Soluzione

Il Responsabile coordinatore dei giochi: Prof. Agostino Zappacosta – Chieti
tel. 0871 – 65843 (cell.: 340 47 47 952) e-mail:[email protected]
Seconda Edizione “ Giochi di Achille” (14-12-06) - Olimpiadi di Matematica
Soluzioni Categoria M1 (Alunni di prima media)
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E
E
B
C
B
E
C
D
D
A
17
198 67,5
14
15
16
N
60
30
Quesito 1. La risposta esatta è la E). Finchè la chiatta resta con lo stesso carico, la sua linea di
galleggiamento è la stessa per cui il livello dell’acqua non raggiungerà mai la scala di corda.
Quesito 2. La risposta esatta è la E). Infatti dopo che il cacciatore spara i due colpi, sull’albero non
resta nemmeno un uccello. Ammesso che ci fosse un uccello sordo, questo, vedendo tutti gli altri
volare via, per spirito gregario, volerebbe via anche lui.
Quesito 3. La risposta esatta è la B).
Spostando la regione grigia di destra alla sinistra di
quella che si trova a sinistra, andremo a formare un
settore circolare pari ad 1/8 del cerchio.
Quesito 4 La risposta esatta è la C). I gradini sono in tutto (25+41)= 66. La parte verticale del
gradino si chiama “alzata” mentre la parte orizzontale (dove si appoggiano i piedi) si chiama
“pedata”.
Quindi nel contare i gradini bisogna contare solo le “alzate” che sono quelle che ci fanno alzare (o
abbassare di quota). Quando la nonna incontra Luca vengono a trovarsi sullo stesso gradino
(pedata). In quel momento la nonna ha salito 25 gradini (cioè “alzate”) mentre Luca è sceso di 41
gradini (cioè “alzate” a scendere). Perciò rispetto alla pedata comune le ultime “alzate” conteggiate
sono diverse: verso il basso (per la nonna) e verso l’alto (per Luca). La pedata comune è come se
fosse un pianerottolo.
Soluzioni_M1_II-Ed._Giochi_di_Achille (14-12-2006)
[Il mago dei numeri – CH- Italia]
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Quesito 5. La risposta esatta è la B). Al 150° posto troviamo proprio la cifra “8”.
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7 9 8 0 8 1 8 2
148° posto
149° posto
150° posto
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10° posto
11° posto
1° posto
2° posto
3° posto
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9° posto
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3
Ragioniamo così:
da 1 a 9 abbiamo 9 cifre: il posto e la cifra del numero coincidono.
Da 10 a 19 abbiamo 20 cifre. Da 20 a 39 abbiamo altre 40 cifre. Da 40 a 79 altre 80 cifre.
Quindi se scriviamo tutti i numeri da 1 a 79, uno a fianco all’altro scriviamo in tutto 149 cifre
(9+20+40+80 = 9+40+20+80 = 49 + 100 = 149) che occupano 149 posti: nove posti per i numeri da
1 a 9 e 140 posti per i numeri da 10 a 79 (sono 70 numeri e ciascuno con due cifre per cui abbiamo
70x2= 140). Quindi la cifra “9” (del numero 79) occupa il 149° posto. Dopo 79 dovrò scrivere 80
che occuperà due posti (l’8 al 150° e lo 0 al 151° posto).
Quesito 6. La risposta esatta è la E). cioè 12 secondi. Per battere le undici (del mattino o del
pomeriggio) l’orologio procede così:
1° rintocco - pausa - 2° rintocco - pausa - 3° rintocco - pausa - 4° rintocco - pausa - 5° rintocco –
pausa - 6°rintocco – pausa - 7° rintocco - pausa - 8° rintocco - pausa - 9° rintocco - pausa –
10° rintocco - pausa - 11° rintocco L’orologio per 11 rintocchi fa 10 pause.
Le pause sono dieci per cui una pausa dura sec (20:10) = 2 secondi.
Per battere le sette occorrono 7 rintocchi e dunque si avranno 6 pause. Poiché ogni pausa dura 2
secondi, si conclude che sono necessari sec (6x2) = 12 secondi.
Qualcuno potrebbe obiettare che la risposta giusta è la C). Ma così non è perché la C) parla di 12
minuti e non secondi!!!
Quesito 7. La risposta esatta è la C) cioè 57 km. Basta fare 19 km percorsi in un’ora per tre ore che
è il tempo in cui il cane sta in movimento (19x3=57).
Quesito 8. La risposta esatta è la D)
Se  è l’angolo, il suo complementare sarà: 90° -  ; il suo supplementare sarà: 180° -  .
Affinché un triangolo esista si devono verificare due condizioni:
1) Ciascuno dei tre angoli interni  ,  e  dovrà essere diverso da zero.
2) Per la proprietà degli angoli interni, dovrà aversi  +  +  = 180°.
 + (90° -  ) + (180° -  ).= 180°; da cui  = 90°; questa soluzione rende 90° -  = 0
ma  non può essere nullo (per la proprietà 1),
Allora se  = 90° se ne deduce che tali triangoli non esistono.  dovrebbe essere uguale a 0
mentre  = 90°. Ciò porta ad  +  = 180°.
Quesito 9. La risposta esatta è la D) cioè 17 anni.
Antonio ha 9 anni più di Antonietta. Perciò quando lui morì, lei aveva 9 anni in meno (cioè 72 anni:
81-9). Poiché Antonietta morì a 89 anni, ella visse, da vedova, ben 17 anni (89-72).
Quesito 10. La risposta esatta è la A) cioè 5x6x7 = 210.
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Quesito 11. La risposta esatta è 17. Ogni anno che passa l’età di ciascun ragazzo aumenta di 1
anno. Quindi l’età dei cinque ragazzi in un anno aumenta di 5. Adesso 146-61= 85. E 85:5=17.
In 17 anni l’età dei 5 ragazzi aumenterà proprio di 85 anni (17x5=85).
Quesito 12. Le persone bugiarde sono 198 mentre quelle sincere sono solo due.
La prima affermazione ci dice che almeno due persone sono bugiarde. E’ impossibile trovare tre
persone sincere perché altrimenti la seconda affermazione non verrebbe rispettata.
Che significa rispettare la a)?
Che in quel gruppo ci possono essere due, tre, quattro, cinque, …… …..duecento bugiardi.
Algebricamente: 2  x  200
Che significa rispettare la b)?
Se prendo 4 persone a caso almeno due sono bugiarde che significa?
Significa che in queste quattro persone ci possono essere due, tre o quattro persone bugiarde. Ma,
per poterne trovare due, di bugiardi, vuol dire che ci devono essere due persone sincere nel gruppo.
Possono essere le persone sincere più di due? No. Infatti se fossero di più, per es. tre, potrebbe
accadere che scegliendo a caso quattro persone si potrebbero scegliere tre persone sincere ed una
sola bugiarda: Ma ciò sarebbe in contrasto con la b).
Quesito 13. La risposta giusta è 67.5 km/h. Infatti quando l’auto parte il ciclista ha già percorso
km(2.5x30) = 75 km. Nelle successive due ore (il tempo concesso all’automobilista per raggiungere
il ciclista), il ciclista avrà percorso altri 60 km. In totale, in due ore, l’automobile dovrà percorrere
135 km (75+60) che corrispondono a km/h(135:2) = 67,5 km/h.
Quesito 14. La risposta esatta è “N”.
Le caselle di questo quadrato sono nove: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Questi numeri scritti in lettere
diventano: Uno, Due, Tre, Quattro; Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove. Nel quadrato sono riportate
proprio le iniziali di queste parole. Manca solo la lettera “N” iniziale di Nove!!!
Quesito 15. La risposta esatta è 60.
Da un primo sguardo già possiamo dire che i percorsi
possibili devono essere almeno 16. Infatti la parola
“AMICA” può terminare su ciascuna delle 16 “A”
poste lungo il perimetro della figura.
Essendo la figura perfettamente simmetrica rispetto
ai due assi (verticale ed orizzontale) basta contare i
percorsi possibili su un quarto della configurazione
per poi moltiplicare il risultato per quattro.
Per brevità indichiamo con N Nord, S Sud, E Est ed
O Ovest. Consideriamo il riquadro di Nord-Est.
Iniziando dalla “A” centrale avremo i seguenti
percorsi: N-N-N-N; N-N-N-E; N-N-E-N; N-N-E-E;
N-E-N-N; N-E-N-E; N-E-E-N; N-E-E-E; E-N-N-N;
E-N-N-E; E-N-E-N; E-N-E-E; E-E-N-N; E-E-N-E;
E-E-E-N. Sono in tutto quindici. Perciò 15x4=60
percorsi diversi per leggere la parola “AMICA”.
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Quesito 16. Soluzione: I quadrati sono 30.
16 quadrati 1x1;
9 quadrati 2x2;
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4 quadrati 3x3;
1 quadrato 4x4.
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