Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri Serie di Fourier
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Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri Serie di Fourier
Segnali periodici Teorema di Fourier Filtri Edgardo Smerieri PLS - AIF Scuola Estiva di Fisica Genova 2009 Serie di Fourier ∞ V (t ) = a0 + ∑ (a n cos nω0t + bn sin nω0t ) n =1 T a0 = ∫ 1 V (t )dt T 0 T an = ∫ 2 V (t ) cos (nω0t )dt T ω0 = 2π T 0 T bn = ∫ 2 V (t ) sin (nω0t )dt T 0 ∞ V (t ) = ACC + ∑ A sin (nω t + ϕ ) n 0 n n =1 2 1 Segnali periodici oggetto di misura 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari) Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari) Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari) Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari) Segnale a onda quadra generica (dispari) Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari) Delta di Dirac 3 Segnale triangolare bipolare antisimmetrico (dispari) • • • Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “seno” Sono presenti solo armoniche dispari Vin(t) +E T/2 3T/4 T/4 T t V pp = 2 E −E 4V pp ∞ ∑ 1 sin(2n + 1)ω0t (−1) n π 2 n =0 (2n + 1) 2 4V pp ⎛ 1 1 1 ⎞ Vin (t ) = 2 ⎜ sen ωt − sen 3ωt + sen 5ωt − sen 7ωt + LL⎟ 9 25 49 π ⎝ ⎠ Vin (t ) = 4 2 Segnale a onda quadra bipolare antisimmetrica (dispari) • • • Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “seno” Sono presenti solo armoniche dispari Vin E V pp = 2 E T/2 −E Vin (t ) = Vin (t ) = 2V pp π ∞ t T ∑ 2n + 1 sin(2n + 1)ω t 1 0 n =0 2V pp ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ sin ω0 t + sin 3ω0 t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ 3 5 7 π ⎝ ⎠ 5 Segnale a onda quadra bipolare simmetrica (pari) • • • Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “coseno” Sono presenti solo armoniche dispari Vin E T/4 −E Vin (t ) = Vin (t ) = 2V pp π ∞ ∑ (−1) n =0 n T/2 t V pp = 2 E 1 cos(2n + 1)ω0t 2n + 1 2V pp ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ cos ω0t − cos 3ω0t + cos 5ω0t − cos 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ π ⎝ 3 5 7 ⎠ 6 3 Segnale a onda quadra unipolare antisimmetrica (dispari) • • • Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “seno” Sono presenti solo armoniche dispari Vin E V pp = E T/2 Vin (t ) = Vin (t ) = V pp 2 + V pp 2 + 2V pp π ∞ t T ∑ 2n + 1 sin(2n + 1)ω t 1 0 n =0 2V pp ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ 3 5 7 π ⎝ ⎠ 7 Segnale a onda quadra generica (dispari) • • • Il valore medio è diverso da zero pertanto c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “seno” Sono presenti solo armoniche dispari Vin Emax V pp = Emax − Emin Vdc = Emin Emax + Emin 2 T/2 t T ∞ Vin (t ) = E max + Emin 2( Emax − Emin ) 1 + sin(2n + 1)ω0t 2 π 2 n +1 n =0 Vin (t ) = Vdc + ∑ 2V pp ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎜ sin ω0t + sin 3ω0t + sin 5ω0t + sin 7ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ 3 5 7 π ⎝ ⎠ 8 4 Segnale a dente di sega bipolare antisimmetrico (dispari) • • • Il valore medio è nullo pertanto non c’è il termine costante Sono presenti solo termini in “seno” Sono presenti solo armoniche pari e dispari Vin(t) +E T/2 T Vin (t ) = V pp π ∞ ∑ (−1) n =0 n V pp = 2 E t −E 1 sin(n + 1)ω0t n +1 V pp ⎛ 1 1 1 1 ⎞ Vin (t ) = ⎜ sin ω0t − sin 2ω0t + sin 3ω0t − sin 4ω0t + sin 5ω0t + ⋅ ⋅ ⋅ ⎟ π ⎝ 2 3 4 5 ⎠ 9 Segnale a delta di Dirac • • Sono presenti solo termini in “coseno” Sono presenti tutte le armoniche pari e dispari Vin +∞ Vin (t ) = ∑ δ(t − kT ) k = −∞ t Vin (t ) = Vin (t ) = 2 T +∞ ∑ cos nω t 0 n =0 2 [cos ω0t + cos 2ω0t + cos 3ω0t + cos 4ω0t + cos 5ω0t + ⋅ ⋅ ⋅] T 10 5 Segnale a delta di Dirac 11 Filtri elettronici FILTRO Vin Vout Modifica l’aspetto del segnale d’ingresso agendo sull’ampiezza e sulla fase delle sue componenti spettrali Ad esempio con un segnale d’ingresso periodico descritto dalla serie di Fourier: ∞ Vin (t ) = ACC + ∑ A sin (nω t + ϕ ) n 0 n n =1 in uscita si ha: ∞ Vout (t ) = BCC + ∑B n sin (nω0t + ϑ n ) n =1 12 6 I filtri analogici Si distinguono in base al : – Tipo di risposta in frequenza (LPF - HPF - BPF – BSF - APF) – Tipo di circuito con cui si realizzano (Sallen Key - Reazione multipla – etc.) – Tipo di approssimazione (Butterworth - Chebyshev - Bessel - etc. ) – Numero d’ordine del filtro Possono inoltre essere: – Attivi o passivi – Dissipativi e non dissipativi 13 Risposta di un filtro LPF ideale Vout Vin Non si può fisicamente realizzare un filtro con una risposta di questo tipo Approssimazione della risposta f0 Un discorso analogo si può fare anche per gli altri tipi di filtro f 14 7 Approssimazioni Risposta di filtri passa basso 15 Risposta alla Butterworth Vout = Vin per ω = ω0 si ha 1 ⎛ ω⎞ 1 + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ω0 ⎠ 2n Vout 1 = ≅ 0.707 Vin 2 qualsiasi sia l’ordine n del filtro In decibel il valore 0.707 corrisponde a – 3 dB 16 8 Il decibel • • Indichiamo con Vout e Vin le ampiezze dei segnali Il loro rapporto può essere espresso in decibel ovvero Vout Vin = 20 log dB Vout/Vin 100 10 1 0.1 0.01 Vout Vin Vout/Vin in dB + 40 + 20 0 - 20 - 40 17 Risposta di filtri passa basso (in dB) La pendenza asintotica oltre la frequenza di cut-off è data pendenza = − n ⋅ 20 dB decade 18 9 Azione di un filtro LPF su alcuni segnali tipici Filtro LOW PASS Vin Vout • In tutti i casi il filtro ha una frequenza di taglio di 4 KHz • Il tipo di risposta del filtro è alla Butterworth • L’ordine del filtro è 4 I segnali sono – Onda quadra (a) a 217 Hz – Onda quadra (b) a 646 Hz – Dente di sega (a) a 490 Hz – Dente di sega (b) a 1302 Hz – Campioni di Sinusoide a 2315 Hz – Campioni di un segnale a 2315 Hz con prima e terza armonica 19 Onda quadra (a) • • • Onda quadra a 217 Hz Fondamentale a 217 Hz – 17a Armonica 3689 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 20 10 Onda quadra (b) • • • Onda quadra a 646 Hz Fondamentale a 646 Hz – 5a Armonica 3230 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 21 Dente di sega (a) • • • Dente di sega a 490 Hz Fondamentale a 490 Hz – 8a Armonica 3920 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 22 11 Dente di sega (b) • • • Dente di sega a 1302 Hz Fondamentale a 1302 Hz – 3a Armonica 3906 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 23 Segnale sinusoidale campionato • • • Segnale sinusoidale campionato Fondamentale a 2315 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 24 12 Segnale campionato con 1a e 3a armonica • • • Segnale campionato con due componenti di onda quadra : la fondamentale e la terza armonica Fondamentale a 2315 Hz – 3a Armonica 6945 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio Ingresso Uscita 25 Triangolare • • • Triangolare a 245 Hz Fondamentale a 245 Hz – 16a Armonica 3920 Hz Filtro passa basso con 4 kHz di frequenza di taglio L’uscita com’è ? Ingresso 26 13 Schema a blocchi del generatore del singolo segnale Oscillatore Sinusoidale Seno Coseno Polarità ± Amplificatore al sommatore La frequenza delle diverse armoniche è fissa 27 Generatore di segnale sinusoidale a 100 Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale sinusoidale a 200 Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale Ampiezza e polarità sinusoidale a 300 Hz Generatore di segnale sinusoidale a 800 Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale sinusoidale a 900 Hz Ampiezza e polarità Generatore di segnale sinusoidale a 1000 Hz Ampiezza e polarità Sommatore Schema a blocchi del dispositivo per la generazione di segnali periodici 28 14 Dispositivo per la generazione di segnali periodici basato sul teorema di Fourier 29 Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare Frequenza Tipo di segnale Polarità Regolazione ampiezza del segnale Inserimento armonica e tipo armonica Punto di prelievo del segnale per la misura dell’ampiezza 30 15 Dispositivo per la generazione di segnali periodici - Particolare Punto a cui connettere la sonda Segnale d’uscita all’oscilloscopio Voltmetro in DC Sonda per la misura dell’ampiezza 31 Misurazioni Generatore di segnali periodici tramite somma di componenti di Fourier Filtro Passa Basso Oscilloscopio 2 o Multimetro 2 Oscilloscopio 1 o Multimetro 1 32 16 Filtro LPF 2° ordine alla Linkwitz-Riley È formato da due filtri identici del primo ordine posti in cascata La frequenza di taglio di ognuno è di 482 Hz Il filtro complessivo è del secondo ordine L’attenuazione alla frequenza di taglio è di 6 dB 33 Risposta in frequenza del filtro alla Linkwitz-Riley 34 17 Metodologia di misura • • • • • • • • • • Scegliere il tipo di onda La frequenza della componente fondamentale è 100 Hz ed è prefissata Il numero massimo di armoniche con cui si può ricostruire il segnale è prefissato nel numero di 10 (massima frequenza 1000 Hz) L’ampiezza massima delle singole componenti è 10 V Individuare il tipo di armoniche presenti nel segnale Regolare l’ampiezza e la fase della singola armonica con il multimetro 1 (in DC) posto all’uscita del generatore di segnale Alla fine attivare tutte le componenti di Fourier Osservare con l’oscilloscopio 1 il segnale in uscita dal generatore e fare le misure relative Costruire il filtro e collegarlo all’uscita del generatore Osservare il segnale in uscita dal filtro con l’oscilloscopio 2 e fare le misure relative 35 18