esempi

Metodi Matematici della Fisica - I a Unità
Notazioni
Se non specificato diversamente, nelle soluzioni dei problemi si useranno le notazioni
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•
•
•
f (z)
R(z)
C
γ, Γ
CR
Γ±
R
γε (z)
C±
Cε±
γε± (a, b)
funzione generica;
funzione razionale (rapporto di due polinomi);
generica curva chiusa;
generiche curve aperte;
circonferenza di raggio R con centro nell’origine;
semi-circonferenza (aperta), raggio R, centro in 0 nel semipiano superiore/inferiore;
semi-circonferenza (aperta) di raggio ε con centro in z;
curve costituite dall’asse reale e chiuse da Γ±
∞;
le curve sopra ma con semi-circonferenze che escludono eventuali poli sull’asse reale;
i segmenti orizzontali da (a ± iε) a (b ± iε).
Residui
Ricordiamo alcune utili proprietà riguardanti il calcolo dei residui.
X
k
(k)
Res(f ; zk ) + Res(f ; ∞) = 0 ,
Res(f ; zk ) = b1 ,
(∞)
Res(f ; ∞) = −b1
,
(k)
dove zk sono le singolarità al finito e b1 è il coefficiente di 1/(z − zk ) nello sviluppo di Laurent di f in
un intorno della singolarità isolata zk (|z| ≫ 1 per l’infinito).
• Funzioni pari.
f (z) = f (−z)
=⇒
Res(f ; z0 ) = − Res(f ; −z0 )
=⇒
Res(f ; 0) = 0 .
Res(f ; ∞) = 0 .
• Funzioni dispari.
f (z) = −f (−z)
=⇒
Res(f ; z0 ) = Res(f ; −z0 ) .
Funzioni polidrome
Ricordiamo le principali proprietà di alcune funzioni a più valori.
√
Radice quadrata. — z è una funzione polidroma ad due valori con una coppia di punti di diramazione (0, ∞) di ordine 2. Ogni volta che si effettua un giro completo intorno ad uno di tali punti
la funzione cambia segno. Nelle applicazioni pratiche si “taglia” il piano complesso
per impedire di
√
fare una rotazione completa e si sceglie la determinazione principale in cui 1 = 1.
1
E’ evidente che se una funzione contiene il prodotto/rapporto di un numero pari di radici quadrate
allora la funzione è analitica all’infinito. Per chiarire questa affermazione, ∀ α β ∈ ZZ con α 6= β
consideriamo le funzioni polidrome
√
z − α,
fα (z) =
p
fβ (z) =
z−β,
r
fα (z)
z−α
=
,
z−β
fβ (z)
p
f2 (z) = (z − α)(z − β) = fα (z)fβ (z) .
f1 (z) =
La funzione fα (z) ha una coppia di punti di diramazione in (α, ∞) e analogamente fβ (z) in (β, ∞).
Queste due funzioni cambiano segno quando si gira intorno alla rispettiva singolarità. Questo
significa che f1 (z) e f2 (z) cambiano segno quando si fa un giro completo attorno ad una delle due
singolarità (α oppure β), ma rimangono inalterate se si fa un giro completo su un cammino che
le contiene entrambe. Questo significa che la funzione è analitica per |z| > max(|α|, |β|). Vale lo
sviluppo
a + b (a + b)2
1
1
b−a
,
f2 (z) = z +
,
|z| > max(|α|, |β|) .
+o
+
+o
f1 (z) = 1 +
2z
z2
2
8z
z2
Logaritmo. — log z è una funzione polidroma ad infiniti valori con una coppia di punti di diramazione
(0, ∞) di ordine infinito. Ogni volta che si effettua un giro completo (nel verso positivo) intorno
ad uno di tali punti la funzione aumenta di 2πi. Nelle applicazioni pratiche si “taglia” il piano
complesso per impedire di fare una rotazione completa e si sceglie la determinazione principale in
cui log 1 = 0. Per log z (come funzione polidroma) valgono le proprietà note, però si deve fare
estrema attenzione dopo avere effettuato il taglio e scelta la determinazione.
Analizziamo ora le caratteristiche delle funzioni seguenti a partire dalle proprietà del logaritmo:
z−α
f1 (z) = log
,
f2 (z) = log [(z − α)(z − β)] ,
α 6= β ∈ ZZ .
z−β
Conviene scrivere le funzioni nella forma
f1 (z)
f2 (z)
= fα (z) − fβ (z) ,
= fα (z) + fβ (z) ,
fα (z) = log(z − α) ,
fβ (z) = log(z − β) .
E’ chiaro allora che α e β sono due punti di diramazione di ordine infinito per f1 e f2 in quanto,
facendo un giro completo lungo una curva che contiene α, ma non β, la funzione fα aumenta di
2πi, mentre fβ rimane inalterata. Allo stesso modo, facendo un giro completo lungo una curva che
contiene β, ma non α, fβ aumenta di 2πi e fα rimane inalterata. Facendo infine un giro completo
lungo una curva contenente sia α che β, entrambe le funzioni aumentano di 2πi e pertanto la loro
differenza f1 rimane inalterata, mentre la loro somma f2 aumenta di 4πi. Questo significa che
l’infinito non è un punto di diramazione per f1 pur essendo un punto di diramazione per fα e fβ
separatamente, però è ancora un punto di diramazione per f2 .
Riassumendo abbiamo che α e β costituiscono una coppia di punti di diramazione per f1 e pertanto,
per rendere analitica questa funzione è necessario fare un taglio qualsiasi che unisca α con β. Nel
caso di f2 invece i punti di diramazione sono quattro, o meglio due coppie (α, ∞) e (β, ∞). Per
rendere analitica f2 sono necessari due tagli che uniscano fra loro gli elementi di ogni coppia, vale
a dire α con ∞ e β con ∞.
Per f1 (z) vale lo sviluppo
β−α
+ +o
f1 (z) =
z
1
z2
,
|z| > max(|α|, |β|) .
Potenza arbitraria. — Mediante le proprietà del logaritmo si possono studiare anche potenze
arbitrarie di z, ad esempio
f (z) = z s = es log z ,
s ∈ ZZ .
2
Si vede che in generale f (z) è una funzione polidroma con le stesse caratteristiche di log z. Ovviamente se s ∈ ZZ allora la funzione è razionale, mentre se s è razionale allora la funzione ha un
numero finito di ramificazioni.
Allo stesso modo si può analizzare la funzione
s
z−α
= es[log(z−α)−log(z−β)] .
f (z) =
z−β
Questa ha una coppia di punti di diramazione (α, β) in generale di ordine infinito, però è sempre
regolare per z = ∞. Vale lo sviluppo
(β − α)
1
f (z) = 1 +
,
|z| > max(|α|, |β|) .
+o
z
z2
Integrali che si possono risolvere con il metodo dei residui
Qui e nel seguito si assume che gli integrali esistano ed è sottinteso che tutte le curve chiuse vanno percorse
in senso antiorario e quelle aperte nel verso “ arg z crescente”.
Se l’integrale esiste come valore principale di Cauchy, allora il cammino di integrazione deve essere
deformato mediante delle semi-circonferenze γε (zk ) che escludono o includono (a piacere) le singolarità
(poli semplici) che stanno sul cammino di integrazione. (vedi “valore principale di Cauchy”). L’integrale
della funzione f su γε (zk ) è uguale a ±πi Res(f ; zk ) dove il segno dipende dal verso di percorrenza. Questo
significa che ogni polo semplice zk sul cammino di integrazione contribuisce con metà valore rispetto a
uno interno.
A titolo di esempio si consideri l’integrale di una funzione razionale con un polo semplice in x = a e altri
poli (non sull’asse reale) in zn . Nell’ipotesi che la funzione sia integrabile (all’infinito) si ha
vP
Z
∞
dx R(x) = lim
ε→0
−∞
Z
a−ε
dx R(x) +
−∞
Z
∞
a+ε
dx R(x) .
Integrando la funzione R(z) su Cε+ si ottiene
I
dz R(z) = 2πi
Cε+
X
Z
Res(R; zn ) =
a−ε
−∞
n
dx R(x) −
Z
dz R(z) +
γε (a)
Z
∞
a+ε
dx R(x) +
Z
dz R(z) .
Γ+
∞
L’integrale su Γ+
∞ è nullo perché |zR(z)| → 0, mentre l’integrale su γε (a) si calcola esattamete in quanto
b1
+ g(z)
R(z) =
z−a
=⇒
Z
dz R(z) = πib1 + O(ε) .
γε (a)
Nel limite ε → 0 si ha finalmente
vP
Z
∞
−∞
dx R(x) = 2πi
X
Res(R; zn ) + πi Res(R; a) .
n
Se la funzione ha poli semplici in più punti ak sull’asse reale, allora l’ultimo termine nella formula
precedente dovrà essere sostituito da una somma sui residui di tali poli.
3
Di seguito riportiamo alcune classi di integrali che si risolvono direttamente con il metodo dei residui.
Con le semplici modifiche appena accennate, per i casi I1 e I2 si risolvono gli analoghi integrali definiti
come valore principale di Cauchy.
•I1 Integrali di funzioni razionali.
Z
∞
−∞
dx R(x) = ±2πi
I
dz R(z) .
C±
L’integrale converge nel senso ordinario se R(x) non ha divergenze e all’infinito xR(x) → 0. Trattandosi di una funzione razionale, questo significa che R(x), per x → ±∞, tende a zero come o più
rapidamente di 1/x2 . Si osservi tuttavia che non è strettamente necessario che la funzione integranda sia razionale. La formula precedente si può applicare anche ad una funzione f non razionale
purché |zf (z)| → 0 all’infinito.
•I2 Trasformate di Fourier di funzioni razionali.
I
Z ∞
dx e±i|α|x R(x) = ±2πi
dz e±i|α|z R(z) .
C±
−∞
Questa vale purché |R(z)| → 0 all’infinito (vedi Lemma di Jordan).
•I3 Integrali (su un periodo) di funzioni trigonometriche.
Z
2π
dϑ F (sin ϑ, cos ϑ) =
dz
F
iz
I
|z|=1
0
z2 − 1 z2 + 1
,
2iz
2z
•I4 Integrali di funzioni a più valori (su una semiretta).
Z ∞
πe−iπα X
Res(R(z)(z − a)α ) ,
dx R(x)(x − a)α = −
sin πα
a
.
0 ≤ arg z < 2π .
La somma è estesa a tutti i poli della funzione R(z).
Si noti che l’equazione precedente vale per qualunque valore di α (purché l’integrale converga).
Quindi si può usare per α razionale (radice quadrata, cubica, etc.).
Per ricavare la I4 si deve integrare la funzione attorno al “taglio” su un percorso C costituito dai
cammini γε− (∞, a), γε (a), γε+ (a, ∞) e chiuso con una curva Γ all’infinito e prendere quindi il limite
ε → 0.
•I5 Integrali di funzioni a più valori (su un intervallo).
Z
b
dx R(x)
a
b−x
x−a
α
α X
π
z−b
=
Res R(z)
sin πα
z−a
0 ≤ arg z < 2π .
La somma è estesa a tutti i poli della funzione R(z), compreso l’infinito! Anche questa espressione
vale per valori di α qualsiasi (purché l’integrale converga).
La I5 si ricava integrando la funzione (di destra) su una curva chiusa C, attorno al “taglio”, costituita
da γε+ (b, a), γε (a), γε− (a, b) e γε (b) e prendendo il limite ε → 0.
•I6 Integrali di funzioni razionali su un intervallo.
Z b
X
dx R(x) =
Res(f1 (z)) ,
J0 =
f1 (z) = R(z) log
a
z−b
z−a
,
a < b,
dove la somma è estesa a tutti i poli di R(z), compreso l’infinito.
Questo risultato si ottiene integrando la funzione f1 (z) su un percorso chiuso attorno al “taglio”
che va da a a b (vedi sopra). Questo risultato vale anche per b = +∞ oppure a = −∞. In tal caso
|zR(z)| → 0 all’infinito per avere la convergenza.
4
Nota: è possibile ottenere lo stesso risultato integrando la funzione R(z) log([b − z]/[z − a]), ma si
consiglia di usare f1 (z) che non presenta ambiguità nello sviluppo all’infinito. Questo è importante
soprattutto nelle generalizzazioni (vedi sotto).
Si noti che non è strettamente necessario che la funzione integranda sia razionale. Con questa
tecnica si possono calcolare integrali della forma
n
Z b
b−x
.
dx R(x) log
Jn =
x−a
a
Integrando la funzione
n+1
z−b
fn+1 (z) = R(z) log
,
z−a
sul cammino precedente si ottiene infatti un’espressione che lega Jn a Jn−1 , Jn−2 , ...J0 .
Ad esempio si ha
J1 =
Z
b
dx R(x) log
a
b−x
1 X
=
Res(f2 (z)) .
a−x
2
Esiste un modo alternativo e spesso più conveniente per calcolare integrali di questo tipo, che si
ottiene osservando che
(
α )
Z b
dn
b−x
Jn = lim
.
dx R(x)
α→0
dαn a
x−a
Dalla I5 si ha allora
α 1 X
z−b
,
J0 = lim
Res R(z)
α→0 α
z−a
α X
π
z−b
dn
,
Res R(z)
Jn = lim
α→0 dαn
sin πα
z−a
0 ≤ arg z < 2π .
0 ≤ arg z < 2π .
La somma è estesa a tutti i poli di R(z), compreso l’infinito.
Somma di serie
Le serie che si possono sommare con il metodo dei residui sono della forma
S1 =
∞
X
f (n) ,
S2 =
∞
X
(−1)n f (n) ,
−∞
−∞
dove tipicamente f (n) è una funzione razionale oppure una funzione razionale per una funzione trigonometrica. (ad esempio: f (n) = R(n) sin nα). Se |α| ≤ π e |zR(z)| → 0 all’infinito, allora gli integrali su
C∞ delle funzioni f (z) cot πz e f (z)/ sin πz sono nulli e di conseguenza la somma di tutti i residui è nulla.
Si ottengono le formule
•S1 Somma a termini positivi.
∞
X
Res (f (z) cot πz; n) +
n=−∞
X
Res (f (z) cot πz; zk ) = 0 ,
zk 6=n
Se f (z) non ha poli sugli interi, la prima somma diventa S1 /π. Se invece f (z) ha un polo in n allora
z = n diventa un polo multiplo per f (z) cot πz e il residuo va calcolato esplicitamente.
•S2 Somma a termini di segno alterno.
X
∞
X
f (z)
f (z)
Res
;n +
; zk = 0 ,
Res
sin πz
sin π
n=−∞
zk 6=n
La prima somma diventa S2 /π se f non ha poli sugli interi. Vale il discorso fatto per S1 .
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