calcolo_combinatorio - Iac-Cnr

ESERCITAZIONI 1 (vers. 1/11/2013)
Daniela De Canditiis
tutoraggio MAT/06 Ingegneria dell’Informazione - sede di Latina,
prima qualche richiamo di teoria....
CALCOLO COMBINATORIO
Il principio fondamentale del calcolo combinatorio sostiene che dovendo mettere insieme n1 scelte con n2 altre scelte, se esse sono indipendenti, allora il
numero totale di scelte che posso fare é n1 n2 .
Es. Se nell’armadio ci sono 5 giacche e 6 paia di pantaloni, posso scegliere
un vestito (giacca+pantalone) in 5 · 6 = 30 modi diversi.
Di seguito elenchiamo un pó di regole per il calcolo delle disposizioni - combinazioni di un insieme finito di oggetti. Importante é avere ben presente la
differenza tra disposizioni e combinazioni.
Nelle disposizioni ha importanza l’ordine con cui si presentano gli oggetti e
dunque una disposizione di k oggetti é una k-pla di valori (v1 , v2 , ..., vk ), mentre
nelle combinazioni l’ordine non ha importanza e dunque una combinazione di
k oggetti é un insieme di k oggetti {v1 , v2 , ..., vk }.
• Disposizioni semplici di n oggetti su k posti,(Dn,k ) con k ≤ n,
Sono tutti i modi possibili di disporre (cioe’ di creare disposizioni diverse)
di n oggeti distinti su k posti. Poiché per il primo posto ho n scelte diverse,
per il secondo posto ho n − 1 scelte diverse, ..., per il k-esimo posto ho
n − k + 1 scelte diverse, il totale delle possibili disposizioni di n oggetti
distinti su k posti é dato da
Dn,k = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =
n!
.
(n − k)!
(1)
Quando k = n allora le disposizioni di n oggetti distinti su n posti sono
dette permutazioni. Dalla formula (1) si ricava che le permutazioni di n
oggetti sono appunto n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1
Es. Quante sono le sequenze numeriche di tre cifre distinte scelte in
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?
La risposta é D10,3 = 10 · 9 · 8 =
10!
7!
= 720
Es. In quanti modi diversi é possibile anagrammare la parola ROMA ?
1
La risposta é in 4!=24 modi diversi che sono appunto le possibili permutazioni di 4 oggetti/lettere distinte su 4 posti.
• Combinazioni semplici di n oggetti distinti su k posti, (Cn,k ) con k ≤ n
Sono tutti i modi possibili di combinare (cioe’ di creare combinazioni diverse, sottinsiemi diversi) di numerositá k a partire da n oggeti distinti.
n!
Poiché per ciascuna disposizione delle Dn,k = (n−k)!
possibili si possono
permutare i k oggetti che la compongono in k! modi diversi ottenendo la
stessa combinazione/insieme/gruppo di k oggetti, per contare le possibili
combinazioni di n oggetti distinti su k posti é sufficiente dividere il numero delle disposizioni per k!. Quello che si ottiene é noto come coefficiente
binomiale
Cn,k
n!
=
=
k!(n − k)!
( )
n
.
k
(2)
valgono le seguenti proprietá:
i) 0! = 1
( )
ii) n0 = 1
( )
iii) nn = 1
( )
iv) n1 = n
( ) ( n )
v) nk = n−k
( ) (
) (n−1)
vi) nk = n−1
+ k−1
k
Es. In quanti modi diversi si possono dividere 20 bambini in due squadre
da 10?
Nella composizione della squadra non ha importanza l’ordine con cui
si elencano i membri e dunque la risposta é il numero di combinazioni/sottogruppi di numerositá
10 che si possono fare a partire da 20 ogget( )
ti/bambini distinti: 20
.
10
Es. In quanti modi diversi si possono dividere 20 bambini in due squadre
una composta da 5 bambini e l’altra composta da 15 bambini?
La risposta é il numero di combinazioni/sottogruppi di (numerositá
5 che
)
si possono fare a partire da 20 oggetti/bambini distinti: 20
.
Chiaramen5
te per ogni squadra di 5 bambini automaticamente rimane fissata l’altra
squadra
(20) (20di) 15 bambini. La risposta infatti poteva anche essere data con
15 = 5
• Disposizioni di n oggetti (non distinti) su n posti
Supponiamo di voler contare i modi diversi in cui possiamo disporre n oggetti su n posti sapendo che degli n oggetti n1 , n2 ,.., nr sono indistinguibili
tra loro (n1 + n2 + ... + nr = n).
2
Poiché in una qualunque permutazione degli n oggetti si possono permutare tra loro gli n1 oggetti uguali senza poter distinguere differenze, e cosi
gli n2 oggetti uguali ,.. gli nr oggetti uguali, si conclude che il numero delle
possibili disposizioni di n oggetti distinti in r classi diverse di numerositá
n1 , n2 , ..., nr é
(
n
n1 n2 ...nr
)
=
n!
,
n1 !n2 ! · · · nr !
(3)
questa quantitá é detta coefficiente multinomiale. Il coefficiente multinomiale serve anche a calcolare i modi possibili di partizionare un insieme
di n oggetti distinti in numerositá date n1 + n2 + · · · + nr = n. Infatti se
devo creare r sottogruppi
( ) a partire dall’insieme di partenza di cardinalitá
n posso creare in nn1 modi diversi un sottoinsieme di cardinalitá n1 a
partire
dagli
n oggetti dati, poi dagli n − n1 oggetti rimasti posso creare
(
)
1
in n−n
modi diversi un sottoinsieme di cardinalitá n2 e cosi via dagli
n2
nr =
( n)− n1 − n2 − · · · − nr−1 oggetti rimasti posso creare in un unico modo nnrr un sottoinsieme di cardinalitá nr . Il totale delle possibili diverse
partizioni é dunque dato dal seguente prodotto
( )(
)(
)
( )
(
)
n
n − n1
n − n1 − n2
nr
n
n!
···
= ... =
=
n1
n2
n3
nr
n1 n2 ...nr
n1 !n2 ! · · · nr !
Abbiamo dunque visto come la stessa quantitá, per l’appunto il coefficiente multinomiale, puó essere usato in due situazioni totalmente diverse.
Nella prima, gli oggetti avevano numerositá diverse e venivano disposti in
una disposizione, nella seconda gli oggetti erano tutti distinti e venivano
partizionati in gruppi di numerositá diverse. Ecco due esempi delle due
situazioni.
Es. In quanti modi diversi posso anagrammare la parola FARFALLA?
Poiché tra le 8 lettere/oggetti che compongono la parola, ci sono 3 A, 2
8!
F, 2 L e una R, i possibili anagrammi dela parola data sono 3!2!2!
Es. In quanti modi diversi posso formare 3 squadre di rispettivamente 5,
10 e 15 componenti a partire da un insieme di 30 bambini?
La risposta é il numero di partizioni di un insieme di 30 oggetti/bambini
distinti
di numerositá 5,10,15 e dunque i modi diversi sono
( 30 ) in sottoinsiemi
30!
=
.
51015
5!10!15!
Tutto ció che é stato detto finora si basa sull’ipotesi che ogni oggetto dell’insieme di partenza viene contato/utilizzato una volta sola, quest’ipotesi in
uno schema di estrazioni da urne rientra nell’ipotesi di estrazione senza rimpiazzamento. Tutto cio’ che e’ stato detto finora infatti puó essere visto come il
conteggio dei risultati possibili dell’estrazione di k palline da urna contenente n
palline. In particolare se gli oggetti sono distinti le palline sono da considerarsi
distinte, se gli oggetti sono distinti in classi di numerositá n1 , n2 , .., nr allora
3
l’urna puó pensarsi composta da n1 palline indistinguibili (es. stesso colore),
n2 palline indistinguibili etc.... Negli schemi in cui si sono contate le possibili
disposizioni su k posti si sono contati i possibili modi di estrarre in sequenza k
palline, mentre negli schemi in cui si sono contate le possibili combinazioni su
k posti si sono contati i possibili modi di estrarre in blocco k palline dall’urna.
A completamento dello schema di estrazioni da urne diamo il numero di
disposizioni di n oggetti distinti su k posti con ripetizioni. Esso rappresenta il
numero di possibili diverse sequenze di k estrazioni a partire da un’urna composta da n palline diverse con rimpiazzamento.
Il numero delle disposizoni di n oggetti distinti su k posti con ripetizione é
D̂n,k = nk
ció é facilmente dimostrato pensando che ad ogni estrazione si hanno sempre
le n possibilitá diverse di estrarre una pallina.
ESERCIZI:
1) Quanti sono tutti i possibili sottinsiemi di Ω = {1, 2, · · · , n}, (compreso
l’insieme vuoto e Ω)? In altre parole qual é la cardinalitá dell’insieme delle parti
di Ω, P(Ω)?
Soluzione 1): il( numero
totale dei sottoinsiemi é la somma
)
( ) di quelli con 0
elementi (C(n,0) = n0 ), piú quelli con 1 elemento (Cn,1 = n1 ), piú quelli con
n
2
formula del binomio di Newton segue che
(n)(Cn,2
(n)= 2 ) e(ncosı́
) via. Dalla
n
n
+
+
·
·
·
+
=
(1
+
1)
=
2
.
0
1
n
Oppure un modo alternativo di risolvere questo esercizio é il sguente: indichiamo con 0 oppure 1 l’assenza oppure la presenza di ciscun elemento di Ω in
un generico suo sottinsieme, per cui, per esempio, l’insieme vuoto é costitutito
dalla sequenza di tutti zeri ecc., allora il numero dei possibili sottinsiemi di Ω é
dato dal numero di disposizioni di 2 oggetti (0 e 1) su n posti con ripetizione e
cioé appunto D̂2,n = 2n .
2) In quanti modi 5 buste numerate possono essere assegnate a 7 persone,
se ognuna di esse riceve una busta?
Soluzione 2): il numero di modi diversi é dato dalle disposizioni di 7 oggetti
7!
distinti (le persone) su 5 posti: D7,5 = (7−5)!
. Infatti ho 7 scelte per la prima
busta/posto, 6 scelte per la seconda busta/posto, ecc.
3) In quanti modi 5 buste numerate possono essere assegnate a 7 persone?
Soluzione 3): non essendo specificato altrimenti ogni persona puó ricevere
piú di una busta e dunque il numero dei modi diversi é dato dalle Disposizioni
di 7 oggetti distinti su 5 posti con ripetizione, D̂7,5 = 75 .
4
4) In quanti modi 5 buste indistinguibili possono essere assegnate a 7 persone,
se ognuna di esse riceve una busta?
Soluzione 4): I modi diversi equivalgono ai modi diversi che ho di estrarre
combinazioni
di 5 palline/persone a partire da un’urna di 7 palline/persone:
()
C7,5 = 75 .
6) Quanti menú completi diversi puó servire un ristorante che in un giorno
disponga di 4 primi; 5 secondi; 2 tipi di dolce?
Soluzione 6) se le scelte sono indipendenti/svincolate allora possiamo scegliere un primo in 4 modi diversi, un secondo in 5 modi diversi e un dolce in 2
modi diversi e dunque (per il principio del calcolo combinatorio) avremo
5 · 4 · 2 = 40menu diversi
se le scelte non fossero state svincolate, bensi la scelta di un tipo di secondo
fosse dipesa dalla scelta del primo piatto, allora il conto sarebbe stato diverso.
7) Una particella é posizionata in un punto di una retta e viene spostata di
una lunghezza unitaria a destra o a sinistra in dipendenza del risultato del lancio
di una moneta (testa → si sposta di +1) (croce → si sposta di −1). Calcolare
il numero di traiettorie distinte che portano la particella nella posizione k dopo
n lanci.
Soluzione 7) Indichiamo con nT il numero di teste uscite e con nC il numero
di croci uscite. Per trovarsi dopo n passi nella posizione k la particella deve aver
compiuto k passi a destra in pid́i quelli che ha compiuto a sinistra e dunque deve
risultare nT − nC = k, inoltre sappiamo che il numero totale di passi é pari ad
n e dunque deve anche valere il vincolo nT + nC = n. Risolvendo il sistema
lineare
{
{
nT − nC = k
nT = (n + k)/2
⇒
nT + nC = n
nC = (n − k)/2
segue che il numero di traiettorie distinte che portano la particella dopo n pasi
nella posizione k é dato dal numero di possibili disposizioni di n oggeti su n
posti (permutazioni di n) di cui nT = (n + k)/2 uguali tra loro e i restanti
nC = (n − k)/2 uguali tra loro e dunque vale
(
)
n!
n
=
nC ! nT !
nC nT
8) Il codice ASCII é un codice binario a 8 bit ed é costituito da una sequenza
di 0 e di 1. Quanti simboli diversi si possono rappresentare con il codice ASCII?
Soluzione 8) Il numero di simboli diversi rappresentabili con il codice ASCII
é dato dal numero di disposizioni di 2 oggetti distinti su 8 posti con ripetizione
D̂2,8 = 28
5
9) Si dispone di n libri di matematica e di m libri di fisica. In quanti
modi diversi posso disporli su uno scaffale sistemandoli peró sempre contigui
per materia?
Soluzione 9) Gli n libri di matematica possono essere disposti in n! modi
diversi ed analogamente gli m libri di fisica possono essere dipsosti in m! modi
diversi. Per ognuma delle n!m! possibili disposizioni ho una doppia scelta quella
di dipsorre prima quelli di matematica e poi quelli di fisica oppure viceversa e
dunque in totale avró 2 n! m! modi diversi.
10) (Ross, cap1,n.15) Una classe di tango argentino ha 22 studenti di cui 10
donne e 12 uomini. In quanti modi si possono formare 5 coppie?
Soluzione 10) Se avessimo solo 5 donne e 5 uomini potremmo creare un set
di 5 coppie diverse in 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! modi diversi perché la prima donna
ha 5 possibilitá,
( )(12)la seconda ne ha 4 e cosi via.... Dalla classe di studenti peró
abbiamo 10
modi diversi di scegliere 5 uomini e 5 donne e dunque in totale
( 5)(125)
avremo 10
5!
modi di scegliere 5 coppie. Da notare che un set di 5 coppie é
5
5
diverso da un altro set di 5 coppie anche se solo una delle coppie non coincide.
11) (Ross, cap1,n.28) In quanti modi si possono assegnare 8 nuovi maestri a
4 scuole? rispondere alla stessa domanda se ogni scuola deve ricevere 2 maestri.
Soluzione 11) Indichiamo con A, B, C, e D i nomi delle 4 scuole. Non
essendoci alcun vincolo, ogni maestro puó essere assegnato ad una qualunque
delle 4 scuole indipendentemente dagli altri. Dunque il numero di modi possibili
é il numero di disposizioni di 4 oggetti/palline su 8 posti con rimpiazzamento
(pensando che i maestri siano 8 posti da riempire con una qualunque delle biglie
con simboli A, B, C e D) e dunque D̂4,8 = 48 .
Se invece ciascuna scuola deve ricevere 2 maestri, allora o pensiamo all’urna
costituita da 8 biglie (di cui 2 con lettera A, 2 con la lettera B, 2 con la lettera
C e 2 con la lettera D) e contiamo le possibili disposizioni senza rimpiazzamento
di 8 oggetti/palline (distinti
(
)in 4 tipologie diverse con numerositá 2 ciascuna) su
8 posti ed otteniamo 2 282 2 , oppure arriviamo allo stesso risultato utilizzando
il coefficiente multinomiale che ci dice in quanti modi diversi posso suddividere
un insieme di 8 maestri in 4 sottogruppi di numerositá 2 ciascuno.
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