Sviluppo in serie di Fourier

0.0.
3.3 1
Sviluppo in serie di Fourier
• Consideriamo una funzione periodica f di periodo T :
f (t) = f (t + T ) ∀t
• Qualunque funzione periodica di periodo T può essere rappresentata mediante lo sviluppo in serie di Fourier:
Pn=∞
jnω0 t
f (t) =
n=−∞ cn e
dove
2π
ejω t = cos(ω t) + j sin(ω t)
T
• Lo sviluppo in serie di Fourier può essere rappresentato con formule equivalenti:
Pn=∞
jnω0 t
f (t) =
n=−∞ cn e
Pn=∞
f (t) = a0 + n=1 rn cos(nω0t + ϕn)
Pn=∞
f (t) = a0 + n=1 an cos(nω0t) + bn sin(nω0t)
ω0 =
• Il termine costante a0 è detto componente continua e coincide con il valore
medio di f (t) in un periodo.
• Qualunque funzione periodica è quindi “scomponibile” nella somma di
infinite funzioni sinusoidali con periodo ∞ (componente continua), T ,
T /2,..., T /n ,... o equivalentemente con pulsazione 0, ω0 , 2ω0,..., n ω0,...
• Le componenti sinusoidali di un segnale periodico sono dette armoniche.
La sinusoide r1 cos(ω0t + ϕ1) avente lo stesso periodo della funzione f (t)
è detta armonica fondamentale. La sinusoide rn cos(nω0t + ϕn) si dice
n-esima armonica.
R. Zanasi - Controlli Automatici - 2011/12
3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
3.3 2
Consideriamo come esempio un impulso rettangolare periodico:
radici
[rad/s]
Esempio di segnale periodico
3
2.5
Segnale
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...1
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
moduli
Ampiezza
3.3 3
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...2
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...3
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
moduli
Ampiezza
3.3 4
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...5
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...20
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
3.3 5
Consideriamo come esempio un impulso triangolare periodico:
radici
[rad/s]
Esempio di segnale periodico
3
2.5
Segnale
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...1
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
moduli
Ampiezza
3.3 6
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...5
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Segnale periodico e somma delle armoniche 0...20
3.5
Segnale(b), somma(r)
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
3.3 7
•ase
Tipicamente le prime armoniche di un segnale periodico presentano un’ampiezza rn superiore rispetto alle armoniche con pulsazione più elevata.
• Le armoniche ad alta frequenza di segnali che variano rapidamente hanno
tipicamente un’ampiezza maggiore rispetto alle corrispondenti armoniche
di segnali che variano lentamente.
Impulso periodico rettangolare(b) e triangolare(r)
3
2.5
Segnale
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Tempo [s]
Spettro impulso periodico rettangolare(b), triangolare(r)
1.6
1.4
Ampiezza armoniche
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Armonica [n]
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
3.3 8
Trasformata di Fourier
• Anche le funzioni f (t) non periodiche si possono scomporre nella “somma”
di funzioni sinusoidali. In questo caso si parla di trasformata di Fourier:
Z +∞
F (jω) =
f (t) e−jω tdt
−∞
F (jω) è una funzione complessa della variabile reale ω.
• La funzione F (jω) si dice spettro di f (t). Il modulo di F (jω) è detto
spettro di ampiezza. L’argomento di F (jω) è detto spettro di fase.
• Detta F (s) la trasformata di Laplace di f (t), la trasformata di Fourier si
ottiene direttamente come:
F (jω) = F (s)|s=jω
• La funzione f (t) si ricava dallo spettro F (jω) tramite l’antitrasformata
di Fourier:
Z +∞
1
f (t) =
F (jω) ejω t dω
2π −∞
L’antitrasformata di Fourier è l’analogo per le funzioni non periodiche della
serie di Fourier:
Pn=∞
jnω0 t
f (t) =
n=−∞ cn e
• Per le funzioni f (t) reali è sufficiente conoscere F (jω) per ω ≥ 0 in quanto
vale la relazione:
Z +∞
1
f (t) =
F (jω) ejω t + F ∗(jω) e−jω t dω
2π 0
• Lo spettro F (jω) si rappresenta solitamente con due grafici:
1) Il diagramma delle ampiezze rappresenta il modulo |F (jω)| espresso
solitamente in dB in funzione del log10 ω.
|F (jω)|dB = 20 Log10|F (jω)|
2) Il diagramma delle fasi rappresenta arg F (jω) (in radianti o in gradi)
in funzione del log10 ω.
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3. ANALISI ARMONICA
3.3. ANALISI ARMONICA
3.3 9
• Fase
Mentre per i segnali periodici si ha uno spettro discreto, per i segnali non
periodici lo spettro è continuo.
• Valgono comunque considerazioni analoghe a quelle dei segnali periodici.
Tipicamente segnali che variano rapidamente hanno spettri di ampiezza
significativi anche alle alte frequenze.
Impulso rettangolare(b) e triangolare(r)
1.6
1.4
1.2
Segnale
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo [s]
Impulso rettangolare(b), triangolare(r)
5
Spettro delle Ampiezze [dB]
0
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
0
10
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1
10
ω
2
10
3. ANALISI ARMONICA