Prova scritta del 10 febbraio 2011

C.d.L. in Ingegneria Meccanica
A.A. 2009-10
Fisica Generale
10-02-11
ESERCIZIO 1
Un pallone di massa m  450 g viene lanciato verso l’alto con una velocità v  15 m s 1 . Il suo moto si
svolge in presenza di una resistenza passiva causata dall’aria, e in conseguenza di ciò raggiunge una quota
h  8.5 m .
a) Calcolare il lavoro svolto dalla resistenza dell’aria.
b) Nell’ipotesi che la stessa resistenza sia presente anche durante la caduta, calcolare la velocità con la
quale il pallone ritorna al suolo.
Soluzione
a) L’energia cinetica del pallone al momento del lancio è:
2
1
1
Eki  mv 2   0.45 kg  15 m s 1   50.625 J
2
2
Al momento dell’arresto del suo moto l’energia potenziale vale:
E p  mgh   0.45 kg   9.8 m s 2   8.5 m   37.485 J
Il lavoro compiuto dalla resistenza dell’aria è quindi:
W  Em  Emf  Emi  E p  Eki   50.625 J    37.485 J   13.14 J
b) Quando il pallone ritorna al suolo, arriva con una energia data da:
Ekf  E p  W   37.485 J   13.14 J   24.345 J
Da cui si ottiene la velocità finale:
v  2 Ekf m 
2  24.345 J 
 10.4 m s 1
 0.45 kg 
ESERCIZIO 2
Un’asta orizzontale lunga l  8 m sorregge, alla sua estremità, un carico di massa
m  20 kg . Alla stessa estremità é fissato un cavo che poi si attacca ad un supporto
verticale. L’altra estremità dell’asta è fissata allo stesso supporto verticale, tramite un
perno che esercita una forza sull’asta.
Trascurando la massa dell’asta, calcolare:
a) la componente orizzontale e quella verticale della forza esercitata dal perno;
b) la tensione del cavo;
c) la direzione della forza esercitata dal perno.
40°
m
Soluzione


Le condizioni di equilibrio si calcola dalla due equazioni cardinali della statica: F  e  0 e M  e  0 .
Proiettando la prima su due assi x e y, scelto uno orizzontale e uno verticale, e la seconda su un asse z
perpendicolare al foglio e passante per il punto dove l’asta è imperniata sul supporto verticale, si ha,
chiamata T la tensione del cavo e R la forza esercitata dal perno, con   40 :
x
T cos   Rx  0

y  mg  T sin   Ry  0
1

z mgl  T l sin       0
a) Le componenti orizzontale e verticale della forza esercitata dal perno sono quindi:
 Rx  T cos 

 R y  mg  T sin 
b) la tensione del cavo si ottiene dalla terza equazione
1
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Fisica Generale
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2
mg  20 kg   9.8 m s 
mgl  T l sin       mgl  T l sin   0  T 

 305 N
sin

sin
40


Con questo si possono calcolare i valori di R :
mg

2
 Rx   sin  cos    mg cot     20 kg   9.8 m s  cot 40  233.6 N

 R  mg  T sin   mg  mg sin   0
 y
sin 
c) Da queste componenti si vede quindi che la direzione della forza esercitata dal perno è orizzontale.
ESERCIZIO 3
Un blocco di massa m  4.3 kg è attaccato ad una molla di
M
costante elastica k  230 N m 1 . Dall’altro lato il blocco è
k
r
m
attaccato ad una puleggia di momento d’inerzia, rispetto al
suo asse, I  0.016 kg m 2 e raggio r  73 mm . La puleggia
viene fatta ruotare in senso antiorario finché la molla è tesa di
x  52 mm , dopodiché viene lasciata andare da ferma. Determinare:
a) il modulo della velocità del blocco quando passa per la posizione corrispondente allo stato di
equilibrio della molla;
b) la potenza fornita dalla molla allo stesso istante.
Soluzione
a) Quando al molla è tesa si ha una energia potenziale, elastica, data da:
1
1
2
E p  k x 2   230 N m 1   0.073 m   0.61 J
2
2
Quando il blocco passa per la posizione corrispondente allo stato di equilibrio della molla, il modulo
della sua velocità si può calcolare, ricordando che l’energia cinetica è in parte del blocco, e in parte
dalla puleggia, come:
1
1
Ek  m v 2  I  2
2
2
Se il filo che scorre sulla puleggia non scivola, allora la relazione tra v e  è v   r , da cui:
2
1
11
1
1
M

 v 1
m v 2   M r 2   2  m v 2  Mr 2     m   v 2
2
22
2
4
2
2 

 r
La massa della puleggia è:
2
2 I 2  0.016 kg m 
M 2 
 6.0 kg
2
r
 0.073 m 
da cui, per la conservazione dell’energia meccanica:
4Ep
4  0.61 J 
4 Ek
v2 
v

 0.17 m s 1
2m  M
2m  M
2  4.3 kg   6.0 kg
Ek 
 
b) La potenza istantanea fornita dalla molla allo stesso istante è data dall’espressione P  F  v . Nel
punto in cui la molla è a riposo la forza è nulla, e di conseguenza lo è anche la potenza.
ESERCIZIO 4
Supponiamo che 4200 J di calore vengano estratti in una trasformazione isobara reversibile da 50 g di
acqua liquida inizialmente a T1  300 K . Calcolare:
2
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a) la temperatura finale dell’acqua;
b) la variazione di entropia dell’acqua.
Soluzione
a) Nella trasformazione la quantità di calore e la variazione di temperatura sono legate dalla relazione:
Q
Q  c m T  c m T f  Ti   T f  Ti 
cm
Il calore specifico è c  1cal C g  4184 J K kg , mentre il calore, essendo sottratto all’acqua, è
Q  4200 J . Si ha quindi:
Q
4200 J
Q  Ti 
 300 K 
 280 K
1
cm
 4184 J K kg 1  5 102 kg 
b) la variazione di entropia dell’acqua è data da:
Tf
Tf
Tf
T
dQ
c m dT
dT
280
S  

 c m
 c m ln f   4184 J K 1kg 1  5 102 kg  ln
 6.27 J K 1
T
T
T
T
300
i
Ti
Ti
Ti
negativa in quanto il calore viene sottratto al sistema.
ESERCIZIO 5
Un sottile involucro sferico b conduttore di raggio rbe  6.5 mm e raggio interno
rbi  6.0 mm é concentrico a un conduttore sferico a pieno di raggio ra  3.0 mm .
La sfera b ha una carica totale Qb  4.0 C e la sfera a una carica
Qa  2.0 C . Calcolare:
a) il potenziale della sfera b;
b) la differenza di potenziale tra la sfera b e la sfera a.
c) il potenziale della sfera a.
rbe
rbi
ra
Soluzione
a) il potenziale sulla superficie della sfera b è generato da entrambe le cariche:
2 106 C    4 106 C 

1 Qa  Qb
1
Vb 

 8.3 106 V
3
4 0 rbe
4  8.85 1012 C 2 N 1m 2 
6.5

10
m


b) la differenza di potenziale tra la sfera b e la sfera a è data da:
Q  1 1  Q r r 
Va  Vb  a     a  bi a  
4 0  ra rbi  4 0  ra rbi 
 2 10 C 
  6.0 10 3 m    3.0 10 3 m  

  3.0 10 6 C

4  8.85 1012 C 2 N 1m 2    3.0 10 3 m  6.0 103 m  
c) Il potenziale della sfera a è quindi dato da:
Q 1 1
1 Qa  Qb
Va  Va  Vb   Vb  a    
  3.0 10 6 C    8.3 106 V   11.3  106 V
4 0  ra rbi  4 0 rbe
6
ESERCIZIO 6
Le ruote e gli assi dei vagoni ferroviari sono in contatto
elettrico con le rotaie e formano un circuito simile a quello
rappresentato in figura. Si immagini che una resistenza colleghi
le rotaie in un punto lontano lungo la linea.
B = 0.1 mT
(uscente)
R
asse
3
v
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Si stimi la f.e.m. indotta in un circuito di questo tipo, nel caso di un treno merci in moto a una velocità
ordinaria, in una regione in cui la componente verticale del campo magnetico terrestre è Bz  0.1 mT .
Soluzione
La forza elettromotrice indotta nel circuito è:

d B
d
d
 
   B   B
dt
dt
dt
Chiamata a la separazione tra i binari, assumendo che a un certo istante l’asse si trovi ad un valore L
lungo la direzione orizzontale, si ha per la superficie a un istante successivo t:   a  L  v t  , da cui (in
valore assoluto):
d  a  L  v t  
B 
 Bav
dt
Bisogna fissare dei valori ragionevoli per a e v. Prendiamo a  1.5 m e v  108 km h 1  30 m s 1 . Si ha
allora
  B a v  104 T  1.5 m   30 m s 1   4.5 mV
 
4