Primi, pi greco e poligoni regolari.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E FISICA
Tesi di Laurea Specialistica in Matematica
Sintesi
Primi, pi greco e poligoni regolari.
Proposte didattiche di laboratori di matematica curriculare
per la scuola primaria e secondaria.
Relatore
Candidato
Prof. Corrado Falcolini
Giorgia Brunetti
Anno Accademico 2012-2013
Maggio 2014
Nelle Indicazioni Nazionali per il curricolo della Scuola del Primo e
Secondo Ciclo d’Istruzione del 2012 del Ministro Francesco Profumo, è esplicita
l’attenzione all’uso delle tecnologie come mezzo integrativo nella didattica scolastica,
ancor più sensibile per le materie scientifiche. Seppur abituato nella vita di tutti i giorni a far uso di mezzi informatici, l’alunno ha bisogno di essere guidato all’utilizzo di
tali mezzi, in modo critico, come supporto per il proprio percorso d’apprendimento. Il
computer ha rivoluzionato il modo di comunicare ed aperto alternative nel campo dell’apprendimento, dello studio e della ricerca delle fonti; ha fatto il suo ingresso nella
scuola già negli anni ’90 tuttavia non è superfluo il lavoro di sensibilizzazione ai programmi informatici didattici finalizzati, oltre che a facilitare l’interesse dell’alunno nei
confronti della materia, anche a porlo davanti alle sue potenziali capacità, di risolvere
problemi di tipo didattico in maniera autonoma, una volta appreso il funzionamento
della macchina e del software. Questo consente all’allievo di essere attivo nel suo stesso
processo di apprendimento. L’insegnamento della matematica, come di molte altre discipline tecnico-scientifiche, presenta diversi problemi legati alle metodologie didattiche;
il calcolatore può modificare positivamente l’insegnamento di tale disciplina nei diversi
livelli scolastici. In commercio, ma anche disponibile in rete come open source, esistono diversi software didattici, per il lavoro di questa tesi, durante lo svolgimento delle
attività nel laboratorio informatico, si è fatto uso di GeoGebra (che ha più facilmente
permesso agli alunni di visualizzare la geometria e l’approccio alla soluzione costruita,
attraverso il riscontro grafico), del foglio di calcolo e di un software avanzato Mathematica disponibile in rete come Wolfram Alpha.
Nel primo capitolo ci si è occupati di questioni didattiche: mentre fin dai tempi più
remoti quello dell’insegnamento era un impegno focalizzato sul passaggio del sapere dal
maestro all’allievo, per cui, chi era dotato di migliori capacità personali meglio riusciva,
nella didattica moderna ci si preoccupa di capire le condizioni sotto le quali l’allievo può
1
esser messo nella migliore predisposizione all’apprendimento. Sotto questo nuovo punto
di vista, si sono verificati dei coinvolgimenti di competenze in diversi campi scientifici:
occupandosi di matematica, di insegnarla, diventa necessario anche un approfondimento
psicologico e pedagogico. Subentra l’esigenza di una vera e propria comunità di persone
specializzate nei diversi campi, per poter affrontare questioni di insegnamento della
matematica alla luce dei molteplici fattori in gioco. Esistono oggi dei veri e propri gruppi
di ricerca in ‘‘didattica della matematica’’: il TME (Team Matemathic Education), che
si è formato durante l’ICME V (Congresso Internazionale di Educazione Matematica)
nel 1984 e si riunisce per approfondirne la specificità analizzando temi sociali e specifici
dei vari punti di vista dell’apprendimento, il PME (gruppo internazionale di studio
sulla psicologia dell’educazione matematica), che ha riunioni proprie in tutto il mondo e
l’AIRDM (Associazione Italiana di Ricerca in Didattica della Matematica), costituitasi
di recente (nel 2012), che intende contribuire al miglioramento dell’insegnamento della
matematica nei diversi ordini scolastici. Il Gruppo PME, ha sottolineato la necessità di
tener conto, tra le varie, le ulteriori problematiche:
• la specificità della conoscenza matematica, che porta inevitabilmente allo studio
dei processi cognitivi degli allievi piuttosto che allo studio delle loro capacità o
risultati raggiunti;
• la dimensione sociale dell’apprendimento della matematica all’interno di un contesto specifico.
Nel 1989 Guy Brousseau [1933], professore di matematica presso l’Institut Universitaire de Formation des Maîtres d’Aquitaine (IUFM), definisce la concezione di didattica
matematica come scienza, ‘‘una scienza che si interessa alla produzione e comunicazione
delle conoscenze matematiche”. Egli considera il fenomeno insegnamento-apprendimento
da un punto di vista d’insieme, caratterizzando una situazione didattica come insieme
2
di relazioni tra l’insegnante, l’allievo e gli strumenti utilizzati, identificando in essa due
componenti:
• una situazione a-didattica (ambiente organizzato per l’apprendimento di un certo
argomento, in cui viene a cadere l’intenzione didattica, questa non viene dichiarata
e l’allievo è coinvolto nell’attività senza però vivere l’obiettivo didattico);
• un contratto didattico (una sorta di ideale verso il quale si tratta di convergere).
L’alunno deve essere condotto verso una situazione a-didattica finale di riferimento, quella che caratterizza il sapere, facendo entrare l’allievo in un funzionamento matematico,
di fronte ad un problema che si vuole risolvere.
Apprendere per adattamento all’ambiente comporta accomodamento, rotture cognitive, cambiamento nei modelli impliciti, nei linguaggi e nei sistemi cognitivi. Lo studente
che nel tempo costruisce un concetto, se ne fa anche un’immagine e questa sarà confermata nel corso della sua carriera scolastica. Potrebbe capitare però, che l’immagine
si riveli inadeguata rispetto ad un’altra proposta in seguito dall’insegnante o da altri,
concretizzando un contrasto con quello che egli credeva definitivo. In alcuni casi certe
immagini rappresentano dei veri e propri ‘‘misconcetti”, interpretazioni errate delle informazioni ricevute. L’allievo dichiara la sua misconcezione attraverso la segnalazione
di un malessere cognitivo che solitamente viene identificato come ‘‘errore” : lo studente
non dà la risposta che l’insegnante vorrebbe, quindi sbaglia. Sta al docente riconoscere
nelle risposte sbagliate dell’alunno le misconcezioni; Federigo Enriques [1871-1946] scriveva: l’errore «non appartiene né alla facoltà logica né all’intuizione, [ma] s’introduce
nel momento delicato del loro raccordo».
Una teoria dell’apprendimento matematico si basa sugli studi cognitivi, si assume
perciò di base che l’allievo costruisca in modo attivo una propria conoscenza interagendo con l’ambiente e organizzando le sue costruzioni mentali. L’istruzione influenza ciò
che egli apprende ma non determina l’apprendimento, la conoscenza non viene recepita
3
passivamente ma rielaborata in modo autonomo, costantemente. Secondo le Raccomandazioni del Consiglio d’Europa del 18/12/20061 , ‘‘imparare ad imparare” è una delle
competenze chiave che l’allievo deve possedere, che forniscono le basi per un apprendimento che dura tutta la vita. Verso la fine degli anni ’70, sono cominciati a comparire,
nell’ambito della psicologia cognitiva applicata all’educazione, i primi studi relativi alla
metacognizione. Il concetto di metacognizione fa riferimento sia alla consapevolezza del
soggetto rispetto ai propri processi cognitivi (conoscenza metacognitiva), che all’attività di controllo esercitata su questi stessi processi (processi metacognitivi di controllo).
Partendo da quanto si è appreso in precedenza in termini di conoscenza e di esperienza,
gli alunni riescono ad applicarlo nei molteplici contesti di vita: casa, lavoro, istruzione e formazione. La motivazione, la fiducia, l’autostima e le diverse variabili emotive,
diventano allora elementi fondamentali. «Imparare ad imparare comporta che l’alunno
conosca e comprenda le proprie strategie di apprendimento preferite, i punti di forza ed
i punti deboli delle proprie abilità e qualifiche e sia in grado di ricercare le opportunità
di istruzione e formazione e gli strumenti di orientamento e/o sostegno disponibili». Il
docente che utilizza le strategie didattiche metacognitive, attiva nei propri alunni tutte
quelle abilità trasversali che permettono all’alunno, nel processo di apprendimento, di
saper riconoscere autonomamente le situazioni cognitive e le più opportune strategie da
applicare.
Tra i vari protagonisti della storia della didattica matematica italiana, si ricorda la
Prof.ssa Emma Castelnuovo, da poco scomparsa, che lascia forte testimonianza di come
poter insegnare la matematica, alla luce degli obiettivi sopra citati. Nel suo lavoro,
caratterizzato da grande innovazione nell’insegnamento della matematica degli ultimi
cento anni, è esplicita l’attenzione sull’alunno, nelle mostre di matematica da lei organizzate erano gli alunni stessi a prenderne parte e a realizzarle. Nella tesi si riportano
alcuni sui scritti, che hanno permesso di descrivere non solo il suo impegno, ma anche
1
http://www.indire.it/db/docsrv//PDF/raccomandazione_europea.pdf
4
quello di altri noti matematici che hanno caratterizzato e promosso la matematica come
crescita culturale nella scuola e negli studi in genere.
Il resto del lavoro è articolato su altri tre capitoli, uno per ogni livello di scuola,
primaria, secondaria di primo e di secondo grado, in cui vengono descritte alcune attività didattiche di approfondimento, proposte rispettivamente nelle classi quinta nella
primaria, terza nella secondaria di I grado e quarta nella secondaria di II grado, di un
Istituto Paritario di Roma. I capitoli sono organizzati nella stessa modalità: un’introduzione storico-teorica per presentare l’argomento, la proposta didattica vera e propria,
eventuali schede didattiche e materiale utilizzato, ed in ultimo alcune considerazioni
sulla risposta degli alunni.
Nel secondo capitolo viene descritta l’esperienza nella scuola primaria. Dalle ‘‘Indicazioni Nazionali per il curricolo della scuola del primo ciclo d’istruzione”: «Nella
scuola primaria si potrà utilizzare il gioco, che ha un ruolo cruciale nella comunicazione, nell’educazione al rispetto di regole condivise, nell’elaborazione di strategie adatte a
contesti diversi. La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati,
consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un’acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica
della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come
questione autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione
o una regola». Secondo le indicazioni nazionali, oltre che guidare l’alunno verso una
maturità del pensiero matematico come sopra descritto, si richiede che al termine della
scuola primaria, egli abbia acquisito, tra i vari obiettivi, anche la capacità di eseguire la
divisione con resto fra numeri naturali e di individuare multipli e divisori di un numero.
5
É inoltre specificato che: «L’uso consapevole e motivato di calcolatrici e del computer
deve essere incoraggiato opportunamente fin dai primi anni della scuola primaria, ad
esempio per verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per esplorare il mondo
dei numeri e delle forme». Attraverso la storia dei numeri primi si vuole suggerire uno
spunto di riflessione sul peso che hanno oggi questi numeri in attività pratiche che si
svolgono abitudinariamente e sull’importanza basilare che hanno nella costruzione degli
altri numeri naturali.
Nel capitolo si ripercorrono dapprima alcune delle tappe fondamentali sull’evoluzione
delle conoscenze e consapevolezze matematiche sui numeri primi e si annotano alcuni
risultati basilari della teoria dei numeri, sufficienti a svolgere l’attività didattica che si
vuole proporre.
In classe i bambini, attraverso l’osservazione di alcuni numeri scritti alla lavagna,
vengono coinvolti in un confronto aperto con l’obiettivo di arrivare a caratterizzare
la struttura di un numero in base ai suoi fattori; individuando i divisori del numero
di partenza, si osserva che si possono rintracciare alcuni divisori che a loro volta non
possono essere più scomposti. La classe conosceva già la definizione di numero primo
ed il passaggio successivo è stato quello di utilizzare i numeri primi per costruire altri
numeri più grandi, composti. Attraverso alcune schede didattiche è stato proposto alla
classe, un gioco per osservare una proprietà del numero 150. Tale gioco è stato proposto
dal Prof. Falcolini al Festival della Scienza a Genova nel 20112 , in occasione appunto
del 150◦ anniversario dell’Unità d’Italia. Partendo dal calendario di Marzo, i bambini
hanno trovato i numeri primi tra 1 e 31 applicando il crivello di Eratostene:
2
Mostra ‘‘Unità di misura e misura dell’unità’’ a cura del laboratorio www.formulas.it
6
Se dalla lista dei numeri primi ottenuti si eliminano i fattori di 150, si ottiene una
seconda lista la cui somma dei termini restituisce proprio 150.
Per l’attività in laboratorio di informatica, è stato suggerito alla classe di chiedere
a casa, alcuni numeri a caso e di annotarli; nell’incontro successivo, in laboratorio,
dopo aver mostrato agli alunni alcune operazioni di base nel foglio di calcolo di Excel,
ed aver svolto una prima scomposizione insieme del numero 38.564, quei numeri sono
stati testati: attraverso le divisioni successive ed una tavola di numeri primi fornita in
precedenza, ci si è resi conto che trovare un ‘‘primo’’ tra alcuni numeri presi a caso
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non ha poi una così alta probabilità. I risultati del loro lavoro al computer sono stati
annotati su una scheda.
La risposta di questa classe all’approfondimento proposto è stata senza dubbio la più
forte, i bambini si sono lasciati coinvolgere, godono ancora di quella libertà di pensiero e
di comunicazione che gli permette, e ci permette, di condividere ragionamenti originali,
naturali, che diventano per gli insegnanti, nuovi spunti di riflessione. Al termine del
lavoro è stato chiesto ai bambini di esprimere una loro considerazione sull’attività; si
riportano di seguito alcune risposte.
Benedetta: io penso che è stato tutto molto bello e interessante perché visto che voglio
diventare un ‘‘Matematico della Materia’’ queste cose mi incuriosiscono. Poi se mi
viene qualche dubbio chiedo sempre a mio padre che è un ingegnere. La cosa che
mi ha incuriosito di più è stata il numero primo più grande che hanno trovato.
Lorenzo: penso che i numeri primi mi hanno un sacco incuriosito e la cosa più bella di
queste è stata quando siamo andati in laboratorio perché ho visto come si dividono
i numeri.
8
Daniele: mi piacciono i numeri primi perché possono formare un po’ di cose come i
numeri composti.
Patrizia: io non sono mai stata brava in matematica però questi numeri per me erano
un po’ interessanti.
Nel terzo capitolo, sempre rispondendo alle richieste delle ‘‘Indicazioni Nazionali’’,
si è proposta la costruzione di un’approssimazione di π: «L’alunno analizza le situazioni
per tradurle in termini matematici, riconosce schemi ricorrenti, stabilisce analogie con
modelli noti, sceglie le azioni da compiere (operazioni, costruzioni geometriche, grafici,
formalizzazioni, scrittura e risoluzione di equazioni...) e le concatena in modo efficace al
fine di produrre una risoluzione del problema. Un’attenzione particolare andrà dedicata
allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i
procedimenti seguiti». Tra le altre cose, viene richiesto che l’alunno sappia «stimare
per difetto e per eccesso l’area di una figura delimitata anche da linee curve» inoltre
«conoscere il numero π ed alcuni modi per approssimarlo». Nel campo della tecnologia
si richiede «quando possibile, gli alunni potranno essere introdotti ad alcuni linguaggi
di programmazione particolarmente semplici e versatili che si prestano a sviluppare il
gusto per l’ideazione e la realizzazione di progetti (...)».
In classe sono state ripercorse alcune delle principali tappe della storia dell’approssimazione di π, una ricerca di più di duemila anni che solo verso gli anni ’50, grazie
all’uso dei calcolatori, ha potuto fare un enorme salto in avanti per quanto riguarda
la velocità di calcolo e la precisione. Ai ragazzi divisi in gruppi sono stati forniti dei
cerchi di diverso diametro di cui, attraverso l’uso di un nastrino ed un metro, hanno
potuto misurare la circonferenza. Su ognuno di questi cerchi in cartone era segnata la
misura del diametro ed hanno potuto riscontrare, anche se in maniera approssimativa,
il rapporto tra la misura della circonferenza ed il diametro. Si riportano le misurazioni
rilevate dal gruppo Tolomeo:
9
GRUPPO TOLOMEO
Diametro (cm)
Circonferenza (cm)
Circonferenza/Diametro
34
107,9
3,17
20
63
3,15
Attraverso il metodo si approssimazione di Archimede, partendo da un esagono inscritto in una circonferenza di raggio unitario e utilizzando ripetutamente il Teorema
di Pitagora (che la classe utilizzava ormai con estrema dimestichezza), si è stimato il
valore del lato del dodecagono, ricavato intersecando le bisettrici degli angoli al centro
dell’esagono con la circonferenza.
Dopo aver riprodotto graficamente con GeoGebra la costruzione del dodecagono,
partendo dall’esagono e raddoppiando il numero dei lati, è stata costruita una tabella
con Excel per calcolare alcune approssimazioni di π sostituendo la circonferenza con i
perimetri dei poligoni inscritti. Osservando la tabella si è potuto notare che con un
10
poligono di 96 lati, si è raggiunta l’approssimazione di π alla seconda cifra decimale.
In realtà è possibile ottenere un’approssimazione di π con precisione alla seconda cifra
decimale, già con un poligono di 57 lati3 . Con l’ausilio della LIM (Lavagna Interattiva
Multimediale) si è inoltre mostrata alla classe l’animazione di un poligono regolare inscritto in una circonferenza, nel quale era possibile variare il numero dei lati per ottenere
un’approssimazione via via migliore. Ci si è soffermati su un poligono di 57 lati, che
già visivamente somigliava al cerchio, su quello di 96 lati studiato da Archimede e su
uno di 150 lati, tutti graficamente indistinguibili da una circonferenza. La differenza fra
poligoni e circonferenza, risulta più evidente ingrandendo il particolare di un lato. Nella
scheda finale proposta, più della metà della classe, ha menzionato come miglior poligono
che approssima il cerchio, quello di infiniti lati. Di proposito, durante gli incontri, si è
prestata attenzione a non menzionare il termine ‘‘infinito”, perciò se ne può dedurre, che
i ragazzi sono già in possesso, intuitivamente, di concetti matematici che, se incoraggiati,
con ragionamenti logico-deduttivi, riescono ad esprimere. Anche a loro è stato chiesto
di esprimere delle considerazioni sulla proposta didattica:
Michela: Non amo la matematica ma userò il programma perché con questa esperienza
mi sono divertita anche imparando cose nuove.
Pietro: : Ho trovato la lezione su GeoGebra molto interessante ed è per questo che l’ho
già scaricato sul mio computer. (...) Credo che queste ultime lezioni sul pi greco
siano state molto carine ed interessanti, specialmente quella su GeoGebra, visto
che noi giovani ormai usiamo molto il computer e, farci vedere come si costruisce
un esagono o darci delle formule da fare sul computer, può aiutarci a ricordare
meglio e a stimolare la nostra mente.
Anonimo: La matematica è diventata divertente grazie probabilmente all’uso di GeoGebra e del computer.
3
www.treccani.it/scuola/lezioni/in_aula/matematica/curiosita_divertimento/falcolini.html
11
Alessia: L’approfondimento è stato molto interessante, poiché spesso mi sono chiesta da
cosa si ottiene il π.
Il quarto capito conclude la tesi con la descrizione dell’approfondimento proposto
nella classe quarta del Liceo Scientifico: «L’utilizzo delle TIC (Tecnologie dell’informazione e della comunicazione), è strumentale al miglioramento del lavoro in classe e come
supporto allo studio, alla verifica, alla ricerca, al recupero e agli approfondimenti personali degli studenti». Dal Profilo educativo, culturale e professionale, lo studente liceale
deve: «essere in grado di utilizzare criticamente strumenti informatici e telematici nelle
attività di studio e di apprendimento (..)». Dalla descrizione degli Obiettivi specifici di
apprendimento di Geometria del:
Primo biennio «La realizzazione di costruzioni geometriche elementari sarà effettuata
sia mediante strumenti tradizionali (in particolare la riga e compasso, sottolineando il significato storico di questa metodologia nella geometria euclidea), sia
mediante programmi informatici di geometria».
Secondo biennio «Studierà le proprietà della circonferenza e del cerchio e il problema
della determinazione dell’area del cerchio, nonché la nozione di luogo geometrico,
con alcuni esempi significativi. Lo studio della geometria proseguirà con l’estensione allo spazio di alcuni dei temi della geometria piana, anche al fine di sviluppare
l’intuizione geometrica».
Dopo aver accennato in classe la teoria delle costruzioni con riga non graduata e compasso molle, introducendo i Postulati di Euclide e traducendoli nelle operazioni che si
possono o non possono fare, si sono ripresi alcuni dei procedimenti per realizzare qualche
poligono regolare. Con i ragazzi ci si è interrogati su quali siano quelli costruibili con
tale tecnica e quali no. Una risposta a questo problema, tra i più antichi nella storia
della matematica (IV secolo a.C.), è stata fornita solo nel XIX secolo dall’algebra mo-
12
derna. Introducendo i numeri primi di Fermat è stato enunciato il Teorema di Gauss
per caratterizzare i poligoni costruibili con riga e compasso:
n
PRIMI DI FERMAT Fn = 22 + 1
n=0:
21 + 1 = 3
n=1:
22 + 1 = 5
n=2:
24 + 1 = 17
n=3:
28 + 1 = 257
n=4:
216 + 1 = 65537
n=5:
232 + 1 = 641 × 6700417 (Eulero, 1732)
Tabella 1: I Primi di Fermat ad oggi conosciuti.
Teorema 0.1 (F.Gauss, 1801). Il poligono regolare di n lati è costruibile se e soltanto
se n = 2k oppure n = 2k p1 · · · pm dove k ∈ N ∪ {0} e p1 , · · · , pm sono primi di Fermat.
Per validare il teorema, si è proposta poi una procedura alternativa alla dimostrazione, incentrata sull’osservazione dell’espressione della misura del lato del poligono,
tramite le formule trigonometriche4 .
Al computer, ognuno ha riprodotto la costruzione di alcuni poligoni regolari, e se ne
è proposta una come ‘‘tentativo’’ di costruzione dell’ettagono (Fig.1).
Naturalmente il tentativo non è riuscito, ma se ne è potuto verificare il fallimento
grazie alla possibilità, con il software, di ingrandire il particolare che, in una scala di
visualizzazione ridotta, aveva dato modo di ipotizzare un successo.
Analizzando la costruzione proposta, si valuta che la misura del lato utilizzata è
r 23 ≈ r · 0.866025 in sostituzione di quella esatta: 2r sin π7 ≈ r · 0.867767. Se si valuta
√
4
Come esposto dal Prof. Falcolini nel ‘‘Mathematica Italia, 4◦ User Group Meeting - Ricerca,
Didattica, Applicazioni’’, nel 2010 presso l’Università di Milano
13
Figura 1: Tentativo di costruzione di un ettagono.
l’errore relativo
errrel =
|0.867767 − 0.866025|
0.001742
=
= 0.002007
0.867767
0.867767
è chiaro che in una costruzione con un raggio della circonferenza contenuto, lo scostamento non è visualizzabile. Per esempio, in una costruzione su carta, utilizzando una
circonferenza con raggio di 3 cm, il risultato può apparire pressoché valido. Ma quella
delle costruzioni con riga e compasso è una tecnica precisa ed il computer permette in
questo caso, una verifica della inevitabile approssimazione su diverse scale.
Ai ragazzi è stato chiesto di esprimere la misura del lato dei poligoni che avevano
costruito, tramite le formule trigonometriche, per poter generalizzare quella del lato di
un poligono di n lati inscritto in una circonferenza di diametro unitario (semplicemente
per evidenziare il termine della valutazione che più ci interessa). E dal Teorema della
14
Corda risulta:
ln = 2r · sin
π
π
= sin .
n
n
Figura 2: Teorema della Corda
Su una scheda, è stato chiesto loro di annotare il valore del sin πn , per alcuni valori
di n, utilizzando il portale della Wolfram5 (con cui è possibile svolgere calcoli e ricerche
scientifiche). Questo permette, usando la funzione ToRadicals(...), di considerare il
valore esatto del sin πn grazie alla capacità del programma di effettuare calcoli simbolici.
Nei risultati ottenuti, si evidenziano i valori espressi con radici quadrate: questi ci
indicano i poligoni regolari di n lati costruibili con riga e compasso.
5
www.wolframalpha.com
15
Per identificare i poligoni regolari costruibili
sin π3 =
sin π4 =
sin π5 =
√
3
2
√
2
2q
1
2
sin π6 =
1
2
sin π7 =
NO
√
π
=
sin 10
5−
√ 5
√
2− 2
2
sin π8 =
sin π9 =
1
2
NO
√
1
4
5−1
π
sin 11
= NO
√ √
2− 3
π
sin 12
=
2
π
sin 13
= NO
π
sin 14
= NO
q
√
√
√
π
1
sin 15 = 8
3 − 15 + 2(5 + 5)
q
p
√
π
sin 16
= 12 2 − 2 + 2
In questo senso, oltre quelle riportate in tabella, si trovano delle risposte valide
π
π
π
anche per il sin 17
, sin 20
, sin 24
ed altri ancora. Quando si testa questa proprietà con
n = 257 il portale, come il software Mathematica della Wolfram, restituisce un valore
approssimato, non più esatto. Questo non vuol dire certo che il Teorema non sia valido,
ma è occasione per sottolineare agli alunni, che il computer è sicuramente un mezzo utile,
anche didatticamente, per fare matematica, di grande aiuto per fare i calcoli, ma che
va anche utilizzato in modo critico, con la consapevolezza che, data la sua limitatezza,
ad un certo punto effettuerà inevitabilmente delle approssimazioni o, nel caso di calcoli
simbolici esatti, non sarà in grado di fornirne una visualizzazione completa.
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Riferimenti bibliografici
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[14] Emma Castelnuovo. http://www1.mat.uniroma1.it/ricerca/gruppi/education/
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17
[15] Emma Castelnuovo. http://www.science.unitn.it/∼fontanar/EMMA/
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[16] Emma Castelnuovo. http://www.science.unitn.it/∼fontanar/EMMA/
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[25] http://www.mat.uniroma3.it/scuola_orientamento/alumni/laureati/delucia/
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