Serie 1: Fenomeni ondulatori I

FAM
Serie 1: Fenomeni ondulatori I
C. Ferrari
Esercizio 1 Funzioni trigonometriche
1. Dimostra
sin α + sin β = 2 sin
α+β
α−β
cos
.
2
2
2. Verifica
A sin α + B sin(α + β) = C sin(α + γ)
dove
C=
p
A2 + B 2 + 2AB cos β ,
cos γ =
A + B cos β
,
C
sin γ =
B sin β
.
C
Esercizio 2 Riflessione di un’onda su una corda
Nella figura qui sotto sono riportati due impulsi che, all’istante t = t1 , si propagano
verso sinistra su di una corda. All’estremità sinistra della corda vi è un’ostacolo
che impedisce all’impulso di propagarsi oltre. Facendo un disegno qualitativo ma
accurato, determina la forma dell’impulso a degli istanti t > t1 supponendo che
non vi siano attenuazioni. In particolare determina la forma dell’impulso dopo la
riflessione sull’ostacolo.
~v
~v
Esercizio 3 Onda periodica su una corda
Un impulso viaggia verso destra con la velocità di 1 cm/s in una corda lunga 10 cm.
Si supponga che la corda sia fissata a entrambi gli estremi e che non vi siano
attenuazioni.
1. Qual è l’istante successivo in cui la corda avrà di nuovo la forma indicata?
2. In quale verso si propagherà l’impulso nel successivo istante in cui la corda
riacquista la forma indicata?
1
ξ
~v
10 x [cm]
1
Il moto descritto nell’esercizio è periodico, cioè si ripete dopo un certo intervallo di
tempo T . Si scriva un’espressione generale per il periodo in funzione della lunghezza
L della corda e della velocità v dell’impulso. Il periodo dipende dalla posizione
iniziale dell’impulso?
Esercizio 4 Onda periodica su una corda
Un impulso viaggia verso destra con la velocità di 1 cm/s in una corda lunga 10 cm. Si
supponga che l’estremo sinistro della corda sia fisso e che l’estremo destro sia invece
attaccato a un filo molto leggero, in modo che sia libero di muoversi; si supponga
pure che non vi siano attenuazioni.
ξ
~v
10 x [cm]
1
1. Qual è il successivo istante in cui la corda assumerà la forma indicata?
2. In quale verso viaggerà l’impulso in quell’istante?
3. Qual è il successivo istante in cui la corda assumerà la forma indicata e
l’impulso viaggerà verso destra?
Il moto dell’esercizio è periodico. Si scriva un’espressione generale per il periodo di
questo moto in funzione della lunghezza L della corda e della velocità v dell’impulso.
Esercizio 5 Onda periodica su una corda
Un impulso avente la forma indicata nella figura qui sotto viaggia verso destra con
la velocità di 1 cm/s lungo una corda che è fissata all’estremo destro. Si disegni la
forma della corda negli istanti t = 5, 6, 7 e 8 s.
Indicazione: Nell’istante t = 5 s il fronte anteriore dell’impulso ha appena raggiunto l’estremo della corda. Si disegni un impulso–immagine capovolto a destra dell’estremo della corda. Dopo ogni secondo successivo, l’impulso reale si sposta di 1 cm
2
ξ
~v
10 x [cm]
1
verso destra e l’impulso–immagine si sposta di 1 cm verso sinistra. Si può trovare la
forma della corda mediante l’addizione algebrica di questi impulsi.
Esercizio 6 Onde armoniche su una corda
Considera le seguenti due onde su una corda
y1 (x, t) = y0 sin(kx − ωt)
y2 (x, t) = y0 sin(kx − ωt + φ)
1. Le due onde si propagano in versi opposti o nello stesso verso?
2. Determina l’onda risultante y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) indicandone la pulsazione, il numero d’onda e l’ampiezza.
3. Per quali valori di φ l’onda risultante ha ampiezza massima? Fai un disegno
della sovrapposizione delle onde.
4. Per quali valori di φ l’onda risultante ha ampiezza nulla? Fai un disegno della
sovrapposizione delle onde.
Esercizio 7 Onde armoniche su una corda
Considera le seguenti due onde su una corda
y1 (x, t) = y0 sin(kx − ωt)
y2 (x, t) = y0 sin(kx + ωt)
1. Le due onde si propagano in versi opposti o nello stesso verso?
2. Determina l’onda risultante y(x, t) = y1 (x, t) + y2 (x, t) e indica come varia
l’ampiezza in funzione di x.
3. L’onda risultante si propaga?
4. Per quali valori di x l’onda risultante ha ampiezza massima?
5. Per quali valori di x l’onda risultante ha ampiezza nulla?
3
Esercizio 8 Onde armoniche
Mostrare che ξ(x, t) = ξ0 sin(kx − ωt) può essere riscritta nelle seguenti forme
alternative
ξ(x, t) = ξ0 sin[k(x − ut)]
ξ(x, t) = ξ0 sin 2π x − νt
λ
x
ξ(x, t) = ξ0 sin ω u − t
ξ(x, t) = ξ0 sin 2π x − t
λ
T
Deduci quindi l’ampiezza, la frequenza, il periodo, il numero d’onda, la pulsazione,
la lunghezza d’onda e la velocità di propagazione per le seguenti onde (se lo sono!),
indicando se si tratta di un onda progressiva o retrograda.
(a) ξ(x, t) = 2 sin 2π
t + x 0,4
80
(b) ξ(x, t) = 0,15 sin 0,79x − 13t
t
x + π (d) ξ(x, t) = 0,15 cos 0,79x − 13t
(c) ξ(x, t) = 0,037 sin 0,4
+ 80
6
(e) ξ(x, t) = 0,5x2 sin(3x − 2t)
r
t + x
(g) ξ(x, t) = 2π 0,4
80
(f ) ξ(x, t) = 0,5 sin(x + 0,7t2 )
(h) ξ(x, t) = 0,15 sin2 0,79x − 13t
4