Prodotto di matrici. Inversa di una matrice quadrata. Algebra lineare

LEZIONE 2
2.1. Prodotto di matrici.
In questo paragrafo introdurremo una nuova operazione detta prodotto. Definiremo
prima il prodotto di una matrice riga per una matrice colonna, per poi procedere alla
definizione generale.
Definizione 2.1.1. Siano R = (r1,j )1≤j≤p ∈ R1,p e C = (ci,1 )1≤i≤p ∈ Rp,1 . Definiamo il
prodotto delle matrici R e C come la matrice di R1,1 , indicata con RC, definita da
c 
1,1
( r1,1
r1,2
...
 c2,1 
1,1

r1,p ) 
 ..  = ( r1,1 c1,1 + r1,2 c2,1 + · · · + r1,p cp,1 ) ∈ R .
.
cp,1
Siano ora A = (ai,h ) 1≤i≤m ∈ Rm,p e B = (bh,j ) 1≤h≤p ∈ Rp,n . Per ogni i = 1, . . . , m e
1≤h≤p
1≤j≤n
j = 1, . . . , n poniamo
b 
1,j
Ri = ( ai,1
ai,2
...
ai,p ) ∈ R1,p ,
 b2,j 
p,1

Cj = 
 ..  ∈ R .
.
bp,j
Definiamo il prodotto delle matrici A e B come la matrice di Rm,n , indicata con AB, la
cui entrata in posizione (i, j) è Ri Cj .
Si noti che, perché il prodotto di due matrici sia definito, occorre e basta che il numero
di colonne della prima coincida con il numero di righe della seconda.
Esempio 2.1.2. Diamo alcuni esempi di prodotto di matrici. Siano


3
A1 = ( 1 2 −1 ) ,
B1 =  2  .
−5
Poiché A1 ∈ R1,3 e B1 ∈ R3,1 sono definiti entrambi i prodotti A1 B1 e B1 A1 . Si ha
A1 B1 ∈ R1,1 e risulta


3
A1 B1 = ( 1 2 −1 )  2  = 1 · 3 + 2 · 2 + (−1) · (−5) = 12.
−5
Typeset by AMS-TEX
1
2
2.1. PRODOTTO DI MATRICI
Sia ha B1 A1 ∈ R3,3 e risulta


3
B1 A1 =  2  ( 1 2 −1 ) =
−5

 
3·1
3·2
3 · (−1)
3
= 2 · 1
2·2
2 · (−1)  =  2
(−5) · 1 (−5) · 2 (−5) · (−1)
−5
Siano
A2 =
1
1
1
−1
,
B2 =
1 3
0 2
−1
1

6
−3
4
−2  .
−10 5
.
Poiché A2 ∈ R2,2 e B2 ∈ R2,3 solo il prodotto A2 B2 è definito. Si ha A2 B2 ∈ R2,3 e risulta
1 1
1 3 −1
A2 B2 =
=
1 −1
0 2 1
1·1+1·0
1·3+1·2
1 · (−1) + 1 · 1
1 5 0
=
=
.
1 · 1 + (−1) · 0 1 · 3 + (−1) · 2 1 · (−1) + (−1) · 1
1 1 −2
Siano
1
A3 =
,
1
B3 =
1 3
0 2
−1
1
.
Poiché A3 ∈ R2,1 e B3 ∈ R2,3 , nessuno dei due prodotti A3 B3 e B3 A3 è definito.
Da quanto visto nell’esempio precedente si deduce che il prodotto di matrici ha un
comportamento “inusuale”: date due matrici A e B non è detto che siano moltiplicabili,
se anche è definito uno dei due prodotti AB o BA non è detto che sia definito l’altro e se
anche sono definiti entrambi non è detto che coincidono (infatti non è detto nemmeno che
abbiano le stesse dimensioni!).
Esempio 2.1.3. Nel seguente esempio vedremo che, anche se sono definiti entrambe i
prodotti AB e BA ed hanno le stesse dimensioni, non è detto che sia AB = BA. Siano
1 0
0 1
E1,1 =
,
E1,2 =
.
0 0
0 0
Poiché E1,1 , E1,2 ∈ R2,2 entrambe i prodotti E1,1 , E1,2 e E1,2 E1,1 sono definiti ed appartengono a R2,2 . Risulta
1 0
0 1
E1,1 E1,2 =
=
0 0
0 0
1·0+0·0 1·1+0·0
0 1
=
=
= E1,2 ,
0·0+0·0 0·1+0·0
0 0
0 1
1 0
E1,2 E1,1 =
=
0 0
0 0
0·1+1·0 0·0+1·0
0 0
=
=
= 02,2 .
0·1+0·0 0·0+0·0
0 0
LEZIONE 2
3
In particolare E1,1 E1,2 = E1,2 6= 02,2 = E1,2 E1,1 .
Una prima osservazione interessante è che il prodotto di due matrici non nulle può essere
la matrice nulla, cioè non vale per il prodotto di matrici la cosiddetta legge di annullamento
del prodotto.
Una seconda osservazione interessante è che la non commutatività del prodotto di
matrici non permette di utilizzare gli usuali “prodotti notevoli” nel fare i calcoli di prodotti
di matrici. Per illustrare questa osservazione diamo la seguente
Definizione 2.1.4. Sia A ∈ Rn,n : poniamo A1 = A. Per ogni intero p ≥ 2 poniamo
Ap = Ap−1 A.
In particolare A2 = AA, A3 = A2 A = AAA e cosı̀ via.
Esempio 2.1.5. Non è vero che, data una coppia di matrici A, B per cui abbiano senso
entrambe le espressioni matriciali (A + B)2 e A2 + 2AB + B 2 , queste coincidano. Infatti
2 1 1
1 1
1 1
1 1
2
(E1,1 + E1,2 ) =
=
=
.
0 0
0 0
0 0
0 0
Invece
2
E1,1
+ 2E1,1 E1,2 +
2
E1,2
=
=
1
0
1
0
0
0
2
+2
0
0
+
0
0
1
0
2
0
0
0
+
0
0
1
0
0
0
0
0
+
=
0
0
1
0
2
1
0
2
0
=
.
In maniera simile verificare che, in generale, A2 − B 2 6= (A + B)(A − B), A3 ± B 3 6=
(A ± B)(A2 ∓ AB + B 2 ) e cosı̀ via.
Nonostante quanto visto sopra, il prodotto di matrici ha varie proprietà notevoli.
Proposizione 2.1.6. Valgono le seguenti proprietà:
(PM1) per ogni A ∈ Rm,p , B ∈ Rp,q , C ∈ Rq,n si ha A(BC) = (AB)C (il prodotto è
associativo);
(PM2) la matrice identità Ip ∈ Rp,p è l’unico elemento neutro per il prodotto, cioè è l’unica
matrice tale che Ip A = A e BIp = B, per ogni A ∈ Rp,n e B ∈ Rm,p ;
(PMP) per ogni A ∈ Rm,p , B ∈ Rp,n , α ∈ R si ha α(AB) = (αA)B = A(αB);
(PMS1) per ogni A, B ∈ Rm,p , C ∈ Rp,n si ha (A + B)C = AC + BC (il prodotto è
distributivo a destra);
(PMS2) per ogni A ∈ Rm,p , B, C ∈ Rp,n si ha A(B + C) = AB + AC (il prodotto è
distributivo a sinistra);
(PMT) per ogni A ∈ Rm,p , B ∈ Rp,n si ha t (AB) = t B t A. 2.2. Inversa di una matrice quadrata.
Quando si ha un prodotto è naturale porsi il problema dell’esistenza dell’elemento
inverso.
4
2.2. INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA
Definizione 2.2.1. Sia A ∈ Rn,n . A si dice invertibile se esiste B ∈ Rn,n tale che
AB = BA = In .
Non è detto che una matrice quadrata, pur non nulla, abbia inversa come mostra il
seguente esempio.
Esempio 2.2.2. Si consideri una qualsiasi matrice A ∈ Rn,n tale che Ap = 0n,n . in tal
caso A si dice nilpotente. Esistono molte matrici non nulle con tale proprietà: per esempio
la matrice
0 1
E1,2 =
0 0
2
è tale che che E1,2
= 02,2 . Se esistesse una matrice B tale che AB = In allora
Ap−1 = Ap−1 In = Ap−1 AB = Ap B = 0n,n B = 0n,n .
Poiché Ap−1 = 0n,n , sostituendo Ap−1 ad Ap in quanto scritto sopra, otteniamo Ap−2 =
0n,n . Ripetendo il ragionamento otterremo alla fine A = 0n,n , il che è assurdo in quanto
abbiamo supposto A invertibile.
Invece la matrice
1 −2
A=
1 −1
è invertibile. Sia infatti
B=
−1
−1
2
1
:
allora BA = AB = I2 .
Proposizione 2.2.3. Sia A ∈ Rn,n . Valgono le seguenti proprietà:
(MI1) B ∈ Rn,n è tale che AB = In se e solo se BA = In ;
(MI2) se esistono B, C ∈ Rn,n tali che AB = BA = In e AC = CA = In allora B =
C. Definizione 2.2.4. Sia A ∈ Rn,n invertibile. L’unica matrice B ∈ Rn,n tale che AB =
BA = In viene detta inversa di A e viene indicata con A−1 . In tal caso si pone A0 = In
ed A−p = (A−1 )p per ogni intero p ≥ 1.
Osservazione 2.2.5. Sia A ∈ Rn,n una matrice invertibile. Cosa si può dire circa l’invertibilità di t A? In forza della condizione (MI1) della Proposizione 2.2.3 si tratta di stabilire
se l’equazione matriciale
t
AX = In
ha soluzione e, in caso affermativo, di determinarla. Trasponendo entrambe i membri si
ottiene t XA = t In = In , sicché, moltiplicando a destra per A−1 , che sappiamo esistere
perché A è invertibile per ipotesi, si ottiene
t
X = t XIn = t X(AA−1 ) = (t XA)A−1 = In A−1 = A−1
LEZIONE 2
5
da cui si deduce per trasposizione del primo e dell’ultimo membro che l’equazione ha
soluzione e che questa è X = t (A−1 ), cioè se A ∈ Rn,n è invertibile allora tale è t A e si ha
(t A)−1 = t (A−1 ). Poiché t (t A) = A si deduce anche il viceversa, cioè A ∈ Rn,n è invertibile
se e solo se tale è t A.
Sia poi B ∈ Rn,n un’altra matrice invertibile. Cosa si può dire circa l’invertibilità di
AB? In modo analogo a quanto visto sopra si tratta di determinare l’eventuale soluzione
dell’equazione matriciale
ABX = In .
Si verifica facilmente che X = B −1 A−1 è soluzione di tale equazione. Deduciamo allora
che se A, B ∈ Rn,n sono invertibili allora tale è AB e si ha (AB)−1 = B −1 A−1 .
È vero o falso che vale il viceversa, cioè che se A, B ∈ Rn,n e AB è invertibili, allora
anche A e B lo sono?
2.3. Algebra lineare su C.
Concludiamo questa Lezione osservando che le nozioni introdotte e le operazioni definite
sulle matrici a coefficienti in R si possono estendere a matrici a coefficienti nel campo
complesso C. Poiché R ⊆ C,segue che Rm,n ⊆ Cm,n .
Per questo motivo, da adesso in poi, nelle definizioni e negli enunciati delle proposizioni
spesso sostituiremo al simbolo R il simbolo k che indicherà o il campo reale R o il campo
complesso C.
Diamo solo un esempio.
Esempio 2.3.1. Si considerino le matrici in C2,2
A=
Risulta allora
1 − 2i
1−i
1 − 2i
1−i
2−i
1−i
2−i
1−i
i
1
2 4
2 2
B=
1
i
i
1
=
1
i
Si noti che A, B ∈ C2,2 \ R2,2 , mentre AB ∈ R2,2 (⊆ C2,2 ).
.
.