Diagonalizzazione

Capitolo 10
Diagonalizzazione
Una matrice simile ad una matrice diagonale si chiama diagonalizzabile, cioè A
è diagonalizzabile se
P −1 AP = ∆
dove, qui e nel seguito di questo capitolo, indicheremo con ∆ una matrice
diagonale.
Sorge il problema di caratterizzare le matrici diagonalizzabili, cioè di dare
delle condizioni necessarie e sufficienti affinchè una matrice sia diagonalizzabile.
Teorema 10.1 Una matrice quadrata di ordine n è diagonalizzabile se e solo
se ha n autovettori indipendenti.
DIMOSTRAZIONE
Siano x1 , x2 , . . . , xn n autovettori indipendenti associati rispettivamente agli autovalori λ1 , λ2 , . . . , λn e sia P la matrice
»
–
..
P =
. x
x
x
1
n
2
ottenuta accostando i vettori colonna xi . Allora si ha
–
»
..
AP =
Ax1 Ax2 . Axn
e
P · diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) =
»
λ1 x1
λ2 x2
..
.
λ n xn
quindi, essendo Axi = λxi per ogni i, si ha
–
AP = P ∆
(dove ∆ = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ) ed esendo P non singolare
P −1 AP = ∆
Viceversa sia A diagonalizzabile, cioè P −1 AP = ∆ con ∆ matrice diagonale degli
autovalori di A. Quindi
AP = P · diag(λ1 , λ2 , . . . , λn )
e se x1 , x2 , . . . , xn sono le colonne di P si ottiene
»
–
»
..
=
Ax
Ax
. Ax
λ x
1
2
n
1 1
λ2 x2
..
.
λ n xn
–
95
da cui la tesi. 2
Dal teorema 10.1 seguno subito le proprietà elencate nella seguente
OSSERVAZIONE 10.1 Se A è una matrice diagonalizzabile
i) Le matrici P che diagonalizzano la A sono le infinite matrici formate da
n autovettori indipendenti di A
ii) La matrice diagonale a cui A è simile è quella formata da tutti e soli gli
autovalori di A
iii) A è univocamente determinata dai suoi autovalori e da una n–pla di
autovettori indipendenti.
Dall’osservazione 10.1 ii) segue il
Corollario 10.2 Due matrici diagonalizzabili sono simili se e solo se hanno lo
stesso polinomio caratterisitco.
DIMOSTRAZIONE
Siano A e B le due matrici. Abbiamo già dimostrato che
se sono simili hanno lo stesso polinomio caratteristico, viceversa se hanno lo stesso
polinomio caratteristico, allora sono simili alla stessa matrice diagonale, e quindi sono
simili tra loro. 2
Il teorema 10.1 caratterizza le matrici diagonalizzabili ma non sempre è
agevole da usare. Più comodo nelle applicazioni è il teorema 10.3 che riguarda
gli autovalori di cui, per brevità, omettiamo la dimostrazione.
Teorema 10.3 Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se i suoi autovalori
sono tutti regolari
Dal teorema 10.3 segue subito il
Corollario 10.4 Una matrice A che ammette tutti autovalori distinti è diagonalizzabile.
DIMOSTRAZIONE
Infatti se tutti gli autovalori sono distinti, essi sono semplici,
e quindi A è diagonalizzabile per il teorema precedente. 2
ATTENZIONE Il corollario 10 non è invertibile: in particolare questo significa che se gli autovalori non sono tutti distinti, la matrice A può ugualmente
essere diagonalizzabile!
Poiché due matrici simili hanno lo stesso rango segue che il rango di una matrice diagonalizzabile è uguale al numero dei suoi autovalori non nulli (perché?)
Come verificare se due matrici A e B sono simili?
Calcoliamo ϕA (λ) e ϕB (λ) se sono diversi le due matrici non sono simili. Se
i polinomi caratteristici sono uguali si presentano tre casi:
i) A e B sono entrambe diagonalizzabili, allora sono simili.
ii) Una è diagonalizzabile e l’altra no, allora non sono simili.
iii) Né A né B sono simili, allora nulla si può dire.
In realtà esiste un criterio per stabilire se due matrici sono simili, che per
completezza ora enunceremo ma senza darne la dimostrazione.
96
10.1 Matrici ortogonali
Teorema 10.5 Sia A una matrice quadrata. I minori di ordine i della matrice
λI − A sono polinomi di grado i nella varibile λ. Denotiamo con Di (A) il
massimo comun divisore dei minori di ordine i estratti dalla matrice λI − A che
ha coefficiente direttore uguale a 1. Allora, se A e B sono due matrici quadrate
dello stesso ordine n, A è simile a B se e solo se
Di (A) = Di (B)
∀i = 1 . . . n
ESERCIZI
10.1. Determinare per quali
matrici

1 0
 a 0
b a
valori dei parametri sono diagonalizzabili le

0
ab + 1 b2
0 
a2
ab
0
10.2. Determinare per quali valori del parametro sono simili le matrici




1 0 0
1 3
0
0 
B=  0 5
A=  0 2 3 
0 3 2
0 0 −h
10.1
Matrici ortogonali
DEFINIZIONE 10.1 Una matrice quadrata U si chiama ortogonale se le sue
colonne formano un sistema ortonormale.
Caratterizza le matrici ortogonali il
Teorema 10.6 U è una matrice ortogonale, se e solo se
U UT = I
ˆ
˜
DIMOSTRAZIONE
Se A = A1 A2 · · · An dire che le colonne di A sono
ortonormali significa dire che hAi , Ak i = 0 ∀i 6= k e che kAi k = 1 ∀i Quindi che
n
0 se h 6= k
hAi , Ak i = δik =
1 se i = k
e quindi che AAT = I. Viceversa se AAT = I allora
n
0 se h 6= k
hAi , Ak i = δik =
1 se i = k
e quindi le colonne sono a due a due ortogonali e normalizzate, dunque la matrice è
ortogonale. 2
Dalla definizione e dal teorema10.6 discendono le porprietà espresse dal
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10.1 Matrici ortogonali
Teorema 10.7 Sia U ortogonale, allora
i) det U = ±1
ii) U è invertibile e U −1 = UT
iii) UT è ortogonale
DIMOSTRAZIONE
i) Dal teorema di Binet det U · det UT = 1
ii) Dal punto precedente det U 6= 0 e per l’unicità della matrice inversa si ha UT =
U −1
iii) Poiché UT = U −1 allora U −1 U = U U −1 e quindi U UT = UT U = I
2
Teorema 10.8 Siano U e V due matrici ortogonali dello stesso ordine, allora
la matrice U V è ortogonale
DIMOSTRAZIONE
U V (U V )T = U V VT UT = I 2
Siano A e B quadrate e sia U una matrice ortogonale; se
UT AU = B
diciamo che A è ortogonalmente simile a B. In particolare se B è diagonale,
diciamo che A è ortogonalmente diagonalizzabile.
Per caratterizzare le matrici ortogonalmente diagonalizzabili incominciamo
col dimostrare il
Teorema 10.9 Una matrice reale simmetrica ammette autovalori reali
DIMOSTRAZIONE
Se A è rale e simmetrica A = AT . Sia λ un autovalore di A
associato all’autovettore x, quindi
Ax = λx,
allora passando alla trasposta coniugata, si ha
λxT = (Ax)T = xT AT = xT A
moltiplicando a destra per x
λxT x = xT Ax = λxT x
da cui λ = λ, e quindi λ è reale. 2
Il seguente teorema caratterizza le matrici reali ortogonalmente diagonalizzabili.
Teorema 10.10 Sia A una matrice reale. Allora A è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica.
DIMOSTRAZIONE
Dimostriamo la parte solo se: sia A è ortogonalmente diagonalizzabile è simmetrica. Sia dunque UT AU = ∆ dove ∆ è diagonale. Allora
A = U ∆UT
e trasponendo
AT = (U ∆UT )T = U ∆UT = A
2
98
10.1 Matrici ortogonali
OSSERVAZIONE 10.2 L’ipotesi
che A sia reale è essenziale, infatti, per
2i 1
esempio, la matrice
pur essendo simmetrica, non è nemmeno diago1 0
nalizzabile. (Verificarlo per esercizio)
OSSERVAZIONE 10.3 La matrice ∆ è reale, poichè ha come elementi gli
autovalori di A che sono reali.
Tra le matrici che diagonalizzano una matrice reale simmetrica ne esiste almeno
una ortogonale.
Per trovare una matrice ortogonale che diagonalizzi la matrice reale simmetrica A è utile il
Teorema 10.11 Sia A una matrice reale simmetrica, Se x e y sono due autovettori associati a due autovalori distinti, essi sono ortogonali.
DIMOSTRAZIONE
Sia Ax = λx e Ay = µy. Trasponendo
λxT = xT A
λxT y = xT Ay
λxT y = xT µy
(λ − µ)xT y = 0
e dunque, essendo per ipotesi λ 6= µ i due autovettori sono ortogonali. 2
ESERCIZI
10.1. Determinare tutte le matrici del secondo ordine che sono simmetriche
ed ortogonali e dire se sono diagonalizzabili.
10.2. Determinare tutte le matrici simmetriche di ordine 2 che non sono
diagonalizzabili.
10.3. Stabilire se il polinomio p(λ) = λ3 + 3λ + 3 può essere il polinomio
caratteristico di una matrice reale simmetrica.
1 −1 0
1
0 2
10.4. Siano A =
eB=
. Verificare che al0 −2 1 T
1 −1 2
meno una delle matrici AB e BA è ortogonalmente simile ad una matrice
diagonale.
Queste dispense possono essere liberamente fotocopiate ed utilizzate purchè
i) siano distribuite gratuitamente
ii) sia riportata questa nota