Esercizi. - Matematica e Informatica

Esercizi di Algebra 1
Corso di Laurea in Matematica
18 Dicembre 2015
1) Siano a, b ∈ R, a ̸= 0. Consideriamo la seguente applicazione
φa,b : R −→ R
definita da
∀x ∈ R.
φa,b (x) = ax + b,
a) Dimostrare che φa,b è biunivoca;
b) Dimostrare che S = {φa,b | a, b ∈ R, a ̸= 0} è un gruppo rispetto l’usuale operazione di composizione.
2) Sia G = GL2 (R) = {A ∈ M2 (R) | detA ̸= 0} il gruppo lineare generale reale.
a) G è un gruppo abeliano?
{(
)
}
a b
Sia H =
∈G|b+d=a .
0 d
b) Dimostrare che H ≤ G;
c) Provare che H è un gruppo abeliano;
d) Determinare tutti gli elementi di H di periodo 2.
3) Sia G = GL(2; R) il gruppo generale lineare di grado 2 sui numeri reali. Si ponga
{(
)
}
a b
H=
| a, b, d ∈ R, ad ̸= 0 .
0 d
a) Dimostrare che H ≤ G;
b) H G?
{(
Sia
N=
1
0
b
1
)
}
|b∈R .
c) Dimostrare che N H;
d) Dimostrare che il gruppo quoziente H/N è abeliano;
Sia
f : H/N → G
(
definita da
f(
a
0
b
d
)
(
N) =
a
0
0
d
)
N.
e) Dimostrare che f è un’applicazione;
f) Dimostrare che f è un momomorfismo di gruppi.
4) Sia G un gruppo ciclico di ordine 21. Determinare i generatori e i sottogruppi di G.
5) Sia Z3 il gruppo additivo delle classi resto modulo 3 e sia C4 =< i > il gruppo moltiplicativo delle radici
quarte dell’unità. Si consideri il gruppo prodotto diretto G = Z3 × C4 .
a) Determinare l’ordine di G e scrivere esplicitamente tutti i suoi elementi;
b) Verificare che G è ciclico;
c) Determinare tutti i generatori di G;
d) Determinare tutti i sottogruppi di G. G possiede sottogruppi di ordine 5? Perchè? G possiede due
sottogruppi di ordine 4? Perchè?
e) Che relazione esiste tra G e il gruppo additivo delle classi resto modulo 12, Z12 ?
f) Dimostrare che l’applicazione
f : Z12 −→ Z12
definita da
f ([a]) = 3[a], [a] ∈ Z12
è un omomorfismo di gruppi;
g) Calcolare Ker{f}. Per un opportuno naturale n, Ker{f} è isomorfo al gruppo ciclico dele classi resto
modulo n, Zn ? Per un opportuno naturale n, Ker{f} è isomorfo al gruppo simmetrico Sn ?
h) Determinare, a meno di isomorfismi, il gruppo quoziente Z12 /Ker{f}.
6) Si consideri Z15 il gruppo delle classi resto modulo 15 e si definisca
f : Z15 −→ Z15
ponendo f ([a]) = [2a], ∀ [a] ∈ Z15 .
a) Dimostrare che f è un’applicazione;
b) Dimostrare che f è biunivoca.
Sia G = S(Z15 ) il gruppo di tutte le applicazioni biunivoche di Z15 in sè stesso.
c) Calcolare il periodo di f come elemento di G;
d) Determinare il sottogruppo H generato da f in G, H =< f >;
e) Calcolare tutti i generatori di H;
f) Determinare tutti i sottogruppi propri di H.
7) Sia (Z, +) il gruppo additivo degli interi. Si consideri il gruppo additivo prodotto diretto di Z per Z,
(Z × Z, +). Si ponga G = Z × Z. Sia
H = {(x, y) ∈ G | 12/x}.
a) Dimostrare che H è sottogruppo di G ed è normale in G;
Si consideri il seguente elemento di G/H:
a = (2, 3) + H.
b) Calcolare il periodo di a in G/H;
c) Determinare il sottogruppo ciclico generato da a in G/H, < a >;
d) Determinare tutti i generatori di < a >;
e) Determinare tutti i sottogruppi propri di < a >.
8) Determinare, a meno di isomorfismi, tutti i gruppi quozienti del gruppo (Z12 ; +).
9) Siano (C; +), (R; +) e (Z; +) i gruppi additivi rispettivamente dei complessi, dei reali e degli interi. Si
definisca
f : C → R/Z
ponendo
f (a + bi) = a + Z, ∀ a + bi ∈ C.
a)
b)
c)
d)
Dimostrare che f è un omomorfismo surgettivo di gruppi;
Calcolare Ker{f}. Ker{f} è un insieme finito?
Che relazione esiste tra i gruppi C/Ker{f} e R/Z?
Calcolare in R/Z il periodo delle immagini mediante f dei seguenti elementi di C:
1 √
3 + i, , 2 + 3i;
2
e) Determinare un sottogruppo K di C strettamente compreso tra C e Ker{f}. K è normale in C?
10) Si considerino in S6 i cicli x = (1256) e y = (34)(1256).
a) Determinare i sottogruppi < x > e < y >;
b) Provare che x e y commutano;
c) Determinare il sottogruppo G =< x, y >, il suo ordine e descrivere i suoi elementi. Osservare,
motivandolo, che G è abeliano.
11) Si consideri il gruppo G = {(a, b) | a, b ∈ R, a ̸= 0} rispetto la seguente operazione:
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + b).
a)
b)
c)
d)
e)
Determinare l’elemento neutro e l’inverso di un elemento;
Verificare che H = {(1, c) | c ∈ R} è un sottogruppo normale di G;
Determinare gli elementi della classe laterale (a, b) ∗ H;
Determinare gli elementi periodici di G/H;
Costruire un isomorfismo tra G/H e il gruppo moltiplicativo R∗ dei numeri reali non nulli.
(
12) Si considerino in GL2 (Z8 ) le matrici X =
a)
b)
c)
d)
1 0
0 5
)
(
eY =
1
2
0
5
)
.
Verificare che XY = Y X;
Determinare i sottogruppi H =< X > e K =< Y >;
Determinare G = HK e spiegare perchè G è sottogruppo di GL2 (Z8 );
Provare perchè in G non possono esserci elementi di periodo 8.
13) Sia G = R∗ × R∗ × R. Deefiniamo in G la seguente operazione: ∀(x, y, z), (x′ , y ′ , z ′ ) ∈ G
(x, y, z) ∗ (x′ , y ′ , z ′ ) = (xx′ , yy ′ , xz ′ + zy ′ )
a) Verificare che G è gruppo rispetto all’operazione definita. Dire se è un gruppo abeliano;
b) Provare che H = {(x, y, z) ∈ G | x = y = 1} è un sottogruppo normale di G;
c) Provare che H = {(x, y, z) ∈ G | z = 0} è un sottogruppo di G e risulta G/H ∼
= H.
{(
14) In GL2 (Z3 ) si consideri il sottoinsieme H =
a)
b)
c)
d)
a b
0 c
)
}
∈ G | ac ̸= 0 .
Provare che H è un sottogruppo di G ma non è un sottogruppo normale di G;
Determinare la cardinalità di H;
Determinare il centro di H, Z(H) = {A ∈ H | AB = BA, ∀B ∈ H};
Studiare il gruppo quoziente H/Z(H).