Sulla lunghezza della circonferenza o sul perimetro del cerchio

Sulla lunghezza della circonferenza
o sul perimetro del cerchio
Inquadramento della lezione
In questa lezione parlerò del numero pi greco (π), in particolare del metodo di Archimede, il
primo metodo di calcolo di pi greco basato sulla sua definizione geometrica.
Farei questa lezione in un bienno di liceo scientifico, dato che questo metodo necessita solo
del teorema di Pitagora e poco più. Oppure in un quinto liceo scientifico durante lo studio
delle successioni e per introdurre in maniera intuitiva il concetto di integrale.
Introduzione
Come prima cosa ricorderei cos’è una circonferenza. La circonferenza come luogo
geometrico dei punti del piano equidistanti di una quantità fissa, detta raggio, da un punto
fisso, detto centro.
Conoscendo il raggio, quanto è lunga la circonferenza? In realtà quando si prende un oggetto
circolare è più facile misurare il diametro che non il raggio! E infatti agli antichi piaceva più
chiedersi: conoscendo il diametro, quanto è lunga la circonferenza?
Esempio del quadrato. Se il lato è l, il perimetro è 4l. Il numero che lega il perimetro e il lato è
4. In un pentagono è 5 e così via. Per il cerchio purtroppo non si aveva a disposizione un lato
ma solo il diametro o il raggio! Si vedeva comunque chiaramente che la relazione tra
diametro e circonferenza non era un numero intero.
Poi presterei molta attenzione alla definizione di π (pi greco). Data una circonferenza di
diametro d, pi greco è definito come la lunghezza della circonferenza fratto il diametro.
π = C/d
Tale definizione non è per niente scontata per i ragazzi. Dedicherei qualche minuto al fatto
che il calcolo di pi­greco richiede che, dato il diametro, devo trovare un modo per conoscere
la lunghezza della circonferenza. Calcolato il valore di pi­greco una volta per tutte, le
successive volte potrò calcolare la lunghezza della circonferenza come C = π d = 2 π r.
In proposito dedicherei qualche minuto a un approccio empirico al calcolo di π, facendo
misurare con una fettuccia da sarto diametro e circonferenza di oggetti circolari.
L’idea del metodo di Archimede
Dopo questa prima parte inizierei a parlare del metodo di Archimede. Archimede fu il primo
che usò un approccio quasi moderno al calcolo della lunghezza della circonferenza. Egli capì
che la lunghezza della circonferenza poteva essere stimata per eccesso dal perimetro di un
poligono regolare circoscritto e per difetto dal perimetro di un poligono regolare inscritto.
Chiaramente più aumentano i lati, migliore sarà l’approssimazione. Questo era l’unico modo
di agire perché si sapevano trattare solo figure piane come somma di triangoli. Non c’era
modo di trattare figure curve.
Per motivi di semplicità di calcoli, Archimede partì da esagoni e raddoppiò di volta in volta il
numero di lati. Egli partì da un esagono circoscritto e uno inscritto e raddoppiò poi di volta in
volta il numero dei lati ricavando ogni volta i perimetri.
Il metodo di Archimede
Indichiamo con n la n­esima duplicazione dei lati. n = 0 corrisponderà a 6 lati (esagoni), n = 1
corrisponderà a 12 lati (dodecagoni) e così via. Indichiamo con an e bn i lati dei poligoni
inscritti e circoscritti all’n­esima duplicazione. Indichiamo con An e Bn i perimetri dei poligoni
inscritti e circoscritti all’n­esima duplicazione. Si avrà chiaramente che all’aumentare di n, An
crescerà mentre Bn diminuirà ed entrambi tenderanno alla lunghezza della circonferenza
(disuguaglianza triangolare). Quindi An sarà una stima per difetto di C, mentre Bn una stima
per eccesso.
A0 < A1 < … < An < … < C < … < Bn < … < B1 < B0
dividendo per d si avrà che
An/d < π < Bn/d
Come prima cosa calcoliamo il lato del poligono circoscritto, una volta noto quello del
poligono inscritto.
Relazione tra lato del poligono inscritto e il lato del poligono simile circoscritto
I triangoli ABC e AB’C’ sono simili. Quindi possono conoscere il lato esterno B’C’ (bn) una
volta noto il lato interno BC (an):
B’C’/BC = AH’/AH
Si vede chiaramente dal triangolo ABH che
AH = sqrt((d/2)2 ­ (an/2)2)
da cui
bn = B’C’ = BC d/2 1/AH = an/sqrt(1 ­ (an/d)2)
Lato del poligono inscritto conoscendo il lato del poligono con la metà dei lati
Supponendo di conoscere il lato an ci si domanda quale sia la relazione che lo leghi al lato del
poligono con il doppio dei lati, an+1.
Si vede che an+1 corrisponde al segmento BH’. Avevamo già visto che
AH = sqrt((d/2)2 ­ (an/2)2)
Inoltre
HH’ = d/2 ­ AH = d/2 ­ sqrt((d/2)2 ­ (an/2)2)
Considerando il triangolo BHH’ si ha
an+1 = BH’ = sqrt(BH2 + HH’2) = sqrt( (an/2)2 + (d/2 ­ sqrt((d/2)2 ­ (an/2)2))2 )
semplificando
an+1 = d/sqrt(2) sqrt(1­sqrt(1­(an/d)2)) = d/2 (sqrt(1+an/d) ­ sqrt(1­an/d))
Approssimazione di π
Ora non ci resta che calcolare per ogni n, il limite superiore e inferiore di π. Tale calcolo potrà
essere fatto con un semplice foglio di calcolo dando come esercizio ai ragazzi di capire
quante duplicazioni servono per avere un certo numero di cifre decimali esatte di pi greco.
Dato che a0 = d/2
e che
an+1 = d/2 (sqrt(1+an/d) ­ sqrt(1­an/d))
An = 6 2n an
Bn = 6 2n bn = 6 2n an/sqrt(1 ­ (an/d)2) = An/sqrt(1 ­ (an/d)2)
possiamo calcolare
A0/d < π < B0/d
da cui
3 < π < 2 sqrt(3)
Poi per n = 1, a1 = d/(2sqrt(2)) (sqrt(3) ­ 1)
A1/d < π < B1/d
da cui
3sqrt(2)(sqrt(3) ­ 1) < π < 12 (2 ­ sqrt(3))
e così via.