omologia

SOMME CONNESSE DI VARIETA’
Siano M ed N due PL-varietà chiuse (cioé compatte, connesse,
senza bordo) di dimensione n. Siano D1n ⊂ M e D2n ⊂ N corpi
di sottocomplessi tali che D1n e D2n siano PL-omeomorfi ad un nsimplesso. Allora M − int(D1n ) ed N − int(D2n ) sono varietà con
bordi rispettivamente Bd(D1n ) e Bd(D2n ) entrambi PL-omeomorfi a
n
n
S n−1 . Se f : Bd(D
lo spazio
´ 2 )³è un PL-omeomorfismo,
´
³ 1 ) → Bd(D
n
n
d’incollamento M −int(D1 ) ∪f N −int(D2 ) è una varietà chiusa.
Ogni varietà cosı̀ costruita si dice somma connessa di M ed N e si
indica con M #N . Si vede facilmente che se M ed N sono orientabili altrettanto risulta essere M #N , mentre se M oppure N è
non-orientabile allora M #N risulta pure non-orientabile. Tuttavia,
la somma cosı̀ descritta non è univocamente definita: per n ≥ 3
possono esistere (al più due) somme connesse non omeomorfe di
due fissate n-varietà. Si ha una buona definizione (cioè, date due
n-varietà la loro somma connessa è unica indipendentemente dalla
scelta di D1n , D2n ed f ) nel caso n ≤ 2, nel caso che M ed N siano
varietà orientate ed f rovesci l’orientazione indotta nei bordi e nel
caso che M oppure N sia non-orientabile.
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ESERCIZI SULL’OMOLOGIA
1) Si calcolino i gruppi di omologia relativa della coppia (S1 ×
S1 , S1 × {1}).
2) Siano M ed N due n-varietà, con n ≥ 3. Si calcoli l’omologia kdimensionale (con 0 ≤ k ≤ n−2) di M #N in funzione dell’omologia
dei singoli fattori (sugg: si usi la successione esatta di omologia
ridotta di Mayer-Vietoris).
3) Estendere il risultato ottenuto in 2) all’omologia (n − 1)dimensionale, nel caso in cui M ed N siano varietà orientabili.
Mostrare inoltre che tale estensione non vale se almeno una delle
due varietà è non-orientabile.
4) Sia M una n-varietà chiusa e sia f : M → Sn una mappa non
suriettiva. Dimostrare che deg(f ) = 0.
5) Trovare i gruppi di omologia dello spazio X indicato nel punto
7) degli esercizi sul gruppo fondamentale.
6) Trovare i gruppi di omologia dello spazio S = S2 ∨ S1 ∨ S1 ,
detto anche “spazio del topo”.
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