Simulazione moto asta + pallina

Simulazione moto
asta + pallina
Un'asta di lunghezza OP=r, incernierata in O, viene lasciata cadere da un certo angolo iniziale. Contemporanemente,
una pallina viene lasciata cadere da P. Determinare l'angolo iniziale affinche' il moto sia sincronizzato lungo l'asse y.
MA, 2009
Parametri del moto
Angolo di partenza (in radianti):
a
r
h
g
= 30 * Pi  180  N; H* angolo iniziale, qualsiasi,
= 10; H* lumghezza sbarra L *L
:= r * Sin@a D; H* altezza iniziale *L
= 9.8;
in radianti *L
Usando la Seconda Eq Cardinale della Meccanica, si dimostra che la barra, in approssimazione di angoli piccoli, si muove
di moto periodico con pulsazione (rad/s) uniforme data da:
w = Sqrt@3  2 * Hg  rLD
1.21244
Equazioni del moto
Posizione angolare della barra al tempo t:
Θ@t_D := a * Cos@w * tD;
Altezze y dei due corpi:
ya @t_D := r * Sin@Θ@tDD;
yp@t_D := h - 1  2 * g * t ^ 2;
Per un angolo iniziale qualsiasi, il moto non e' sincronizzato:
Plot@ 8 ya @tD, yp@tD<, 8t, 0, 5<D
… Graphics …
2
barra-che-cade.nb
Moto sincronizzato lungo y
Se si eguaglia il tempo di caduta della pallina K
h r =
Π2
12
2 h ‘ g ) col tempo necessario affinché wt=Π/2 , si trova che
, e quindi l'angolo iniziale dev'essere circa:
a = ArcSin@Pi ^ 2  12D H* angolo iniziale,
a * 180  Pi
55.3325
Plot@ 8 ya @tD, yp@tD<, 8t, 0, 2<D
… Graphics …
in radianti *L  N;
barra-che-cade.nb
Table @ 8 t, Θ@tD * 180  Pi, ya @tD, yp@tD<, 8t, 0, 2, 0.1<D  MatrixForm
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.
55.3325
54.9263
53.7137
51.7125
48.952
45.4728
41.3259
36.5723
31.2818
25.532
19.4073
12.9977
6.39724
- 0.297129
- 6.98714
- 13.5746
- 19.9627
- 26.0577
- 31.7702
- 37.0162
- 41.7187
8.22467
8.18414
8.0607
7.84911
7.54159
7.12917
6.60341
5.95837
5.19248
4.31015
3.32281
2.24912
1.11421
- 0.0518586
- 1.21647
- 2.34711
- 3.41408
- 4.39276
- 5.26513
- 6.0204
- 6.65474
8.22467
8.17567
8.02867
7.78367
7.44067
6.99967
6.46067
5.82367
5.08867
4.25567
3.32467
2.29567
1.16867
- 0.0563297
- 1.37933
- 2.80033
- 4.31933
- 5.93633
- 7.65133
- 9.46433
- 11.3753
Confronto Moto "esatto" e moto "approssimato"
dell'asta
ta @x_, a_D = Sqrt@1  3 * r  gD * Integrate@ 1  Sqrt@ Sin@uD - Sin@a DD, 8u, a , x<D  Re
0.583212 Re B-
2
2 EllipticFA 41 H2 a - Π L, - - 1 +Sin
E
@a D
Cos @a D
- - 1 +Sin @a D
-
Cos@a D
2
2 EllipticFA 41 HΠ - 2 xL, - - 1 +Sin
E
@a D
Sin @a D-Sin @ xD
- 1 +Sin @a D
- Sin@a D + Sin@xD
F
ta @0, a D
NDSolve@ 8u ''@tD Š - w ^ 2 * Sin@u@tDD, u@0D Š a , u '@0D Š 0<, u@tD, 8t, 0, 2<D
U@t_D = First@u@tD . %D;
88u@tD ® InterpolatingFunction@880., 2.<<, <>D@tD<<
3
4
barra-che-cade.nb
Table@ 8t, r * Sin@U@tDD, ya @tD, yp@tD<, 8t, 0, 2, 0.2<D  MatrixForm
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
1.2
1.4
1.6
1.8
2.
8.22467
8.08514
7.64403
6.84442
5.62595
3.97086
1.94741
- 0.277008
- 2.47198
- 4.41671
- 5.96681
8.22467
8.0607
7.54159
6.60341
5.19248
3.32281
1.11421
- 1.21647
- 3.41408
- 5.26513
- 6.65474
8.22467
8.02867
7.44067
6.46067
5.08867
3.32467
1.16867
- 1.37933
- 4.31933
- 7.65133
- 11.3753
tb@a_D = Sqrt@1  3 * r  gD * Integrate@ 1  Sqrt@ Sin@uD - Sin@a DD, 8u, a , 0<D  Re
1.32585
tb@a D
1.32585
FindRoot@ tb@xD Š Sqrt@2 * r  g * Sin@xDD, 8x, 1.5<D
8x ® 1.03795<
1.0379 * 180  Pi
59.4673