Velocità di propagazione di un`onda lungo una corda tesa

Velocità di propagazione di un'onda lungo una corda tesa
Consideriamo un singolo impulso simmetrico come quello della. Per comodità
scegliamo un sistema di riferimento in cui l’impulso rimane stazionario. Cioè,
rincorriamo l’impulso, mantenendolo costantemente in vista. In questo sistema
sembrerà che la corda si muova davanti a noi, da destra a sinistra (vedi figura) con una
velocità v.
Figura Un impulso simmetrico, visto da un sistema di riferimento
nel quale l’impulso è stazionario e la corda sembra muoversi da
destra a sinistra con velocità v. Si ricava la velocità v applicando
la seconda legge di Newton a un elemento di corda di lunghezza
A/, posto all’apice dell’impulso.
Consideriamo un piccolo segmento dell’impulso di lunghezza A/, che forma un arco di
circonferenza di raggio R. Una forza di grandezza uguale alla tensione t agisce tangenzialmente su questo segmento da ambo le parti. Le componenti orizzontali di
queste forze si annullano ma le componenti verticali si sommano per formare una
nuova forza F. La sua intensità sarà
1)
Abbiamo usato l’approssimazione secondo cui
che
per angoli piccoli, e notiamo
La massa del segmento è data da
2)
All’istante mostrato in figura, l’elemento di corda Al si sta muovendo in un arco di
circonferenza. Per cui ha un’accelerazione centripeta verso il centro del cerchio
definita da
3)
Le equazioni 1, 2 e 3 contengono gli elementi della seconda legge di Newton.
Combinandole abbiamo
forza = massa • accelerazione,
o
Risolvendo questa equazione per trovare la velocità v si ha
Questa equazione dà la velocità dell’impulso nella e la velocità di qualsiasi altra onda
sulla stessa corda sottoposta alla stessa tensione.
L’equazione ci dice che la velocità di un’onda lungo una corda tesa ideale dipende
soltanto dalle caratteristiche della corda e non dalla frequenza dell’onda. La frequenza
dell’onda è fissata completamente da ciò che genera l'onda: per esempio da un
vibratore.
Riadattato da
D. Holliday, R. Resnik, J. Walker
"Fondamenti di fisica"
Zanichelli