 1  r )
t
9
t
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
10% Semplice
30
27
24
21
18
15
12
9
6
10% Composto
3
0
Valore futuro di $1
La potenza della
capitalizzazione
Numero di anni
10
Il potere della capitalizzazione:
quanto diventa 1 euro in 10 anni? Al 7%
raddoppia!
11
Il valore attuale in regime di
capitalizzazione composta
• Prestando oggi 100 euro a un tasso di interesse
del 10%, gli importi che avreste alla conclusione di
ogni anno possono essere visualizzati secondo lo
schema seguente:
12
Tasso percentuale annuo
Il tasso percentuale annuo (TPA o APR) (o
anche tasso nominale o contrattuale)
• Indica l’ammontare dell’interesse semplice
ottenuto in un anno
• Non considera l’effetto della capitalizzazione.
Es. Se investo per due anni 100 a un TPA = 5% al
termine dei 2 anni ottengo
110 (sarebbe 110,25
13
con capitalizzazione)
Tasso effettivo annuo
• Il tasso annuo effettivo (TAE)
– Indica il totale degli “interessi percepiti” alla fine
di un anno, dato l’investimento iniziale
– Considera l’effetto della capitalizzazione
• È indicato anche come rendimento annuo
effettivo (RAE) o rendimento percentuale annuo
Esempio: investo 100 e ottengo dopo 1 anno
105
TAE = (105-100)/100 =(105/100 )-1= 5%
14
TPA e TAE
• Quando ci si riferisce ad un unico periodo
e gli interessi vengono pagati al termine
del periodo TPA e TAE coincidono.
Es. se investo 100 a TPA del 5% per un
anno, ottengo 105 e cioè un TAE 5%
(100= 105/(1+TAE))
• Se invece vi è capitalizzazione
infraperiodale, allora15il TPA non può
essere usato come tasso di sconto.
Come passare dal TPA al TAE
• Ottenere un TPA del 5% con pagamento
degli interessi ogni 6 mesi è uguale a
ricevere il 2,5% ogni sei mesi (con
capitalizzazione)
MA
• non equivale a ricevere un rendimento
(TAE) annuo del 5%.
In tal caso infatti il M = 100 x (1,025)2= 105,06 (e non 105)
16
Adeguamento del tasso di sconto a
diversi periodi temporali
Dato TPA 5% capitalizzato 2 volte l’anno (k)
VF = 100 x (1,025)2= 105,06
Dove 1,025 = 1 + TPA/2
quindi
VF = 100 x (1+ TPA/2) 2
17
Conversione del TPA nel TAE (continua)
• Se il TPA è capitalizzato per k>1 volte, per
valutare il tasso di interesse effettivamente
ottenuto per ogni periodo bisogna
k
convertire il TPA in TAE:
TPA 

1  TAE  1 


k 
Nel nostro esempio:
(1 +0,025)2 – 1= 1,05060 – 1 = 5,06%
18
Conversione del TPA nel TAE(continua)
• Dato un certo TPA, il TAE aumenta all’aumentare della
frequenza della capitalizzazione.
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Conversione del TPA nel TAE - Esempio
• Un deposito bancario offre un TPA del 3%
con pagamento degli interessi semestrali.
Che rendimento effettivo ottengo al termine
di ciascun anno?
TAE= (1+ 3%/2)2-1 = 3,023%
20
GLI INDICATORI DI RENDIMENTO: titoli a
cedola nulla
• Rendimento semplice
M = Co x ( 1 + it )
i = [ (M / Co ) – 1 ] X (1 / t )
i = [ (PV / PA ) – 1 ] X (365 / gg )
UN ESEMPIO
Bot trimestrale (92 gg) emesso a p =
99,02
i = ( (100 / 99,02) – 1) x 365 / 92
Tassazione: 12,5% x I = 0,125 x (100 –
99,02) = 0,125 x 0,98 = 0,1225, da
sommare a 99,02 per determinare il
rendimento netto
GLI INDICATORI DI RENDIMENTO: titoli a
cedola nulla (segue)
• Rendimento composto
t
M = Co x ( 1 + i )
1/t
i=
(M / Co ) – 1
365/gg
i=
(PV / PA ) – 1
Obbligazioni zero-coupon e
Rendimento alla scadenza
• Generalizzando, il rendimento alla scadenza di
un’obbligazione zero–coupon:
YTM n
 VF 
 

P


1
n
 1
Esempio: prezzo di acquisto 94,5, durata 3
anni 3
YTM = √(100/94,5) -1 = 1,9%
Esempio: prezzo di acquisto 99, durata 120 giorni
24
YTM = (100/99)360/120 -1=3,06%
Esercizio – Calcolo del rendimento
Quale dei due strumenti è più conveniente?
Tipologia
Bot
Bot
Durata
3 mesi (90 gg)
12 mesi (360 gg)
Prezzo di aggiudicazione
98,6
94
25
Esercizio - Soluzione
• BOT trimestrale
 100 
r 

 98,6 
360
90
 1  5,80%
• BOT 12 mesi
100
r
 1  6,38%
94
26
GLI INDICATORI DI RENDIMENTO:
titoli con cedola
§ Tasso di rendimento nominale – TRN
 cedola / valore nominale
 non tiene conto di: entità del capitale investito,
frequenza delle cedole, vita residua del titolo
§ Tasso di rendimento immediato – TRI
 cedola / prezzo
 non tiene conto di: guadagni/perdite in conto capitale,
frequenza delle cedole, vita residua del titolo
§ Tasso di rendimento effettivo a scadenza
 vedi slide successiva
 sì !!!
TRES
• E’ il tasso di sconto che, in regime di capitalizzazione
composta, rende uguale il prezzo tel quel del titolo ala
somma dei valori attuali dei flussi di cassa futuri
• Es.: BTP; scadenza 2 anni; P = 100; cedola semestrale: 6
• TRES = 12,36%
Semestre
1
2
3
Flussi di
cassa
6
6
6
4 Totale
106
0,5
1
1,5
2
Valori attuali
(calcolo)
6 / (1+i) 6 / (1+i) 6 / (1+i) 106/ (1+i)
Valori attuali
(risultato)
5,66
5,34
5,04
83,96
100
100
IL TRES, IL MIGLIORE
INDICATORE
PREGI
LIMITI
- considera tutti i flussi di
pertinenza del titolo
- tiene conto della
scadenza di ogni flusso
- tiene in considerazione
il prezzo di acquisto
- evidenzia la logica
utilizzata dal mercato
per prezzare il titolo
- ipotizza un tasso di
reinvestimento delle
cedole costante e pari al
TRES stesso
- ipotizza la detenzione
del titolo fino a scadenza
-ipotizza assenza di
rischio di default
Prezzo di obbligazioni con
cedole
• Il flusso cedolare è assimilabile a una
rendita

1 
1
VF
P  C PN 

1 
N 
y 
(1  y ) 
(1  y ) N
P= prezzo o Valore attuale
30
y = R = rendimento a scadenza
LE DETERMINANTI DEL TASSO
DI INTERESSE
• Tasso di interesse reale – riflette le preferenze
intertemporali del consumo degli agenti economici
(maggiore è la preferenza per il consumo attuale rispetto
a quello futuro, maggiore è il tasso di interesse)
• Inflazione
• Rischio di insolvenza
• Rischio di liquidità
• Vita residua (vedi struttura per scadenza dei tassi di
interesse o curva dei rendimenti)
• Speciali clausole contrattuali (es. regime fiscale;
convertibilità  tasso più basso; facoltà di rimborso
anticipato dell’emittente  tasso più alto)
Interesse e “valore temporale del
denaro”: un inciso storico
Al cuore della controversia sull’usura e il profitto stava la
concezione del tempo.
I mercanti affermavano che “il tempo è denaro”. Il tempo, la
sua disponibilità, il suo uso efficiente, erano fattori critici
per gli affari. Il tempo quindi era scarso e aveva un
valore economico.
Al contrario, la Chiesa sosteneva che il tempo appartiene a
Dio, è un dono che Egli fa all’uomo perché questi lo usi
per guadagnarsi la salvezza eterna. Impadronendosi del
tempo, i mercanti, i banchieri, i proprietari terrieri e gli
imprenditori usurpavano l’autorità di Dio.
Infatti, l’usuraio non vende al debitore nulla che gli
appartenga. Gli vende il tempo, che appartiene a Dio. E
perciò non può realizzare un profitto vendendo la
proprietà di un altro.
Inflazione:
Differenza fra tassi di interesse reali e
nominali
– Tasso di interesse nominale: tasso quotato
dalle istituzioni finanziarie e usato per lo
sconto o la capitalizzazione di flussi di cassa
– Tasso di interesse reale: tasso di crescita
del potere di acquisto, corretto per l’inflazione
1. Il tasso di interesse reale riflette più esattamente
l’effettivo costo di un prestito
2. Quando il tasso di interesse reale è basso, vi sono
notevoli incentivi nel prendere in prestito e pochi
motivi per prestare
33
Inflazione e tassi di interesse
crescita del potere di acquisto  1  rr 
• Tasso di interesse reale
rr 
r  i
1  i
 r  i
34
1  r
crescita nominale

1  i
crescita dei prezzi
L’indicizzazione
• REALE  gli interessi e/o il capitale sono
agganciati ad un indice dei prezzi. Protegge il
creditore dai rischi di perdita di potere di acquisto
della moneta
• FINANZIARIA gli interessi sono agganciati a
tassi di mercato opportunamente scelti. Protegge
il creditore dal rischio di variabilità dei tassi
• VALUTARIA – Gli interessi e/o il capitale sono
agganciati al valore di una valuta straniera o di un
paniere di valute. Protegge il creditore dal rishcio
di svalutaizone relativa della moneta interna.
La curva dei rendimenti (yield
curve)
• Teoria delle aspettative (Fisher, 1930)
• Teoria della preferenza per la liquidità
(Hicks, 1946)
• Teoria della segmentazione del mercato
La curva dei rendimenti: forma e
variazioni
FORME
- Crescente
- Decrescente
- A gobba (humped)
MOVIMENTI
- Traslazione parallela (parallel shift)  tutti i rendimenti si
muovono dello stesso ammontare; la curva non cambia né
forma né inclinazione
- Rotazione (twist)  es. i rendimenti a breve aumentano i
maniera proporzionalmente maggiore dei rendimenti a
lungo
- Ingobbimento (butterfly)  es. i rendimenti crescono fino a
una certa scadenza e poi diminuiscono
QUAL E’ “OGGI” LA CURVA DEI TASSI?
Yield Curve (Italy)
7.0
6.0
26/02/2013
5.0
3.0
2.0
1.0
6M1Y 2Y 3Y
5Y
10Y
Now
38
15Y
One Week Ago
20Y
One Month Ago
30Y
One Year Ago
© Tullett Prebon Inf ormation
Yield (%)
4.0
CURVE DEI TASSI
• Yield to maturity  correla tassi e scadenze dei titoli
• Yield to duration  correla tassi e duration
• Zero coupon curve (term structure)  correla tassi e
scadenze di titoli zcb. E’ la curva più importante, che serve
per determinare i prezzi dei titoli (anche quelli cedolari): il
fair price di un titolo con cedola non è calcolato come
sommatoria dei flussi cedolari attualizzati per un unico
tasso rappresentativo della scadenza, ma trattando ogni
flusso come se fosse il valore nominale di uno zcb e
scontandolo per il tasso corrispondente alla scadenza del
flusso e ricavato dalla ZCC.
Siccome nel mercato gli zcb esistono solo per scadenze brevi
e per i titoli di mercato monetario (i BOT arrivano al
massimo a 12 mesi e i CTZ a 24), la curva viene costruita
stimandola con il metodo del bootstrapping.
N.B.: solo se vale la teoria delle aspettative, è possibile
estrapolare dalla ZCC i rendimenti uniperiodali futuri
(forward) impliciti nella curva; se sono vere le altre teorie,
ciò non è possibile
Durata del contratto:
La curva dei rendimenti e i tassi di sconto
• Struttura a termine: la relazione tra la
durata dell’investimento e il tasso di
interesse
• Curva dei rendimenti: grafico che
rappresenta la struttura a termine
40
IL BOOTSTRAPPING
TITOLO
SCADENZA
(anni)
BOT 6 mesi
TASSO DI
RENDIMENTO
0,5
3,12%
BOT 12 mesi
1
3,17%
CTZ 18 mesi
1,5
3,21%
CTZ 24 mesi
2
3,26%
Se sul mercato esiste un titolo
(es. BTP) con scadenza: 30
mesi (2,5 anni); prezzo tel quel:
100,52; cedola semestrale:
1,75….
… Qual è il tasso
ZCB per la
scadenza 2,5 anni
?
I TASSI FORWARD IMPLICITI NELLA CURVA DEI
RENDIMENTI
Prezzi di ZCB di valore nominale pari a 100:
ZCB 1 anno: 96,154
ZCB 2 anni: 90,703
Rendimenti a pronti (spot):
ZCB 1 anno  96,154 = 100 / (1 + x )  x = 4%
ZCB 2 anni  90,703 = 100 / (1 + x )²  x = 5%
Tasso forward a un anno implicito nella curva dei tassi spot:
1,05² = 1,04 x (1 + x)
x = (1,1025 / 1,04) – 1
x = 6%
TASSI FORWARD IMPLICITI NELLA CURVA
DEI RENDIMENTI e TASSI ATTESI
• Nella realtà gli investitori chiedono un premio per investire in
titoli a scadenza protratta (teoria della preferenza per la
liquidità)
• In tal caso, i tassi a termine (forward) ricavati dalla curva dei
tassi per scadenza (tassi forward impliciti nella curva dei
rendimenti) non rappresentano più i tassi futuri attesi (short
future rate).
• Ad es., se il tasso futuro atteso per il secondo anno è 6%,
come nell’esempio della slide precedente, ma per investire
su uno zcb a 2 anni gli investitori chiedono un premio di 50
basis point, lo zcb a 2 anni sul mercato rende il 5,5%
anziché il 5%.
• Se applico la formula 1,055 = 1,04 x (1+x) ottengo come
risultato il 7% ! Questo è il tasso forward implicito,ma NON è
il tasso futuro atteso (che è 6%); è più alto perché riflette il
premio di liquidità.
LA LIQUIDITA’
• Il grado di liquidità di uno strumento
finanziario (di un asset in generale) riflette
la sua idoneità ad essere convertito in
contante TEMPESTIVAMENTE ed
ECONOMICAMENTE
• In normali condizioni di mercato, esiste
una relazione inversa tra grado di liquidità
e rendimento
LA LIQUIDITA’
• LIQUIDITA’ NATURALE – si forma in maniera
prestabilita a seguito del pagamento degli
elementi di remuneraizone periodica e del
rimborso delle quote capitale
• LIQUIDITA’ ARTIFICIALE – deriva dalle
operazioni di smobilizzo realizzate
dall’investitore; es. vendita a titolo definitivo, o
con impegno di riacquisto a termine (pronti
contro termine) oppure cessione in pegno; è
aleatoria e legata a fattori di mercato
LE DETERMINANTI DELLA LIQUIDITA
• SCADENZA / DURATA RESIDUA
• NATURA GIURIDICA DELLO STRUMENTO (azioni meno liquide di
obbligazioni)
• NATURA DELL’EMITTENTE (sua solvibilità)
• STATUS GIURIDICO DEL TITOLO (nominativo, al portatore, clausole di
gradimento…)
• TAGLIO UNITARIO
• VALUTA DI DENOMINAZIONE (diffusione della valuta, vincoli
valutari…)
• GRADO DI EFFICIENZA DEL MERCATO (volumi degli scambi,
continuità delle negoziazioni, numerosità operatori, trasparenza prezzi,
esistenza market maker…)
• ESISTENZA DI FACILITAZIONI DI CREDITO A VALERE SULLA
GARANZIA DEI TITOLI (pronti contro termine, riporto, anticipazione su
titoli…)
• CONDIZIONI CONGIUNTURALI DELL’ECONOMIA
• POLITICHE DI SOSTEGNO DEI COSRI DA PARTE DELL’EMITTENTE
GLI INDICATORI DI LIQUIDITA’
ELEMENTARI
• Durata nominale
• Durata residua
PIU’ SOFISTICATI
• Vita media probabile
• Vita media matematica
COMPLETI
• Durata media ponderata
• Duration
IL RISCHIO: questions
A) COS’ E’ ?
B) DA COSA DIPENDE ?
IL RISCHIO: answers
A) Variazione tra rendimento ex post e
rendimento atteso ex ante
B) Deriva dalle componenti di
rendimento aleatorie:
 Reinvestimento interessi (rischio di
reinvestimento)
 Variazioni in conto capitale (rischio
di prezzo)
LE COMPONENTI DEL RENDIMENTO DI UN
TITOLO
• Prezzo di emissione o di acquisto
 certo, così come lo scarto di emissione (rispetto al
valore nominale/di rimborso)
• Valore di rimborso o prezzo di vendita
 valore di rimborso certo, prezzo di vendita aleatorio
(guadagni o perdite in conto capitale aleatori)
• Entità e frequenza delle cedole periodiche
 entità certa per titoli a cedola fissa, aleatoria per titoli a
cedola variabile
• Frutti del reinvestimento delle cedole
 aleatori
RISCHIO E TASSI
• Il prezzo di un’obbligazione può variare
per molte cause:
- Alcune specifiche (merito di credito
dell’emittente)
- Altre generiche / di mercato (crisi di
liquidità e soprattutto variazione dei tassi
di interesse di mercato)
CONFRONTO
Il rischio di credito è:
• normalmente più rilevante;
MA:
• diversificabile
• meno frequente (mentre al contrario i tassi
di mercato cambiano molto
frequentemente)
• più difficilmente gestibile con modelli
matematici e di più difficile stima (dipende
da molte variabili)
INDICATORI DI RISCHIO
INDICATORE COMPLESSIVO - RISCHIO
COMPLESSIVO (derivante da tutti i fattori
di rischio): scarto quadratico medio della
distribuzione dei rendimenti (volatilità)
INDICATORE PARZIALE - RISCHIO DI
MERCATO (derivante dalla variazione dei
tassi di interesse): duration
RISCHIO TASSO E
CARATTERISTICHE DEI TITOLI
Titolo senza
cedola (ZCB)
Rischio di
reinvestimento
cedole
Rischio prezzo
0
Max
Max
Titolo a
indicizzazione
perfetta
0
Titolo a cedola Effetto medio >0 Effetto medio < 0
fissa
Effetto medio < 0 Effetto medio > 0
IL RISCHIO PREZZO (capital gain /
loss)
La relazione tra andamento dei tassi e
prezzo dei titoli è inversa.
La sua intensità (a parità di variazione dei
tassi) dipende da:
- Scadenza / durata residua
- Direzione delle variazioni
- Importo delle cedole
La relazione prezzo-tasso nei titoli a reddito
fisso
PREZZO
TASSO
Nei titoli con cedola a tasso fisso il valore della cedola e
il valore di rimborso sono definiti
All’aumentare dei tassi di interesse si eleva il valore a cui attualizzo e
il prezzo di mercato diminuisce: esiste una relazione INVERSA tra prezzo
(valore di mercato) e tasso di interesse
56
RELAZIONE INVERSA
1/1 ore 8.00
Emissione titolo annuale con p e valore di
rimborso pari a 100; TRES: 10%; cedola
pagata alla scadenza di 10 euro
1/1 ore 8.01
Ipotesi A)  i tassi di mercato salgono dal
10 al 15%  P del titolo ?
Ipotesi B)  i tassi di mercato scendono dal
10 al 5%  P del titolo ?
1. DURATA / VITA RESIDUA
1/1 ore 8.00
• Titolo a 1 anno, rendimento 10%, prezzo
100, cedola annuale, valore di rimborso
100 + 10 (cedola)
• Titolo a 2 anni, rendimento 10%, prezzo
100, cedola biennale (è uno ZCB), valore
di rimborso 100 + 21 (cedola)
1/1 ore 8.01
Aumento dei tassi di mercato dal 10 al 20%
2. SEGNO DELLA VARIAZIONE
1/1 ore 8.00
• Titolo a 1 anno, rendimento 20%, prezzo 100,
cedola annuale, valore di rimborso 100 + 20
(cedola)
1/1 ore 8.01
Ipotesi A: aumento dei tassi di mercato dal 20 al
25% (+ 500 basis points)
Ipotesi B: diminuzione dei tassi di mercato dal 20
al 15% (- 500 basis points)
SEGNO DELLA VARIAZIONE (2)
1/1 ore 8.00
• Titolo a 1 anno, rendimento 20%, prezzo 100,
cedola annuale, valore di rimborso 100 + 20
(cedola)
1/1 ore 8.02
Ipotesi A: aumento dei tassi di mercato dal 25 al
30%
Ipotesi B: diminuzione dei tassi di mercato dal 15
al 10%
PERCHE ?
CONVEXITY

Relazione non lineare tra
variazione del tasso di
interesse e variazione del
prezzo
3. IMPORTO DELLA CEDOLA
Prezzo
31/12/11
31/12/12
100
10
110
100
0
121
Confronta 2 titoli con rendimento del 10% e durata
biennale
Cosa succede se i tassi di mercato salgono dal 10 al
20% ?
IMPORTO DELLA CEDOLA
• A parità di vita residua e di TRES, le
oscillazioni di prezzo sono maggiori quanto
minore è l’importo della cedola
LA DURATION
• E’ un indicatore di rischio di mercato (volatilità dei prezzi
dovuta alla variazione dei tassi di interesse) che
sintetizza le caratteristiche di scadenza e di distribuzione
dei flussi cedolari
• E’ espressa in unità di tempo (anni, giorni)
• Misura la sensibilità istantanea del prezzo di un titolo
obbligazionario rispetto a variazioni dei rendimenti di
mercato
• E’ la media aritmetica delle scadenze dei flussi di un
titolo, dove ogni scadenza viene ponderata in base al
rapporto tra valore attuale del flusso in maturazione a
quella scadenza e il prezzo del titolo (la somma dei
valori attuali di tutti i flussi)
DURATION: FORMULA
k
=
tK x
FCK /(1 + i)
P
CALCOLO DELLA DURATION
Prezzo = 100; cedole = 6; TRES = 12,36%
tK
0,5
1
1,5
2
FC
6
6
6
106
VA
5,66
5,34
5,04
83,96
VA / P
0,0566 0,0534 0,0504
tx(VA/P) 0,0283 0,0534 0,0756
TOT
100
0,8396
1,6792 1,8365
LA DURATION: caratteristiche e
determinanti
A parità di altri fattori la duration è più alta:
• all’aumentare della vita residua del titolo
• al diminuire della cedola
• al diminuire del TRES
Inoltre:
• Per i titoli zcb la D è pari alla vita residua, negli altri casi
è inferiore
Inoltre:
• La duration è additiva: quella di un portafoglio di titoli
rappresenta la media ponderata della duration dei singoli
titoli, con ponderazioni che riflettono la proporzione di
ciascun titolo sul totale del portafoglio
LA RELAZIONE TRA VARIAZIONE DI
PREZZO, DURATION E TASSI
La relazione tra variazione del corso (P), D e variazioni nel
rendimento di mercato (i) è:
∆ P = - (P x DM x ∆i)
Oppure:
∆ P / P = - DM x ∆i

• E’ una relazione inversa: aumenti del rendimento di mercato
si ripercuotono negativamente sul P del titolo
• Non è un’eguaglianza ma una approssimazione: la relazione
è tanto più vera quanto più contenuti sono le variazioni di i
Relazione Prezzo-Duration (Modificata)
D
P  
rP
1 r
P
P
r
r
Per piccole variazioni del tasso, la duration è una buona
proxy della conseguente variazione dl prezzo. Altrimenti
70
bisogna
misurare anche la convessità
LA DURATION MODIFICATA
DM = D / (1 + TRES)

Può essere impiegata per stimare le variazioni nel corso
dei titoli in seguito alle variazioni nei rendimenti di
mercato
La relazione tra variazione del corso (P), DM e variazioni
nel rendimento di mercato (i) è:
∆ P / P = - DM x ∆i
IL GRADO DI STIMA DELLA
DURATION MODIFICATA
ZCB 2 anni, TRES = 10%, P= 100; valore
rimborso: 121
DM = 2 / 1,10 = 1,818
Ipotesi A: aumento i da 10% a 11%
A1) ∆ P / P = - DM x ∆i = - 1,818 x 1% =
- 1,818%; cioè P = 100 – 1,818 = 98,182
A2) Calcolo con DCF  121 / (1,11)² = 121 /
1,23121 = 98,206 > 98,182
IL GRADO DI STIMA DELLA
DURATION MODIFICATA (2)
ZCB 2 anni, TRES = 10%, P= 100; valore rimborso:
121
DM = 2 / 1,10 = 1,818
Ipotesi B: aumento i da 10% a 15%
B1) ∆ P / P = - DM x ∆i = - 1,818 x 5% =
- 9,09 %; cioè P = 100 – 9,09 = 90,91
B2) Calcolo con DCF  121 / (1,15)² = 121 / 1,3225
= 91,49 >> 90,91
LA CONVESSITA’
E’ la media ponderata delle scadenze dei flussi (tk)
sommate al loro quadrato (tk ²), con ponderazione basata
sui valori attuali dei singoli flussi in rapporto al prezzo del
titolo (gli stessi pesi della duration)

C = ∑ ( tk + tk ² ) x pesi

• C misura la distribuzione temporale dei flussi intorno al
loro “baricentro” (la duration);
• è tanto maggiore quanto più i flussi sono lontani dalla D
(es. all’inizio e alla fine della vita del titolo);
• è minima per gli ZCB, che hanno un solo flusso che ha
scadenza pari alla duration;
• la presenza dei valori al quadrato tk ² aumenta
l’incidenza sul risultato finale delle scadenze più lontane
RAPPORTO TRA CONVEXITY E
DURATION
2
C=D+D+M
2
2
dove M è la varianza dei periodi di
scadenza dei flussi, che è un fattore
esplicativo della convessità
2
2
M = ∑ (tk – D) x pesi
D&C
Durata residua: 5 anni; cedola fissa annua: 5%; p di emissione: 100;
TRES: 5%
tk
(a)
TOT
D&C
tk ²
(b)
(tk+ tk²)
Flussi
(c)=(a)+(b) (d)
Val att
(e)
Duration
(f)=(a)x(e)
Convess.
(g)=(c)x(e)
1
1
2
5
4,762
4,762
9,524
2
4
6
5
4,535
9,070
27,211
3
9
12
5
4,319
12,958
51,830
4
16
20
5
4,114
16,454
82,270
5
25
30
105
82,270
411,351
2.468,107
100,000
454,600
2.638,943
4,5460
26,389
UNA MIGLIORE STIMA DELLA VARIAZIONE DI
PREZZO, che include anche la convessità
∆ P / P = - DM x ∆i + C / (1 + i )² x ∆i ² / 2
IMMUNIZZAZIONE
• E’ possibile “immunizzare” il tasso di
rendimento atteso dall’investimento, cioè
ottenere con certezza il rendimento
previsto, acquistando titoli la cui duration è
pari al periodo di detenzione dell’attività,
cioè all’orizzonte dell’investimento
IMMUNIZZAZIONE (2)
Curva di
capitalizzazione
(montante) dopo
lo shock
Ct,
Co
effetto p
Curva di
capitalizzazione
(montante) prima
dello shock
>
effetto
reinvestimento
effetto p
Shock
di
tasso
<
effetto
reinvestimento
Tempo
Duration
Scadenza
UN ESEMPIO
• Acquisto l’1/1 uno ZCB a 2 anni con tres 10%, p=100 e valore di
rimborso 121
• Subisco uno shock di tasso l’1/1, con i tassi che salgono dal 10% al
20%
• Se vendo l’1/1 incasso la perdita (sono nell’area di sinistra del grafico
precedente, con holding period < duration): il p di vendita è 84,03
(cioè 121 / 1,44)
• Se vendo il 31/12 perdo ancora, ma meno: vendo a 100,83 (cioè 121 /
1,20, il valore di mercato dello ZCB a vita residua di un anno) e
ottengo un rendimento del (100,83 / 100) – 1 = 0,008, che è positivo,
ma minore del rendimento previsto (10%)
• Se attendo il rimborso dello ZCB a scadenza ottengo 121, con un
rendimento pari a √(121 / 100) -1 = 0,10, che è il rendimento previsto
• Se reinvesto 121 in un altro ZCB biennale di nuova emissione,
emesso ai nuovi tassi2di mercato del 20%, quindi con p di rimborso
pari a 121 (1 + 0,20) = 174,24, ottengo alla fine del quarto anno
174,24, con un rendimento pari a circa il 15%, cioè maggiore del 10%
previsto (sono nell’area destra del grafico, con holding period >
duration)
SPECULAZIONE
• Aspettative di rialzo dei tassi (non
“scontate” dal mercato)  compra titoli
con duration < del periodo di detenzione
• Aspettative di ribasso dei tassi (non
“scontate” dal mercato)  compra titolo
con duration > del periodo di detenzione
LA FORMULA DI BABCOCK
La relazione tra il rendimento effettivo di periodo di
un titolo (i h) e il tasso di rendimento atteso (i)
può essere così approssimata:
ih = i + ( 1 – (D / H ) ) x ∆i
Dove D è la duration del titolo, H il periodo di
detenzione del titolo, ∆i la variazione inattesa
dei tassi di mercato e quindi del TRES del titolo
Se D = H  ih è indipendente da ∆i (e quindi = a i)
Se D > H  ih è inversamente correlato a ∆i
Se D < H  ih direttamente correlato a ∆i
I LIMITI DELL’IMMUNIZZAZIONE
• Ripetitività degli shock di tasso
• Modifica della duration in conseguenza di eventi
finanziari intrinseci al titolo (stacco cedola:
duraton drift)
• Variazioni dei rendimenti di mercato non
simmetriche (es. diverse variazioni di tassi a
breve, rilevanti per reinvestimento cedole, e di
tassi a lunga, utilizzati per la valutazione dei
prezzi dei titoli a lunga scadenza)

Necessità di gestione dinamica del portafoglio e di
immunizzazione dinamica
INVECE…ATTENZIONE AI LUOGHI
COMUNI…
• Se voglio ridurre il rischio di tasso, compro
un titolo indicizzato  No ! Così si riduce il
rischio di prezzo, non il complessivo rischio di
tasso (cioè il rischio dell’investimento)
• Se vi sono aspettative di rialzo (ribasso) dei
tassi, compro titoli a cedola indicizzata
(cedola fissa) e/o a breve scadenza (lunga
scadenza)  No ! Tutto il mercato lo fa ! Quindi
il prezzo dei titoli a cedola indicizzata/breve
scadenza (cedola fissa/lunga scadenza) sale e il
loro TRES scende