dominio, operatori chiusi, chiusura, aggiunto si veda ad es. Reed

1. Operatori illimitati: dominio, operatori chiusi, chiusura, aggiunto si veda ad es. Reed
d
considerato
Simon
vol 1 capitolo VIII sezione 1. Per vari esempi si veda ad esempio dx
kato
in [5] esempi 2.6–2.7 p.144, sezione 3 p. 146. Per il calcolo degli aggiunti si veda
esempio 3.14 p 270. Un esempio di operatore senza chiusura e’ in Taylor vol. I
Appendice A. Spettro di un operatore chiuso, se veda Kato da p. 172 in poi, in
particolare gli esempi.
2. Aggiunto di un operatore, operatori simmetrici, si veda Reed e Simon vol II da pp
135–145.
3. Teorema spettrale, caso degli operatori di Hilbert separabili. Una buona formulazione
la si puo’ trovare in Reed Simon Vol 1 p 227. Una dimostrazione succinta la si puo’
trovare in Taylor vol 2 da p. 76 in poi.
4. Operatori dissipativi ed m–dissipativi: sezione 2.2 Cazenave–Hareaux. Operatori m–
dissipativi in spazi di Hilbert sezione 2.4 Cazenave–Hareaux.
brezis
5. Teorema di Hille–Yoshida, ad esempio p. 185 di Brezis [1] assumendo cio’ che lo
precede.
6. Per una dimostrazione che lo spettro di un operatore compatto (ad esempio in uno
spazio di Hilbert) e’ al piu’ numerabile, che si accumula al piu’ in 0, per il fatto che
gli elementi non nulli dello spettro Kato sono autovalori di molteplicita’ finita, si veda
Kato pp. 184-187. Per una applicazione agli autovalori per il problema di Dirichlet
per un dominio limitato, si veda Taylor vol. 1 p. 302. Un altro esempio correlato si
trova a p. 204 del vol 1 di Reed e Simon. Per il problema di Sturm Liouville si veda
Brezis p 231.
7. Per una introduzione piuttosto veloce agli operatori di Calderon Zygmund si veda il
libro ”Classical and Multilinear Harmonic Analysis” vol. 1 di Camil Muscalu, Wilhelm
Schlag p. 166–172.
8. La dimostrazione del teorema di Feffermann sul moltiplicatore della palla si veda il
Capitolo 10 di Harmonic Analysis di E.M.Stein.
cdgg
9. Considerare in Chemin, Desjardins, Gallagher, Grenier, [4] il capitolo 2 e rifare la
dimostrazione dell’esistenza di soluzioni deboli nel caso particolare del toro Td , con
proiettori esplicitamente dati a p. 39-40. Poi presentare i punti salienti della dimostrazione che si dispiega tra le p. 44-52. Si pu assumere la forza esterna f = 0
come fatto dal docente nel corso.
10. Qualche esempio elementare di regolarizzazione di un’equazione e convergenza di
soluzioni dei problemi rigolarizzati, simile in spirito ma molto piu’ diretto
e facile
taylor
del teorema di Leray, per dimostrare esistenza locale, si trova in Taylor [10] vol III, ad
esempio per l’equazione del calore pp. 327–335 e per sistemi quasilineari, simmetrici
ed iperbolici pp. 360–366. Si puo’ scegliere uno dei due casi. Si noti che a p. 493
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tratta anche Navier Stokes su domini limitati o su varieta’ compatte. Eventualmente
si puo’ trattare questo ultimo caso.
References
brezis
[1] H.Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations,
Universitext, Springer, 2011.
caz
[2] T. Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, American Mathematical Society, Providence, RI, 2003.
ch
[3] T.Cazenave, Hareaux Semilinear Equations, Oxford Univ.Press.
cdgg
[4] Chemin, Desjardins, Gallagher, Grenier, Mathematical geophysics. An introduction
to rotating fluids and the Navier-Stokes equations. Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 32, The Clarendon Press, Oxford University Press,
Oxford, 2006
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[5] T.Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, Springer.
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[6] M. Keel and T, Tao, Endpoint Strichartz estimates, Amer. J. Math. 120 (1998),
955–980.
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[7] F.Linares, G. Ponce, Introduction to nonlinear dispersive equations Universitext,
Springer, New York, 2009.
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[8] Reed, Simon , I .
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taylor
[9] W.Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw–Hill (1970).
[10] M.E. Taylor, Partial Differential Equations .
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