Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione

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3D Geometria solida – Piramide - 1
Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
1. Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base lungo 20 cm e
l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo peso
sapendo che è fatta di sughero (p.s. = 0,25 g/cm3).
2. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 120 cm e ha
una altezza di 20 cm. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3),
calcolane la sua superficie totale, il volume e il peso.
3. In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è di 72 cm. Calcola
la misura della superficie totale della piramide e il suo peso sapendo che la sua
altezza è di 40 cm e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).
4. Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale
della piramide.
5. Una piramide quadrangolare regolare è alta 52 cm e ha l’apotema di 48 cm.
Calcola la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo
che è fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
6. Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di
base, ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della
piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di
cui è fatta è di 9 g/cm3.
7. Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una piramide di marmo
(p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24 cm. Calcola:
a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato;
b) il volume e il peso della piramide;
c) l’area della superficie totale della piramide;
d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo equivalente alla
piramide e avente le dimensioni di base di 8 cm e 28 cm.
8. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base
quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.
9. Calcola la misura della superficie totale di una piramide regolare a base
esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12
cm.
10. Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui perimetro è 200 cm.
Il trapezio è circoscritto ad un circonferenza lunga 48 𝜋 𝑐𝑚. Sapendo che l’area
della superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume del solido.
11. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 900 cm2 e
l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo
peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).
12. Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in comune; questa è
un rombo che ha il perimetro di 180 cm e una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che
gli apotemi delle due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del
solido.
13. Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che misura 256 m 2 e
l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo
peso sapendo che è fatta di zinco (ps 7,1).
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14. Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base che misura 40 dm
e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area della superficie totale, il volume e il suo
peso sapendo che è fatta di sughero (ps 0,25).
15. La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha base rettangolare
(121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola la superficie totale, il volume e il peso
(ps 2,3 – valore del calcare) di una piramide con queste caratteristiche.
16. Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di base di 72 cm e ha
un peso di 11664 g. Sapendo che la piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3),
calcolane la sua superficie totale e il volume.
Soluzioni
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Una piramide regolare quadrangolare ha lo spigolo di base
lungo 20 cm e l’altezza misura 24 cm. Calcola l’area della
superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è fatta
di sughero (p.s. 0,25).
Supbase = l2 = 202 = 400 cm2
l 20
aquadrato = =
= 10 cm
2
2
a=
h2 + a2quadrato =
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒
𝑠𝑝𝑖𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 20 𝑐𝑚
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = ℎ = 24 𝑐𝑚
𝑔
𝑝𝑠𝑠𝑢𝑔 ℎ𝑒𝑟𝑜 = 0,25
𝑐𝑚3
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = ?
V = ? Peso =?
242 + 102 = 676 = 26 cm
Suplaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 2 ∙ 26 = 1040 cm2
Suptotale = Supbase + Suplaterale = 400 + 1040 = 1440 cm2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 400 ∙ 24
=
= 400 ∙ 8 = 3200 𝑐𝑚3 = 3,2 𝑑𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 3200 ∙ 0,25 = 800 𝑔
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 =
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di
base di 120 cm e ha una altezza di 20 cm. Sapendo che la
piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua
superficie totale, il volume e il peso.
2p 120
=
= 30 cm
4
4
Supbase = l2 = 302 = 900 cm2
l 30
aquadrato = =
= 15 cm
2
2
2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 120 𝑐𝑚
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 20 𝑐𝑚
𝑔
𝑝𝑠𝑎𝑙𝑙𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 = 2,7
𝑐𝑚3
V = ? Peso =?
lbase =
a=
h2 + a2quad . =
202 + 152 = 400 + 225 = 625 = 25 cm
120
∙ 25 = 60 ∙ 25 = 1500 cm2
2
+ Suplaterale = 900 + 1500 = 2400 cm2
Suplaterale = pbase ∙ a =
Suptota le = Supbase
=
= 300 ∙ 2 = 6000 𝑐𝑚3 = 6 𝑑𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 6 ∙ 2,7 = 16,2 𝑘𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è
di 72 cm. Calcola la misura della superficie totale della
piramide e il suo peso sapendo che la sua altezza è di 40 cm
e che è fatta di vetro (ps = 2,5 g/cm3).
2p 72
=
= 18 cm
4
4
Supbase = l2 = 182 = 324 cm2
l 18
aquadrato = =
= 9 cm
2
2
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 40 𝑐𝑚
Suptotale = ?
lbase =
a=
h2 + a2quad . =
402 + 92 = 1600 + 81 = 1681 = 41 cm
72
∙ 41 = 36 ∙ 41 = 1476 cm2
2
+ Suplaterale = 324 + 1476 = 1800 cm2
Suplaterale = pbase ∙ a =
Suptotale = Supbase
=
= 108 ∙ 40 = 4320 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 4320 ∙ 2,5 = 10800 𝑔 = 10,8 𝑘𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Il perimetro di base e l’altezza di una piramide che ha per base un triangolo
equilatero misurano rispettivamente 81 cm e 21 cm. Calcola la superficie totale
della piramide.
DATI:
2pbase = 81 cm
a = 21 cm
Sl=?
St=?
spigolo_base = 2pbase/3 = 81/3 = 27 cm
2
 27 
htriangolo_base = 27     27 2  13,52  729  182,25  546,75  23,38 cm
 2 
b * h 27 * 23,38 621,26


 315,63 cm2
S_base=
2
2
2
2
2
Apotema = a =
h

 23,38 
h   triangolo_ base   212  
 = 22,40 cm
3
 3 


2
2
2
h

 23,38 
Apo  h   triangle _ base   212  
  22, 40cm
3
 3 


2
2
Atriangolo_laterale =
spigolo _ base  apotema 27  22,40

= 302,40 cm2
2
2
S_laterale = 3* Atriangolo_laterale = 3*302,40 = 907,20 cm2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 907,20 + 315,63 = 1222,3 cm2
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Una piramide quadrangolare regolare è alta 48 cm e ha l’apotema di 52 cm. Calcola
la misura dell’area totale della piramide, il suo volume e il suo peso sapendo che è
fatta di gesso (ps 2,3 g/cm3).
l
 a 2  h 2  52 2  482  2704  2304  400 = 20 cm
2
l
l = * 2  20 * 2 = 40 cm
2
b*h l *a


S_faccia =
2
2
20
2
4 0 * 52
= 1040 cm2
2 1
S_base = l 2  402 = 1600 cm2
S_laterale = S_faccia * 4 = 1040 * 4 = 4160 cm 2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 4160 + 1600 = 5760 cm2
=
= 1600 ∙ 16 = 26688 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2668 ∙ 2,3 = 61382,4 𝑔 = 61,38 𝑘𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide quadrangolare regolare, la cui apotema è 13/24 dello spigolo di base,
ha l’area di base pari a 2304 cm2. Calcola la misura dell’area totale della piramide, il
suo volume e il suo peso sapendo che il peso specifico del materiale di cui è fatta è
di 9 g/cm3.
l=
Aquadrato  2304  48 cm
2p = 4*l = 4 * 48 = 192 cm
13
= 26 cm
24
l a
 4  2  l  a = 2*48*4 = 384 cm 2
S_laterale = S_faccia * 4 =
2
Apotema = a = 48 
2
Alt_piramide =
2
l
 48 
a     26 2     26 2  24 2  676  576  100 = 10 cm
2
 3
2
=
= 768 ∙ 10 = 7680 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 7680 ∙ 9 = 69,12 𝑘𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Un quadrato ha il lato che misura 14 cm ed è la base di una
piramide di marmo (p.s. 2,8 g/cm3) la cui altezza misura 24
cm. Calcola:
a) la misura del perimetro e dell’area del quadrato;
b) il volume e il peso della piramide;
c) l’area della superficie totale della piramide;
d) l’area della superficie totale del parallelepipedo rettangolo
equivalente alla piramide e avente le dimensioni di base di 8
cm e 28 cm.
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔
𝐴𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 = 12 𝑐𝑚
𝑔
𝑐𝑚3
S_quadrato_base = l2 = 142 = 196 cm2
2p_quadrato_base = 4*l = 4*14 = 56 cm
𝑉𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚 𝑖𝑑𝑒 = 𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙 =
=
= 196 ∙ 8 = 1568 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 1568 ∙ 2,8 = 4390,4 𝑔 = 4,39 𝑘𝑔
l
h2   
2
apotema_pir =
2
 24 2  7 2  576  49  625
= 25 cm
l a
 2  l  a  2  14  25  28  25 = 700 cm2
2
= 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 196 + 700 = 896 cm2
Sl_piramide = 4 
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒
Sb_parall = a*b = 8*28 = 224 cm2
2p_base_parall = 2*(a+b) = 2*(8+28) = 2*36 = 72 cm
h_parallelepipedo =
V _ piramide
1568
= 7 cm

s _ base _ parall 224
Sl_parall = 2p_base_parall*h_parall = 72*7 = 504 cm2
S_totale_parall = 2*Sb + Sl = 2*224+504 = 952 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola la misura della superficie totale di una piramide
regolare a base quadrata di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che
pesa 4800 g e che ha un’altezza di 9 cm.
𝑃𝑒𝑠𝑜 4800
=
= 19200 𝑐𝑚3
𝑝𝑠
0,25
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 3 ∙ 19200 19200
𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =
=
=
= 6400 𝑐𝑚2
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
9
3
𝑙𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆6400 = 80 𝑐𝑚
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 4800 𝑔
𝑔
𝑐𝑚3
𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 =
𝑎=
𝑙 80
=
= 40 𝑐𝑚
2
2
2
ℎ2 + 𝑎𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜
=
92 + 402 = 1600 + 81 = 41 𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 80 ∙ 2 ∙ 41 = 6560 𝑐𝑚2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Calcola la misura della superficie totale di una piramide
regolare a base esagonale di sughero (p.s. 0,25 g/cm3) che
pesa 2700 g e che ha un’altezza di 12 cm.
𝑃𝑒𝑠𝑜 2700
=
= 10800 𝑐𝑚3
𝑝𝑠
0,25
3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 3 ∙ 10800 10800
𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 =
=
=
= 2700 𝑐𝑚2
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎
12
4
𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 2700
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜𝑏𝑎 𝑠𝑒 =
=
= 450 𝑐𝑚2
6
6
𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 2700 𝑔
𝑔
𝑐𝑚3
In un esagono regolare il raggio della circonferenza circoscritta è uguale al
lato dell’esagono regolare. Da cui
3𝑙 2 3
2𝑆
2 ∙ 2700
→→→ 𝑙 =
=
=
2
3 3
3 3
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
2700
𝑎𝑒𝑠𝑎 𝑔𝑜𝑛𝑜 =
=
= 27,91 𝑐𝑚
𝑝
3 ∙ 32,23
1800
𝑆=
3
= 32,23 𝑐𝑚
Un esagono regolare è formato da 6 triangoli equilateri per cui un’altro
modo percorribile è quello di usare il teorema di Pitagora applicato a un
triangolo equilatero di area nota:
𝑎=
2
ℎ2 + 𝑎𝑒𝑠𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜
=
ℎ2 = 𝑙2 −
122 + 27,912 =
𝑙 2
2
.
922,9681 = 30,38 𝑐𝑚
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎 = 3 ∙ 32,23 ∙ 30,38 = 2397,44 𝑐𝑚2
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 2700 + 2397,44 = 5637,44 cm2
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide retta ha per base un trapezio isoscele il cui
perimetro è 200 cm. Il trapezio è circoscritto ad un
circonferenza lunga 48 𝜋 cm. Sapendo che l’area della
superficie totale della piramide è 5000 cm2, calcola il volume
del solido.
𝑟=
𝐶
48𝜋
=
= 24 𝑐𝑚
2𝜋
2𝜋
2𝑝𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 200 𝑐𝑚
𝑝=
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 = 5000 𝑐𝑚2
𝐶𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑡𝑎 = 48𝜋 𝑐𝑚
𝑉 =?
2𝑝 200
=
= 100 𝑐𝑚
2
2
Per i poligoni irregolari circoscritti
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 = 𝑝 ∙ 𝑟 = 100 ∙ 24 = 2400 𝑐𝑚2
Per la condizione di circoscrittibilità di un quadrilatero (uguale somma lati opposti)
𝑏1 + 𝑏2 = 𝑙 + 𝑙 = 2𝑙 = 100 𝑐𝑚
Oppure:essendo la distanza delle due basi deve pari al doppio del raggio
𝑏1 + 𝑏2
2𝐴 2 ∙ 2400
ℎ →→ 2𝑙 = 𝑏1 + 𝑏2 =
=
= 100 𝑐𝑚
2
2𝑟
2 ∙ 24
2𝑙 100
𝑙= =
= 50 𝑐𝑚
2
2
𝑆𝑢𝑝𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒 = 𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 − 𝑆𝑢𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒 = 5000 − 2400 = 2600 𝑐𝑚2
𝐴𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 =
Una delle due facce laterali uguali ha area pari a un quarto della laterale totale
(somma lati opposti uguale e i due lati obliqui uguali)
2600 1300
=
= 650 𝑐𝑚2
4
2
2𝐴 2 ∙ 650 130
𝑎 = ℎ𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
=
=
= 26 𝑐𝑚
𝑏
50
5
ℎ𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝑎2 − 𝑟 2 = 262 − 242 = 676 − 576 = 100 = 10 𝑐𝑚
=
= 800 ∙ 10 = 8000 𝑐𝑚3 = 8 𝑑𝑚3
3
3
𝑆𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜
50
=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che
misura 900 cm2 e l’altezza che misura 112 cm. Calcola l’area
della superficie totale, il volume e il suo peso sapendo che è
fatta di zinco (ps 7,1).
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 900 𝑐𝑚2
ℎ = 112 𝑐𝑚
𝑝𝑠 = 7,1
𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase = A = 900 = 30 cm
pbase = 2l = 2 ∙ 30 = 60 cm
a=
h2
l
+
2
2
=
1122 + 152 = 12544 + 225 = 12769
= 113 cm
Slaterale = pbase ∙ a = 60 ∙ 113 = 6780 cm2
Stotale = Supbase + Suplaterale = 900 + 6780 = 7680 cm2
=
= 300 ∙ 112 = 33600 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 33600 ∙ 7,1 = 238560 𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Un solido è composto da due piramidi rette aventi la base in
comune; questa è un rombo che ha il perimetro di 180 cm e
una diagonale lunga 72 cm. Sapendo che gli apotemi delle
due piramidi misurano ambedue 36 cm calcola il volume del
solido.
𝑙𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =
2𝑝 180 90
=
=
= 45 𝑐𝑚
4
4
2
𝑃𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒
𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙𝑒
2𝑝𝑏𝑎𝑠𝑒𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 180 𝑐𝑚
𝑑1𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 = 72 𝑐𝑚
𝑎 = 36 𝑐𝑚
𝑉 =?
𝑑1 72
=
= 36 𝑐𝑚
2
2
𝑑2
𝑑1 2
2
= 𝑙 −
= 452 − 362 = 2025 − 1296 = 729 = 27 𝑐𝑚
2
2
𝑑2 = 272 = 54 𝑐𝑚
𝑑1 ∙ 𝑑2 72 ∙ 54
𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜 =
=
= 72 ∙ 27 = 1944 𝑐𝑚2
2
2
𝐴𝑟𝑜𝑚𝑏𝑜
1944 972
𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
=
=
= 486 𝑐𝑚2
4
4
2
2𝐴 2 ∙ 486 2 ∙ 54 108
ℎ𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑜 =
=
=
=
= 21,6 𝑐𝑚
𝑏
45
5
5
ℎ𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑖 = 𝑎2 − ℎ2 = 362 − 21,62 = 1296 − 466,56 = 829,44
= 28,8 𝑐𝑚
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
1944 ∙ 28,8
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 2 ∙
= 2∙
= 3888 ∙ 9,6 = 37324,8 𝑐𝑚3
3
3
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide regolare quadrangolare ha l’area di base che
misura 256 m2 e l’altezza che misura 31,5 m. Calcola l’area
fatta di zinco (ps 7,1).
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 256 𝑐𝑚2
ℎ = 31,5 𝑐𝑚
𝑝𝑠 = 7,1
𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase = A = 256 = 16 cm
pbase = 2l = 2 ∙ 16 = 32 cm
a=
h2
l
+
2
2
=
31,52 + 82 =
992,25 + 64 =
1056,25
= 32,5 cm
Slaterale = pbase ∙ a = 32 ∙ 32,5 = 1040 cm2
Stotale = Supbase + Suplaterale = 256 + 1040 = 1296 cm2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 256 ∙ 31,5
=
= 256 ∙ 10,5 = 2688 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2688 ∙ 7,1 = 19084,8 𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide regolare quadrangolare ha il perimetro di base
che misura 40 dm e l’altezza che misura 9 dm. Calcola l’area
fatta di sughero (ps 0,25).
2p 40
=
= 10 cm
4
4
2
2
= l = 10 = 100 cm2
2p 40
=
=
= 20 cm
2
2
ℎ = 9 𝑐𝑚
𝑝𝑠 = 0,25
𝑆𝑢𝑝𝑡𝑜𝑡 𝑎𝑙𝑒 = ?
𝑉 = ? 𝑃 =?
lbase =
Abase
pbase
a=
h2 +
l
2
2
=
92 + 52 = 81 + 25 = 106 = 10,29 cm
Slaterale = pbase ∙ a = 20 ∙ 10,29 = 205,8 cm2
Stotale = Supbase + Suplate rale = 100 + 205,8 = 305,8 cm2
=
= 100 ∙ 3 = 300 𝑐𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 300 ∙ 0,25 = 75 𝑔
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
La Piramide di Zoser (Saqqara), a 6 gradoni di granito, ha
base rettangolare (121 m per 109 m) ed è alta 60 m. Calcola
la superficie totale, il volume e il peso (ps 2,3 – valore del
calcare) di una piramide con queste caratteristiche.
Sbase = ab = 121 ∙ 109 = 13189 m2
𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑡𝑡𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒
𝑎 = 121 𝑚
𝑏 = 109 𝑚
ℎ = 60 𝑚
𝑝𝑠 = 0,25
𝑉 = ? 𝑃 =?
=
= 13189 ∙ 20 = 2374020 𝑚3
3
3
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 ∙ 𝑝𝑠 = 2374020 ∙ 2,3 = 5460246 𝑡
𝑃𝑒𝑠𝑜 = 5,4 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑜𝑛𝑖 𝑑𝑖 𝑡𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑙𝑎𝑡𝑒
a1 =
h2
b
+
2
2
=
602 + (121/2)2 =
7260,25 = 85,21 m
a 2
= 602 + (109/2)2 = 6570,25 = 81,06 m
2
a ∙ a1 121 ∙ 85,21
S1 =
=
= 5155,21 m2
2
2
a ∙ a2 109 ∙ 81,06
S2 =
=
= 4417,77 m2
2
2
Stotale = Sbase + 2S1 + 2S2
Stotale = 13189 + 2 ∙ 5155,21 + 2 ∙ 4417,77 = 32334,96 m2
a1 =
h2 +
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Una piramide retta a base quadrangolare ha il perimetro di
base di 72 cm e ha un peso di 11664 g. Sapendo che la
piramide è di alluminio (ps = 2,7 g/cm3), calcolane la sua
superficie totale e il volume.
2p 72
=
= 18 cm
4
4
2
2
= l = 18 = 324 cm2
2p 72
=
=
= 36 cm
2
2
𝑃 = 11664 𝑔
𝑝𝑠 = 2,7
𝑉 =?
lbase =
Sbase
pbase
𝑃
11664
=
= 4320 𝑐𝑚3
𝑝𝑠
2,7
3 ∙ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 3 ∙ 4320 4320 2160 1080
𝑎𝑙𝑡𝑒𝑧𝑧𝑎 =
=
=
=
=
= 40 𝑐𝑚
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒
324
108
54
27
a=
h2
l
+
2
2
=
402
18
+
2
2
= 1600 + 81 = 1681
= 41 cm
Slaterale = pbase ∙ a = 36 ∙ 41 = 1476 cm2
Stotale = Sbase + Sl = 324 + 1476 = 1800 cm2
𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙𝑎𝑙𝑡𝑒 𝑧𝑧𝑎
3
=
324∙40
3
= 108 ∙ 40 = 4320 𝑐𝑚3
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Keywords
Geometria, geometria solida, geometria 3D, piramidi, piramide, poliedri,
volume, superficie totale, superficie laterale, problemi di geometria con soluzioni,
Matematica, esercizi con soluzioni.
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Geometrie, 3D, Volum, Pyramide, Parallelepiped, Parallelverschiebung,
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Problemi di geometra solida sulla piramide con risoluzione

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