problema-rc-esame-2012

Secondo tema
Il candidato, dopo aver spiegatoil concetto di capacitàelettrica e il funzionamento
di un condensatore,ne
descrivai processidi caricae di scaricaatbaversoun resistoretrattando,in particolare,le relazioni
matematiche
che regolanotali processie le trasformazionienergetichein gioco.
Risolva poi il problemache segue.
Nel circuito riportato in figura I'intemrttore 7 può esserespostatonelle posizioni 1 e 2.Inizialmente
I si trova
n e l l a p o s i z i o nle e i l s i s t e m a c o s t i t u i t o d a i t r e c o n d e n s a t o r i d i c a p a c i t àlc0rp: F , c z : 1 4 p F e c 3 : g u p 6
caricato da un generatorefino a raggiungereai suoi capi la d.d.p. di 10 v. Successivamente,
î è spostatonella
posizione2 e i condensatorisi scaricanoatraversoi tre resistoriR1,R2,e R'.
Conoscendoi valori delle resistenzeR1 :3 MQ e lRz: I MO, il candidatocalcoli il valore di,Rr in
modo che
la differenza di potenziale LVapai capi del sistemadi resistori sia il 36,8Vodel suo valore massimo
dopo I g
secondidall'inizio del processodi scarica.Calcoli,inoltre,l'energiadissipataper effettoJouledall,insieme
dei
tre resistori e, in particolare,quella dissipatadal resistore.iRr.
Secondo tema
Condensatore e capacità elettrica
Un condensatore
è un dispositivoformatoda due conduttoridetti annature,isolatitra loro ma dispostiin modo
che tra essi possaawenire il fenomenodell'induzione completa,in cui la carica sul corpo indotto ha lo stesso
modulo di quella presentesul corpo che provocaI'induzione elettrostatica.
Si dimostra che, in nn simile sistemafisico, la differenza di potenzialeLV tra le armatureè direttamente
proporzionalealla caricapositiva Q presentesu una di esse.Ne risulta che il rapporto
c:
Q.
AV'
(17)
chiamato capacità elettrcstatica del condensatore(o, più semplicemente,capacità) è una quantità che non
dipende datle variabili elettrìche presenti sul condensatorema solo dalla sua forma, dalle sue dimensioni e
dalle proprietà del materialeisolantein cui le armaturesono immerse.
Delle molte proprietàdei condensatore
elenchiamoqui, per brevità, solo quelle che sarannoutili nella
risoluzionedell'eserciziocontenutonel testo.
c Data una rete di due o più condensatorisi chiamacapacità equivalentedella rete la capacitàeiettrostatica
di un singolo condensatoreche, sostituto all'intera rete, preleverebbeda un generatorela stessacarica
che è prelevatanelle stessecondizionidalla rete.
. Due condensatoriconnessiin modo da averedue terminali collegati tra loro e anchegli altri due collegati
tra loro, si dicono collegati tn parallelo; con questaconnessionei due condensatorisono sottopostialla
stessadifferenza di potenziale. Si dimostra, inoltre, che se n condensatorisono collegati in parallelo,
la capacitàequivalente
crn del sistemaè ugualealla sommadellecapacitàci U:1,...,n)
dei singoli
condensatori.In formule:
tl
C".:Y C,.
Lt'
(t8)
c Due condensatoriconnessiin modo da avereuno dei terminali del primo collegato a uno del secondo,si
dicono collegati in serie; con questaconnessionele carichepositive presentisui due condensatorihanno
lo stessovalore. Si dimostra, inoltre, che se n condensatorisono collegati in serie, il reciproco della
capacitàequivalenteCrn del sistemaè uguale alla sommadei reciproci delle capacitàC, (t : 1, . . . , n) dei
singoli condensatori.In formule:
lnt
_:_: I:
IJ, C;
C".
(19)
Nel casoparticolarein cui i condensatori
in seriesianodue,dallaformulaprecedente
si ricavala relazione
Lo^:
-
ctCz
CriCz
(20)
o Un condensatoredi capacitàC, soggettoa una differenza di potenzialeLV e con le armatureelettrizzate
con carichedi modulo Q è in grado di accumulareun'energiaw, datadalle formule
w,:
lt"Q2
:
1SLV
ICLV!::-
(21)
Carica e scarica di un condensatore
Esaminiamoqui, come rischiestodalla traccia,i processidi carica e scaricadi un condensatore.
o Processo di carica Consideriamoun condensatoredi capacitàC che viene caricato da un generatore
ideale di tensione che mantiene una differenza di potenziale Vs; il circuito conduttore che collega il
generatoreal condensatoreha una resistenzacomplessivaR. Risolvendo l'equazione differenziale che
descrive questo sistemasi dimostra che (indicando con / : 0 s l'istante in cui ha inizio il processo)
durantela carica del condensaforela carica Q(r) presentesulla sua armaturapositiva varia con la legge
? f t ) : c v o ( t- e - # ; .
(22)
Questaleggeprevedeche il condensatoreabbia car.icae(0) : 0 C all'inizio del processodi car.icae che
essoarrivi per r -+ -F- alla sua caricamassimapari a eo : CVo.
L intensità della correntedi caricadel condensatoreè data dalla derivatadella formula precedente:
t\t):
do(t)
G:-:
Vn ,
*e-ne
(23)
Durante il processodi caricail generatoreideale compie un lavoro 1416,
necessarioper trasportareal suo
interno la carica Bs, dato dall'espressione
WG: Q|Vo: CV?
(24)
Alla fine del processodi carica il condensatoreha immagazzinatoI'energia data dalle formule (21);
con
le notazioniqui introdottesi trattadell'enereia
w,:)cv],
(2s)
uguale alla metà del lavoro fatto dal generatore. Per la conservazionedi energia,
una uguale quantità di energiaWR: W, è dissipataper effetto Joule sui conduttori di connessionetra il generatore
e il
condensatore
Vale la pena di notare che il valore di I7À è del tutto ind.ipendenteda quello di R: attraverso
le formule
(22) e (23), il valoredellaresistenza
determinala rapiditàdel processodi caricae quindi anchela rapidità
con cui I'energiaè dissipata,ma non ne stabílisceil valorecomplessivo.
Processo di scarica Consideriamoora un condensatoredi capacità C, sottoposto
a una differenza di
potenzialeVs e che,quindi,portasull'armaturaposiúvauna carica
CVo.
eo:
Essovienescaricatocollegandoi suoiterminalitra loro medianteun conduttoredi resistenza
complessiva
R. Risolvendo una secondaequazionedifferenziale si dimostra che (indicando con / :0
s I'istante in
cui ha inizio il processo)durantela scaricadel condensatorela carica
e(r) presentesulla sua armarura
positiva varia con la legge
Q0 : CYae-#
(26)
Essa prevedeche il condensatoreabbia carica p(0) :
Qs all'inizio del processodi scarica e che esso
arrivi per t -l *- alla caricafinale pari a 0 C. Come conseguenzadella formula precedente,
la differenza
di potenzialev(l) tra le armaturedel condensatoreè data dalla formula
1
-ee
v('):!ool:euot
:yrs-
ft
{21)
Ancora una volta I'intensità della correntedi scaricadel condensatoreè data dalla derivata
della funzione
QU):
dQftt
vn
d;:Rt-o'
Duranteil processo
di scaricavienedissipatasullaresistenza
R, per effettoJoule,tuttal,energia
i(r\ :
: lrrî
Wn:W"
(28)
(2e)
che era immagazzinatanel condensatore.Ancora una volta, il valore di I/p non
dipendeda R.
Prima parte del problema: la rete di condensatori
QuandoI'intemtttore 7 è sutla posizione I, il generatorecarica la rete formata dai tre condensatoridi capacità
C1,C2 e Cs.
Analizzando lo schemariportato nel testo vediamo che le capacitàC1 e C2
sono in parallelo tra loro e,
quindi, sono equivalentia un'unica capacitàCp pan a
Cn : Cr * C2: (10,0+ 14,0)pF: 24,0tfi .
(30)
In secondoluogo, Ia capacitàC3 è in seriea C12.Per la formula (20),la capacitàcomplessivaC del sistemaè
datada
:6,00rrF.
c: =ct,,c): (za'oqllI(9,oopr)
Ce*C3
(32,0pF)
(31)
Ora possiamofare ricorso alla secondadelle formule (21), con AV : 10,0V come indicato dal testo,e scopriamo che l'energia immagazzinatadalla rete di condensatorialla fine del processodi carica è:
w, : !66y2: I x (6,00.l0-6F)x (10,0v)2: 3,00. t0-4J.
(32)
LL
Secondaparte del problema: il valore di R,
Con I'intemrttore I posto nella posizione 2, il generatoredi tensioneviene escluso dal circuito e la rete di
condensatori,che ha la capacitàequivalenteC : 6,00pF calcolatain precedenza,si scaricaattraversoil sistema
di resistori posto nella parte destradello schema.
Indicata con Vs : 10,0V la differenzadi potenzialepresenteai capi del condensatoreequivalenteall'inizio
del processodi scarica,la traccia stabilisceche tale d.d.p. si riduce a V :0,368V0 all'istantef : 18,0 s,
misurato a partire dall'inizio del processo.Così I'equazione(27) diviene
:Voe-# '
0,368Vs
(33)
AbbiamoottenutocosìI' equazione
esponenziale
0 , 3 6 8: e m ,
(34)
che si risolve estraendoprima il logaritmo naturaledi entrambi i membri:
-ÀC : ln(0'368)
: *1,00,
t
(35)
e poi ricavandoI'iacognitaR richiestadallatraccia
R: t:
c
-S*-F
: 3,00.
io6o: 3,ooMo.
6.00.t0-óF
(36)
Le connessioniin serie e in parallelo di resistori sono geometricamenteidentiche a quelle di condensatori,ma
le leggi che fomiscono le resistenzeequivalentisono diverseda quellerelative ai condensatoriequivalenti.Così
il valoredi R appenacalcolatoè dato dallasommadi R2 con il paralleloRry tra R1 e la resistenzaincognitaR,.
Ne consegueche possiamocalcolare
Rr, : À-rRz: (3,00- 1,00)MO: 2,00MQ.
(37)
A questopunto,perle dueresistenza
in paralleloè conveniente
scriverela relazione
1 1-1
-&'
R,, &
(38)
da cur s1ncava
111111
Rr Rr, rR1 2,00MQ
3,00M0
6,00MO'
(3e)
Abbiamo così trovato il valore richiesto
rRr:6,00MO
10
(40)
Terza parte del problema: l'energia dissipata
Comesi è dettoin precedenza,
durantei'intera scaricadel condensatore
I'insiemedei tre resistoridissipatutta
I'enersia
I{. : 3,00.10-4J
(41)
che era immagazzinatanella rete di condensatori.Per rispondereall'ultima domandadella traccia,ricordiamo
che la potenzaP dissipataper effetto Joule da un conduttoredi resistenzaÀ, ai cui capi è postauna d.d.p. AV e
che è attraversatoda una coffenteelettrica di intensità i è data dalle formule
P:iLV:*f:*
(42)
Consideriamodapprimail collegamentotra le resistenzeR2 e R1ache, essendopostein serie,sono attraversate
dalla stessacorrente.Allora, per la secondadelle formule precedenti,la potenzaP2 dissipatasu R2 e la potenza
P1, dissipatasu R15sono direttamenteproporzíonali alle rispettiveresistenze.
Vìsto che R1; è il doppio di R2, anchePr, è il doppio di P2, e 1o stessovale per le energiedissipate.Così,
1,00. 10-4J di energiasonodissipatisu R2 e 2,00. 10-4J di energiasonodissipatisu R1y.
Ora,R1 e R" sonocollegatiin paralleloe, di conseguenza,
ai loro estremíè applicatala stessad.d.p.;quindi,
perlaterza delle formule precedentile potenzeche esseerogano,e anchele energiedissipatesu di esse,sono
inversamenteproporzionali alle rispettiveresistenze.
Allora, visto che R, è il doppio di R1, l'energia dissipatasu R, è la metà di quella dissipatasu .1t1.Possiamo
così afflermareche 1'energia]7, dissipatasu R, è un terzo di quella che competea R1r; otteniamo,quindi:
2 ' o o- l o - 4 J
:6,6j'10-sJ,
w *
(43)
mentreil doppiodi questaenergiaè dissipatasuR1.
Calcolo alternativo dell'energia dissipata
In realtàil testodella tracciaè ambiguoe non è chiarissimosel'estensorerichieda I'energia dissipatanell'intero
processodi scarica(secondoI'interpretazionedata nel calcolo precedente)o quella dissipatanell'intervallo di
tempotrat=0sel=lSs.Inquestosecondocasooccorrefarericorsoaunintegraledefinito.
Come punto di partenzapartiamo ancoradalla considerazioneche,visto che rR1"è il doppio di R2, anchela
d.d.p. ai capi di R1" (e, quindi, ai capi di &) è il doppio di quella che esisteai capi di Rz. Otteniamoquindi che
differenzadi potenzialeV, ai capi di R/ è uguale ai due terzi di quella applicataall'intero sistemadi resistenze:
116:?r,,-*,
(44)
JJ
dove si è ricordata la formula 127).
Per laterza delle formule (42),la potenzaP, dissipatasu R, si può calcolarecome
P*(t):
Y:#,-+
& e&-
(45)
Allora I'energiaEr(ro) dissipatasu R" tra I'istante/r = 0 s e I'istantefr : fo si calcolacome
: r"1,1a,
:
E,(ro)
fo"
(46)
Nel limite di rs -+ ** si consideraI'intera scaricadel condensatore;in tal casol'ultimo termine esponenziale
nella formula precedentetendea 0 e si ottiene:
2 x (10,0v)2x (3,00.106fi)x (6,00.10-6F)
: 6 , 6 7x 1 0 - 5J .
9 x (6,00'106O)
Abbiamo così rilrovato, come controllo, il risultato già ottenutonella precedenteformula (43).
u
(47)
Ponendoinvecets = 18,0s, dalla formula (43) otteniamoil risultato finale
:ry#('-,-#) : rc,67x
E,(r8,0s)
r0-5r)"
(' -"--t-+rlr-) :
:(6.6i x t0-5J). (r -"
**)
:6.6i
x l 0 - s J ) x ( l - e - : , o o ;-
: ( 6 , 6 1 x 1 0 - 5 J ) x ( 0 , 8 6 5:)5 , J i x 1 0 - 5 J ,
che fornisce,come si voleva,I'energiadissipatasu À, tra I'inizio del processodi scaricae I'isfantetz =18,0 s.
la