PROVE SCRITTE a.a. 2012/13 - Dipartimento di Matematica e

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 17 Dicembre 2012 – I esercitazione
NOME............................................. COGNOME..................... N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
f1 (x) = √
√
4
f3 (x) =
log 4x4
,
√
1 − 12 − x2
f2 (x) =
1 + log(x2 − 4)
,
sinh(x3 + 8)
cosh x3
ex−5 − 1
Esercizio 2. Sia f : R → R definita da f (x) = |e2x − 1|. Determinare il codominio e
stabilire se la funzione è iniettiva e se è suriettiva. Determinare una restrizione invertibile.
n2
, n > 1, stabilire se è monotona, definitin4 − 1
vamente limitata e infine calcolare limn→∞ an .
Esercizio 3. Data la successione an =
Esercizio 4. Calcolare i seguenti limiti
esinh x − 1
log(1 + 3 tan2 x)
2
limx→0+
(
limn→∞ 1 +
n5 + n4 − 2n2 − 1
2n7 + 2n4 − 2n3 − 8n2 − n − 9
)−2n2
e−n + n2 + cos(n + 2)
3n3 − n2 + cosh n1
5
limn→∞
Esercizio 5. Date le funzioni definite da
f (x) = log(2 + x2 )
g(x) =
√
x + 1,
stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:
i) f è pari
[V] [F]
ii) (f ◦ g)(x) = log(x + 3)
[V] [F]
iii) (g ◦ f )(x) > 1 (fornire l’espressione di g ◦ f )
[V] [F]
9
iv) l’equazione ex g(x) = e3 ammette una soluzione in (3, 8) [V] [F]
4
2
Esercizio 6. Data la funzione definita da

1 − cos x
x2


+ b sin
+ a − 1,
x<0

x
π
f (x) = (sin x3 )(log x) + e−1/x + cx
x>0



0,
x=0
stabilire se esistono dei valori di a e b per cui sono soddisfatte
(a) le ipotesi del teorema di Weierstrass in [−2, 3];
(b) le ipotesi del teorema di Lagrange in [−2, 3];
Esercizio 7. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = log(x2 + 3x).
Esercizio 8. Calcolare l’area della regione piana definita da
{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4 : | − 2x + 4| − x2 ≤ y ≤ 4 − x}
∫
x+3
Esercizio 9. Calcolare il seguente integrale
.
2
4x + 4x + 6
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2011/2012 – 17 Dicembre 2012
NOME.................... COGNOME.................. N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
f1 (x) = √
√
4
f3 (x) =
log 4x4
,
√
1 − 12 − x2
f2 (x) =
1 + log(x2 − 4)
,
sinh(x3 + 8)
cosh x3
ex−5 − 1
n2
, n > 1, stabilire se è monotona, definitin4 − 1
vamente limitata e infine calcolare limn→∞ an .
Esercizio 2. Data la successione an =
Esercizio 3. Calcolare i seguenti limiti
esinh x − 1
limx→0+
log(1 + 3 tan2 x)
(
)−2n2
n5 + n4 − 2n2 − 1
limn→∞ 1 + 7
2n + 2n4 − 2n3 − 8n2 − n − 9
2
e−n + n2 + cos(n + 2)
3n3 − n2 + cosh n1
5
limn→∞
Esercizio 4. Data la funzione definita da

1 − cos x
x2


+
b
sin
+ a − 1,
x<0

x
π
f (x) = (sin x3 )(log x) + e−1/x + cx
x>0



0,
x=0
stabilire se esistono dei valori di a e b per cui sono soddisfatte
(a) le ipotesi del teorema di Weierstrass in [−2, 3];
(b) le ipotesi del teorema di Lagrange in [−2, 3];
(c) le ipotesi del teorema di Rolle in [−π, 1].
Esercizio 5. Studiare il grafico della seguente funzione f (x) = log(x2 + 3x).
Esercizio 6. Calcolare l’area della regione piana definita da
{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 4 : −2x + 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x,
∫
x+3
Esercizio 7. Calcolare il seguente integrale
.
2
4x + 4x + 6
y ≥ x2 − 4x}
4
Esercizio 8. In un allevamento vi sono 55 bovini di tipo A che contraggono una
particolare malattia con una probabilità del 75%, e 65 bovini di tipo B che hanno una
probablità dell’ 82% di contrarre la malattia.
Prendendo un bovino a caso con quale probabilità si ammalerà?
Esercizio 9. Viene effettuato un test di durata della batteria su un campione di 150
telefonini. I dati vengono raggruppati in classi secondo la seguente tabella, dove T indica
la durata dei telefonini e F la frequenza assoluta.
T (0, 2.5) (2.5, 5) (5, 7.5) (7.5, 10) (10, 12.5) (12.5, 15)
F
18
37
26
30
15
24
Si stabilisca la validità dell’ipotesi secondo cui la durata della batteria è uniformemente
distribuita negli intervalli di tempo considerati con una tolleranza dello 0, 5%.
Esercizio 10. Un laboratorio di ceramica produce ogni giorno circa 600 vasi. Sapendo
che la distribuzione del numero di pezzi prodotti segue approssimativamente una distribuzione normale e che lo scarto dalla media dei pezzi prodotti è di 18 vasi, con che
probabilità si producono in un giorno fra i 560 e i 620 vasi?
Determinare l’intervallo centrato nel valor medio nel quale è probabile al 99, 4% che
rientri il numero di televisori prodotto?
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 21 Gennaio 2013 – II esercitazione
NOME............................................. COGNOME.................. N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Una macchina viene usata per tagliare assi di legno; la lunghezza media è
di 2m, ma il 15% degli assi tagliati hanno una lunghezza inferiore a 1.95m. Assumendo
che le lunghezze degli assi tagliati abbiano una distribuzione normale, determinare la
percentuale di assi più lunghi di 2.10m.
Esercizio 2. La maggior parte dei pipistrelli ha una scarsa capacità di camminare, ma il
vampiro Desmodus rotundus rappresenta un’ eccezione. Da un punto di vista meccanico,
non è chiaro perchè i pipistrelli siano poco capaci di camminare, anche se in realtà è stato
ipotizzato che la causa principale sia il fatto che i loro arti posteriori sono troppo deboli.
Questa ipotesi è stata sottoposta a verifiche, confrontando la forza degli arti posteriori di
un pipistrello insettivoro, Pteronus parnellii, poco capace di camminare, con quella degli
arti posteriori del vampiro. Sono stati misurati 6 individui di P. parnellii, con una forza
media degli arti posteriori pari a 93,5, con deviazione standard pari a 36,6. La forza
media degli arti posteriori per i 6 vampiri è stata pari a 39,3, con deviazione standard
8,1. Supponendo che queste misure abbiano una distribuzione normale, valutare con
una sensibilità dell’ 1%, se la diversa resistenza degli arti posteriori può giustificare
l’incapacità di camminare bene del P. parnellii.
Esercizio 3. Un’azienda produce componenti elettronici. Supponendo di selezionare un
campione di 10 componenti e sapendo che il 15% dei componenti prodotti dall’azienda
è difettoso, determinare
(a) la probabilità che al massimo 2 componenti siano difettosi;
(b) la probabilità che almeno 1 pezzo sia difettoso.
Esercizio 4. Si effettua un test diagnostico per lo screening di una malattia cardiaca
su una popolazione cosituita da adulti. Risulta che il 12% è malato e positivo al test, il
3% è malato e negativo al test, l’ 84% è sano e negativo al test e l’ 1% è sano e positivo.
Supponendo di scegliere un individuo a caso, determinare la probabilità che
(a)
(b)
(c)
(d)
sia
sia
sia
sia
sano;
negativo al test;
un falso negativo;
malato se è positivo al test.
6
Esercizio 5. Una prova del carico di rottura di 6 cavi d’ acciaio costruiti da una
ditta ha mostrato un carico di rottura media pari a 7750 kg e una deviazione standard
di 145 kg, mentre il costruttore afferma che il carico di rottura medio è di 8000 kg.
Stabilire se si può sostenere che l’ affermazione del costruttore non è corretta, con livelli
di significatività del 5% e 1%.
Esercizio 6. Le abitudini di accoppiamento dello spinarello sono state studiate ampiamente. In un esperimento si è cercato di indagare se questi pesci tendono ad accoppiarsi
con individui del sesso opposto che hanno dimensioni corporee simili a loro o diverse. Le
preferenze sono state misurate su un campione di 9 differenti popolazioni, utilizzando
un indice numerico che era 0 se nella popolazione non si evidenziavano preferenze per
l’accoppiamento basato su dimensioni corporee, era positivo se i pesci preferivano accoppiarsi con individui di differente mole ed era negativo nel caso opposto. Le misure
dell’indice sono le seguenti
−32, 0
− 29, 8
− 40, 6
− 90, 8
− 29, 2
− 28, 8
− 78, 4
− 59, 2
− 74, 3.
Si chiede di verificare con una sensibilità dell’ 1% l’ipotesi secondo cui, in media, gli
spinarelli non si accoppiano con individui di dimensioni corporee diverse, assumendo che
il campione sia casuale e la variabile segua una distribuzione normale. Quali conclusioni
si possono trarre da questi dati?
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 24 Gennaio 2013
NOME............................................. COGNOME.................... N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
log |x|3
f1 (x) = √√
,
4 − x2 − 2x
e−x +1 − 1
f2 (x) = √
2 − 2 sin x
5
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
limx→0+
arctan sinh x
log(x4 + 2x2 + 1)
cos(tan 2x) − 1
(
limn→∞ 1 +
n2 + sin n − 3
2n6 + 2n3 − 2n − arctan n2 − 9
)n2 √n
Esercizio 3. Data la seguente funzione
f (x) = log(2 + x2 ) + 1 − e4x
si chiede di:
(a) determinare il dominio;
(b) calcolare lim f (x) e lim f (x);
x→∞
x→−∞
2x
(c) verificare che
≤ 1 per ogni x ∈ R e utilizzare tale disuguaglianza per
2 + x2
dimostrare che f ′ (x) < 0 per x > 0;
(d) verificare che f ′ (x) < 0 per x < 0 e tracciare un grafico di f ;
(e) stabilire se l’equazione f (x) = 0 ammette soluzione in (0, ∞);
(f) calcolare l’area della regione piana data da
{(x, y) : −1 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ f (x)}
∫
Esercizio 4. Calcolare il seguente integrale
2x + 7
dx.
+ 5x − 2
3x2
8
Esercizio 5. In un ospedale ci sono stati 932 nati in 20 settimane consecutive. Di
questi nati, 216 sono venuti alla luce nei fine settimana. In base a questi dati, stabilire
la validità dell’ipotesi secondo cui i tassi di natalità sono gli stessi nei weekend e nei
giorni feriali con una sensibilità dello 0, 1%.
Esercizio 6. Si vuole studiare la relazione che intercorre tra il numero degli anni di
studio di una lingua straniera e il punteggio ottenuto in un test di conoscenza della
lingua. Si considerano 10 studenti e si registrano i seguenti dati:
n. anni studio punteggio test
3
57
4
78
4
72
2
58
5
89
3
63
4
73
5
84
3
75
2
48
Secondo il modello ottenuto, uno studente che ha studiato 6 anni, quanti anni deve
ancora studiare per riportare un punteggio di 98?
Esercizio 7. La probabilità di conseguire un master per un gruppo di 5 studenti è pari
al 6%. Calcolare la probabilità che
(a) nessuno consegua il titolo;
(b) uno solo consegua il titolo;
(c) almeno uno consegua il titolo;
(d) tutti conseguano il titolo.
Esercizio 8. Il diametro effettivo delle sfere di acciaio prodotte da una ditta può essere
considerato una variabile aleatoria che segue approssimativamente una distribuzione
normale e di media 5, 1 cm e scarto dalla media 0, 1 cm. Le sfere che hanno un diametro
superiore a 5, 3 cm vengono scartate. Si chiede di:
(a) calcolare la probabilità di produrre sfere che non vengano scartate;
(b) determinare l’intervallo in cui varia il raggio del 98, 2% delle sfere prodotte.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA
Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 7 Febbraio 2013
NOME............................................. COGNOME................ N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
√
4
arctan(x3 − 9x)
f1 (x) =
,
cosh(x2 − 1)
log (x + 2)2
f2 (x) = √
3 − 2 cos x
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
tan e−n
(
)
1
sin π − 2
n
5
limn→∞
n+2
3
3n − n2 + 5
limn→∞
n8 − 2n5 + arcsin e−n − 3
2n6 + 2n3 − 2n − earctan n2 − 9
∫
Esercizio 3 Calcolare il seguente integrale
4x + 3
dx.
+x+7
x2
ex + 1
si chiede di:
ex
(a) tracciare il grafico trascurando lo studio del segno;
(b) stabilire se l’equazione f (x) − 3 = 0 ammette una soluzione in (0, 4)
(c) calcolare l’area della seguente regione piana
Esercizio 4. Data la seguente funzione f (x) = x +
{(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, e−x ≤ y ≤ f (x)}
Esercizio 5. Si considerano due campioni di due popolazioni distribuite normalmente.
Il campione 1 (di 31 pazienti) rappresenta il livello di colesterolo sierico in una certa
popolazione maschile di alcolisti ipertesi con valor medio pari a 220 mg/100ml, e deviazione standard 41 mg/100ml, mentre il campione 2 (sempre di 31 pazienti) presenta il
livello di colesterolo sierico del gruppo di controllo(sani) con valor medio 211 mg/100ml
e deviazione standard 45 mg/100ml.
Valutare con una sensibilità dello 0,01% la possibilità che il livello di colesterolo sierico
non dipenda dall’essere alcolisti ipertesi.
10
Esercizio 6. Un neon su due si brucia entro un periodo di sei mesi se lasciato acceso
ininterrottamente. Viene montato un neon su ciascuno degli otto pianerottoli di un
palazzo.
(a) Qual è la probabilità che nessun neon si sia bruciato dopo sei mesi?
(b) Qual è la probabilità che si siano bruciati tutti e otto i neon dopo sei mesi?
Esercizio 7. La quantità di radiazioni cosmiche a cui è esposta una persona che attraversa in aereo gli Stati Uniti è una variabile aleatoria avente distribuzione normale
con media 4,35 mrem e deviazione standard 0,59 mrem. Calcolare la probabilità che la
quantità di radiazioni cosmiche a cui la persona sarà esposta sia
(a) tra 4.03 mrem e 5.05 mrem;
(b) più di 5.55 mrem.
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 21 Febbraio 2013
NOME............................................. COGNOME............... N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
√√
3−x−x
f1 (x) =
,
log(cosh x3 )
f2 (x) =
log |x + 3|
2 − cos2 x
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
(
)
πn2
3
−n3
limn→∞ 1 − cos e
e2n cos 2
2n − n + 5
(
)1/ log(1+x2 )
2
2
limx→0+ 1 + x + sin x
Esercizio 3. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) = x −
√
x2 − 1.
Esercizio 4. Calcolare l’area della regione piana contenuta nel I quadrante e data da
{(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, −2x + 1 ≤ y ≤ ex }.
∫
Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale
2x4
dx.
2 + 8x8
3 arctan
x
2
Esercizio 6. Si studia una particolare malattia su una popolazione della Nuova Guinea
e si osserva che 2 persone su 5 risultano negative al test diagnostico predisposto. Sapendo
che tale test ha una sensibilità dell’88% e una specificità dell’95%, calcolare la percentuale
dei falsi positivi.
12
Esercizio 7. Il piccolo delfino viene partorito in mare, un ambiente piuttosto freddo.
L’acqua ha un’elevata conduttività termica, quindi la termoregolazione di un neonato
di delfino è molto importante. E’ noto da tempo che il grasso dei neonati di delfino è
diverso in composizione e quantità da quello degli adulti. Queste caratteristiche rendono
i delfini più protetti dal freddo rispetto agli adulti? Una misura dell’efficacia del grasso
è la misura della sua conduttanza termica. Il valore di questa grandezza è stato calcolato
in 6 neonati e 8 adulti di delfino. I neonati avevano una conduttanza termica di media
di 10,44, con un errore standard dalla media di 0,69. Il valore medio della conduttanza
termica degli adulti era pari a 8,44, con errore standard di 1,04. Tutte le misure sono
espresse in watt per m2 per grado Celsius.
Verificare con una tolleranza del 0, 01% l’ipotesi secondo cui la conduttanza termica
del grasso degli adulti e dei neonati non sia diversa.
Esercizio 8. Una macchina automatica produce listelli di ferro e la lunghezza di tali
listelli segue una distribuzione normale. Sapendo che la lunghezza del 10% dei listelli è
maggiore di 17.24 mentre la lunghezza del 25% dei listelli è minore di 14.37.
(a) Calcolare il valor medio e la varianza delle lunghezze dei listelli.
(b) Determinare l’intervallo in cui varia la lunghezza del 97, 4% dei listelli.
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 12 Giugno 2013
NOME............................................. COGNOME................... N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
√
e2x − 1
f1 (x) =
,
log(sinh x2 )
arctan |x + 1|
f2 (x) = √
x2 − 2x + 1
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
(
lim sin
n→∞
(
lim
x→0+
πn3 + e−n − arctan n
4n3 + sin n − log n + 1
3
)
)
x
1
x
−
2
x log(1 + x ) 1 − cos x
Esercizio 3. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) = e−2x+
√
x
.
Esercizio 4. Calcolare, dopo averla disegnata, l’area della seguente regione piana
{(x, y) ∈ R2 : −e + 1 ≤ x ≤ e − 1, 0 ≤ y ≤ log(|x| + 1)}.
∫
Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale
(6 + 3 cos x)esin x+2x dx.
Esercizio 6. Un malato presenta un certo sintomo S che può essere causato dalla
malattia M1 che si manifesta con una probabilità pari a 0,6 o dalla malattia M2 che si
manifesta con probabilità 0,4. Sapendo che se è presente la malattia M1 il sintomo si
presenta con probabilità 0,6 mentre se presente la malattia M2 il sintomo si presenta
con probabilità 0,9, determinare quale malattia risulta più probabile alla presenza del
sintomo.
14
Esercizio 7. Una fabbrica di cioccolato promuove una campagna pubblicitaria per la
vendita di un nuovo tipo di uova pasquali, caratterizzate dal contenuto della sorpresa
costituita da bracciali di ottone. Su una partita di 1.000 uova, 6 di esse contengono dei
bracciali d’oro, del valore di un milione cadauno. Le uova contenenti bracciali d’oro, a
loro volta, vengono inserite in modo casuale in scatole da 20, e vendute ai negozianti.
Qual è la probabilità che un negoziante che acquista una scatola di uova, venda al
pubblico 2 o più uova contenenti bracciali d’oro?
Esercizio 8. Un’azienda stipula un contratto per produrre barattoli di marmellata da
500 g. La quantità di marmellata messa in ciascun barattolo è predeterminata meccanicamente e segue una distribuzione normale con valor medio µ e deviazione standard
pari a 25 g. Calcolare su quale valor medio deve essere tarata la macchina affinchè non
più del 3% dei barattoli contenga meno di 500 g.
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Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 26 Giugno 2013
NOME............................................. COGNOME................... N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
√
4 3x
e −e
f1 (x) =
,
log(1 + cosh x2 )
f2 (x) =
arcsin x2
arctan |2x − 1|
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
(
)n
4
n3 + e−n +2 − arctan n2
lim 1 +
n→∞
4n5 + 2 − log n
lim+
x→0
log(1 + 3 sin x3 )
(arctan x)4 cos x
Esercizio 3. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) = log(1 + x2 ) − x2 .
Esercizio 4. Calcolare l’area della seguente regione piana
}
{
π
2
2
(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ sin x .
2
∫
Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale
log(x2 + 5x + 1)dx.
Esercizio 6. La nifepidina è una sostanza usata per trattare problemi legati alla vasocostrizione coronarica. In uno studio è stata avanzata l’ipotesi che la nifepidina possa
influire sulla pressione arteriosa media. Per verificarlo è stata misurata la pressione arteriosa media ad un campione di 11 cani a cui è stato somministato un placebo e ad
un secondo campione di 11 cani a cui è stata somministrata la nifepidina, ottenendo i
seguenti risultati
16
Gruppo
Valore pressione arteriosa
placebo
156 171 133 102 129 150 120 110 112 130 105
nifepidina 73 81 103 88 130 106 106 111 122 108 99
Supponendo che i due campioni casuali sono estratti da due popolazioni distribuite
normalmente, verificare con una sensibilità dell’ 1% l’ipotesi avanzata.
Esercizio 7. Si vuole studiare la concentrazione di una sostanza y nel sangue di un
ratto dopo la somministrazione di una quantità x di un medicinale su un campione di 6
ratti. I dati ottenuti sono riportati nella seguente tabella
qt. medicinale concentr.
10
10
15
148
20
21
25
23
30
27
35
31
Supponendo che la relazione che intercorre tra le due variabili sia lineare, stabilire
quanti ml di medicinale va somministrato ad un ratto per avere una concentrazione pari
a 36.
Esercizio 8. Il punteggio ottenuto in un test sul quoziente d’intelligenza segue una
distribuzione normale con valor medio 100 e deviazione standard pari a 15.
Calcolare qual è la probabilità che il punteggio ottenuto dal candidato sia minore di
118; maggiore di 112 e infine, compreso fra 100 e 112.
17
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 18 Luglio 2013
NOME............................................. COGNOME............................ N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
√
|x3 − 1|
f1 (x) =
,
arctan(x − 2)2
f2 (x) =
log(cosh x5 − 1)
1 − ex3 −2
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
lim
x→∞
x5 + 4x2 + e2x
4x5 + 3x3 + log(x7 + 1)
(
)
1+tan x2
lim+ e
−e
x→0
sin x
1 − cos4 x
∫
Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale
√
e3 −1
√
e2 −1
(x2
x
dx.
+ 1) log(x2 + 1)
Esercizio 4. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) = 1 + log
x2 − 1
.
x2 + 1
Esercizio 5. Calcolare l’area della seguente regione piana
{(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 3, log(1 + x) ≤ y ≤ x,
y ≥ −x + 1}.
Esercizio 6. La probabilità di laurearsi di uno studente che si iscrive all’Università è
pari al 40%. Calcolare la probabilità che su 5 studenti
(a) non più di uno di laurei;
(b) almeno due si laureino;
(c) tutti si laureino.
18
Esercizio 7. Studi effettuati dopo l’esplosione del 1976 a Seveso hanno suggerito che
un’esposizione a quantità elevate (più di 15 parti per miliardo) di diossina possa aumentare la percentuale di nascite femminili rispetto a quelle maschili, e ci si è posto
il problema se il fenomeno fosse legato al sesso del genitore esposto. Si è considerato
sono considerati 2 gruppi: il gruppo A padre esposto a radiazioni e madre no mentre il
gruppo B costituito da padri non esposti e madri esposte. Si osservano i seguenti dati
relativi a 406 nascite:
Gruppo Figlie femmine Figli maschi
A
105
81
B
100
120
Stabilire, con una significatività del 1% e del 5%, se è vera l’ipotesi nulla secondo cui il
sesso del genitore esposto non influenza la percentuale di nascita di una figlia femmina,
evento la cui probabilità di verificarsi è pari a 3/5.
Esercizio 8. Nel 1998 si è verificato che su un campione di 49 dipendenti il numero
medio di giorni di assenza dal lavoro per malattia è stato pari a 5.4 con deviazione
standard di 2, 8 giorni. Assumendo che il campione segua una legge normale calcolare
la probabilità che la media di assenze sia
(a) maggiore di 6 giorni;
(b) fra 4 e 6 giorni;
(c) fra 4 giorni e mezzo e 5 giorni e mezzo.
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 10 Settembre 2013
NOME............................................. COGNOME......................................
N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
f1 (x) =
log arctan(x2 − 1)
,
1 + cos x
f2 (x) =
x3/2 − 1
1 − log |2x − 5|
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
√
n2 + 9n4 − 3n2
lim
n→∞
e−n2 + 1
(
)
1 √
x log x
lim −1 + cos
x→0+
x
Esercizio 3. Calcolare l’area della regione piana compresa tra il grafico della funzione
f (x) = −ex , la retta passante per i punti (1, −e) e (0, −1) e contenuta nel quarto
quadrante.
Esercizio 4. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) =
∫
Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale
3x + 4
dx.
x2 + 5
e−x
.
x+1
20
Esercizio 6. Il responsabile marketing di una società che produce giocattoli sta analizzando le probabilità di successo sul mercato di un nuovo gioco. Nell’esperienza passata della ditta il 65% dei nuovi giocattoli ha avuto successo di mercato, mentre il
restante 35% non ne ha avuto. Si sa inoltre che l’80% dei giocattoli di successo avevano
ricevuto un giudizio positivo da parte degli esperti di marketing della società prima
dell’immissione del prodotto sul mercato, mentre lo stesso giudizio era stato attribuito
solo al 30% dei giocattoli che che si sarebbero rivelati un insuccesso di mercato.
Calcolare la probabilità che il nuovo giocattolo sia premiato dal mercato, sapendo che
gli esperti della società lo hanno valutato positivamente.
Esercizio 7. La durata delle gomme per auto segue una distribuzione normale di media
75000 km e deviazione standard 7000 km.
(a) Qual è la percentuale delle gomme che durano meno di 55000 km?
(b) La pubblicità della ditta produttrice dichiara che il 90% delle gomme durano più
di x km. Qual è il valore di x?
Esercizio 8. Per stabilire l’efficacia di un vaccino anti-influenzale è stata condotta una
ricerca, somministrando il vaccino a 500 persone e controllando il loro stato di salute in
un anno; lo stesso controllo è stato effettuato per un gruppo di altre 500 persone non
vaccinate; in base ai risultati dell’esperimento si è ottenuta la seguente tabella
nessuna influenza una influenza più di una influenza Totale
vaccinati
252
145
103
500
nonvaccinati
224
136
140
500
Totale
476
281
243
1000
Stabilire, con una significatività del 5%, se è vera l’ipotesi secondo cui non vi è differenza tra vaccinati e non vaccinati.
21
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 26 Settembre 2013
NOME............................................. COGNOME......................................
N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
f1 (x) =
f2 (x) =
log(x2 − 2x + 1)
√
,
3
x−1
√
1 − log x2 · arcsin
x4
1
+1
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
(
n2 + 3n − 1
lim n log 3
n→∞
n − 2n2 + e−n + 1
)
(
)
log(sin4 x + 1)
log x
lim+ x
−1
x→0
arctan4 x
Esercizio 3. Disegnare la regione piana contenuta nel secondo quadrante e compresa
tra il grafico della funzione f (x) = − log x e la retta passante per i punti (e, −1) e (1, 0).
Calcolarne poi l’area.
Esercizio 4. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) =
∫
Esercizio 5. Calcolare il seguente integrale
2
sin 2x esin x dx.
log(x + 1)
.
x+1
22
Esercizio 6. Si sperimenta l’effetto sui bovini dell’aggiunta alla razione quotidiana di
una miscela probiotica costituita da batteri normalmente presenti nella flora intestinale
del bovino. L’ipotesi da verificare è che il probiotico favorisca l’accrescimento degli
animali. Allo scopo di verificare l’ipotesi si effettua uno studio sperimentale preliminare
su due piccoli gruppi di bovini, supponendo i gruppi fra loro omogenei (stessa razza,
et, provenienza ecc.) e mantenendo le stesse condizioni di allevamento (alimentazione,
temperatura ambiente ecc.). L’unica differenza è che alla razione del gruppo 1, costituito
da 10 bovini, viene aggiunto il probiotico, mentre al gruppo 2, formato da 11 bovini, no.
All’inizio dell’esperimento ciascun suino viene pesato; dopo 21 giorni di trattamento
i suini vengono pesati di nuovo e per ogni animale si calcola l’incremento giornaliero
medio in grammi. I dati riportati sono i seguenti:
Gruppo 1 639 646 650 641 641 637 659 650 640 635
Gruppo 2 650 633 631 637 642 638 640 634 626 636 640
Supponendo che i due campioni casuali sono estratti da due popolazioni distribuite
normalmente, verificare con una sensibilità dell’ 1% l’ipotesi avanzata.
Esercizio 7. La distribuzione dei livelli di alfa-tocoferolo (vitamina E) nel sangue è
approssimativamente normale con media 860 g/dl e deviazione standard 340 g/dl.
(a) Che percentuale di persone ha livelli di alfa-tocoferolo compresi tra 400 e 1000
g/dl?
(b) Supponiamo che una persona abbia livelli tossici di alfa-tocoferolo se il suo livello
nel sangue è maggiore di 1800 g/dl. Qual è la probabilità che questo accada?
Esercizio 8. Si studia il livello di corrosione di una certa sostanza metallica esposta ad
un’atmosfera di ossigeno puro a 500 gradi Celsius. L’aumento relativo di massa della
sostanza viene usato come indicatore della quantità di ossigeno che ha reagito. I dati
raccolti sono i seguenti:
Ore di esposizione (x) Incremento percentuale (y)
1
0.02
2
0.03
2,5
0.035
3
0.042
3,5
0.05
4
0.054
Supponendo che la relazione che intercorre tra le due variabili sia lineare, stabilire lincremento di massa dopo 3.2 ore di esposizione.
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Facoltà di Scienze MM. FF. e NN.
Corso di Matematica per le Applicazioni - CANALE B
Laurea Triennale in Biotecnologie
A.A. 2012/2013 – 20 Dicembre 2013
NOME............................................. COGNOME......................................
N.MATRICOLA...........
Esercizio 1. Stabilire il dominio delle seguenti funzioni
f1 (x) =
log(x − 3)4
,
sinh[cosh(x − 2)]
√
4
f2 (x) =
arctan(x4 − 2x2 + 1)
3 cosh x − 1
Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti
lim
x→∞
5x8 + 3x6 + 4x2 + e−2x
√
4x5 + 3x3 + e x + cos x2 + 3
(
)3
√
1
cos x − 1
√
lim 1 +
x→0+
x log(1 + sin2 x)
∫
2
x2
e 2 +x (3x + 3)dx.
Esercizio 3. Calcolare il seguente integrale
1
2x2 + 1
Esercizio 4. Tracciare il grafico della seguente funzione f (x) = e x − 1 .
−
Esercizio 5. Calcolare l’area della seguente regione piana
{(x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0, x2 − 4 ≤ y ≤ (x + 1)2 ,
y ≤ −4x + 8}.
24
Esercizio 6. Uno stabilimento produce un nuovo dentifricio e da indagini di mercato
risulta che la probabilità che una persona non gradisca il gusto di tale dentifricio è pari
al 22%. Calcolare la probabilità che su 9 persone
(a) non più di tre gradiscano tale dentifricio;
(b) almeno due gradiscano tale dentifricio;
(c) tutte gradiscano tale dentifricio.
Esercizio 7. Si studia una particolare allergia contratta dagli abitanti di una regione del
Kenya e si osserva che 2 persone su 8 risultano positive al test diagnostico predisposto.
Sapendo che tale test ha una sensibilità dell’87% e che la percentuale dei falsi positivi è
del 15% stabilire il valore predittivo del test.
Esercizio 8. Due negozi siti rispettivamente nel quartiere Parioli di Roma e nella zona
Olgiata di Roma di una certa catena di telefonia hanno rispettivamente scorte settimanali
di 28 e 20 telefoni cellulari di marca Z. Supponiamo che la domanda settimanale di
questi telefoni segue la distribuzione normale nel primo negozio con media 25 e scarto
quadratico medio 4; nel secondo negozio con media 18 e scarto quadratico medio 4,5,
stabilire quale dei due negozi ha la maggiore probabilità di esaurire le scorte di magazzino.