Sulla derivata dell`integrale - bdim: Biblioteca Digitale Italiana di

B OLLETTINO
U NIONE M ATEMATICA I TALIANA
Roberto Conti
Sulla derivata dell’integrale
Bollettino dell’Unione Matematica Italiana, Serie 3, Vol. 5
(1950), n.2, p. 128–133.
Zanichelli
<http://www.bdim.eu/item?id=BUMI_1950_3_5_2_128_0>
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Sulla derivata dell?integrale.
Nota di
ROBERTO CONTI
(a Firenze).
8tinto. - Si conoscono due condizioni (Ie B) e C) del n. 1) perché in utt punto x
prefissato sia — /f(t)dt = O; una ierza condisione (la A) del n l) viene
axj
a
qui stabilita e si mostra poi (nn. 2, 3) che la classe di fun&ioni cui essa
si applica per un determinato punto x è una sottoclasse propria délia
classe delle fun&ioni che, in x, soddisfano insieme B) e C). In fine (n. 4)
si rileva che B) e C) sono indipendenti Vuna daWaltra*
1. Sia f(t) una funzione limitata e misurabile nell' intervalle*
a <Ç t < b e sia
X
F(x) = I f(t)dt -+- cost
a
il suo integrale indefinito, nel senso di LEBESGTTE. La presentebreve ricerca ha per scopo principale di istituire un confronto tra
alcune condizioni ognuna delle quali basta a far si che in un data
punto x di (a, b) la derivata F'{x) délia F esista e sia nulla
(1)
F'(x) = 0.
Per semplificare, senza restrizioni sostanziali, considereremo la
derivata destra in as, F\(x) ed in luogo délia (1), la
(2)
* % ( * ) = <>.
Affinchè la (2) si verifichi è sufficiente una delle tre condizionï
seguenti :
fit)
A) - La funzione j-±—- sia assolutamente integraMle per
z—x
x < t < b;
B) - Esista finito il limite
C) - La f(t) sia « approssimativamente infîmtesima, a destra9.
nel punto x », il che sta a significare che Vinsieme dei punti t >x
nei quali è
1 fit) \ < a
ha in x una densità eguaïe ad uno, com%mque si scelga c > 0.
SULLA DERIVATA DELl/lNTECRALE
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B) e C) possono considerarsi come sostanzialmente note. La dimostrazione della sufficienza di B) si trova in una Nota di THOMAE ('),
sotto ipotesi, circa la natura della ƒ, diverse dalle nostre, ma sussiste anche nel caso attuale. La sufficienza della C) siprova con
10 stesso semplice procedimento tenuto da DENJOT per dimostrare
11 noto teorema (2) che afferma V esistenza della Ff{x) in ogni punto x
iu cui la f è « approssimativamente continua » e V uguaglianza
della F\x) stessa con la f(x).
La A) invece non sembra sia stata rilevata esplicitamente e la
dimostrazione della sua sufficienza è immediata; basta osservare
che dalP ipotesi segue che fissato un s > 0 si puö determinare un So
taie che per 0 < S < §0 sia
x+S
J t
X
x
e qixindi, essendo 0 < t — x < o
a maggior ragione
\\ftm
cioè la (2).
2. Per comodità di linguaggio indichiamo con A, J5, C Ie classi
di funzioni f(t) che in un determinato x di (a, b) soddisfano Ie
condizioni A), B), C) rispettivamente. Paremo vedere anzitutto che
tra queste classi sussiste la relazione
(3)
A<BC
cioè che ogni funzione soddisfacente la A) soddisfa anche la B) e
la C).
Per questo occorre e basta provare Ie
(3')
A<B,
A<C
(*) THOMAE, Ueber die Differenzirbarkeit eines Intégrales nach der obern
Grentse, « J^achr. Göttingen », n. 18, pp. 696-700, (1893).
(2) Yed. A. DENJOY, Sur les fonctions dérivées sommables, « Bull. Soc.
Math, de France », t, 43, pp. 161-248; (1915), p. 172, 178; ved. anche W.
WILKOSZ, Some properties of clerivative functions, « Fund. Math. », t. %
pp. 145-154, (1921), p. 150.
130
ROBERTO
CONTI
di cui la prima è una relazione nota e la seconda discende dal
seguente :
TEOEEMA. - Se cp(t) è una funzione assolutamente integrabile per
a < t < b la funzione (t — x)<p(t) risulta approssimativamente infinitesima per ogni x di (a, b).
Si fissi infatti un punto x di (a, b) a piacere ; scelto un s j> 0
ad arbitrio, si potrà in corrispondenza di tale x determinare un
80 = 80(e) ^ 0 tale da aversi per 0 < S < o0
x-\ o
e quindi anche, per t > x
x tS
f ^
ed, essendo 0 < t — x<C§
x t-S
(4)
g / (i — rac) [ cp(^) [ dt < s.
Sia 1$ T insieme dei punti t di (x, a; + 8) in cui è
(5)
(2 — ie) | <p(£) | > \ s
e sia Cis 1'insieme complementare di 1$ rispetto all'intervallo
(a, x *- S).
I n luogo della (4) si potrà scrivere
1
1
f
SJ
'
f
Sy
e per la (5) :
0 < £• X £ w ( I s )
H -g
ï{t — x ) \ tf(t) \dt <&
Cis
m(I§) indicando la misura, nel senso di LEBESGTTE, di J§. A maggior
ragione sarà dunque
e per l'arbitrarietà di e segue che ƒ§ ha densità eguale a zero.
quindi Cis densità eguale ad uno, in x. Analogamente si procède
se t <c x.
Se in particolare cp(£) = 7
delle (3X) e quindi la (3).
v
, t^>x, resta provata la seconda
X
StiLLA DERIVATA DELl/lNTECRALE
131
•3. Mostriamo ora, con un esempio, che la classe A è una sottoclasse propria délia classe BC, in simboli
(3")
A < BC
Siano J an i ed | eM I due successioni di numeri positivi di cuî
la prima converga a zero, decrescendo, e si abbia inoltre
»«+i(l + £ «-M) <
(6')
a
n
per w - 1 , 2, 3,... e
?«±iîu±L
a
=
o,
lim - ^
v
^ ( 1+ g
a £
*" „
a ( l
^ 0 .
)
Proveremo che in tali condizioni l'insieme I dei punti b tali che
II an<t<
an{l -+- s,,);
« = 1, 2, 3....
ha densità nulla nel punto 2 = 0. Detta ty(t) la funzione « caratteristica » di J (cioè eguale ad un o se t appartiene ad I, eguale a
zero altrove) si tratta di provare che è
1 f
lim x- I M)dt = O
x~»+Q J
o
>, poichè
0
0
S n a H . tt
-
33
dovremo provare che è
lH)
(7)
lim
j _*
4-0
OIOH-É.)
La grafica délia j <t>(t)dt è una spezzata s, a lati rettilinei, con î
vertici nei punti
( « ( l i •+• 6j)3 0),
( o n al£l);
( a , ( l -H S,), a ^ , ) ,
«—i
:
(o n (l -t- et(), Sv a v 6 v ),
i
( a , , 0,6, -4- a 2 e 2 );
«
(o B , S v o y e y );
i
di cui il 1°, 3°, 5°,... sono altrettanti minimi (il 2°, 4°, 6°,... massimi). La spezzata s' che ha per 1°. 2°, 3°,... vertice rispettivamente
il 1°, 3°, 5 a ,... sta dunque tutta al di sotto di s e si vede subito
che la seconda délie (6") esprime il fatto che il coefficiente angolare del generico lato di s'tende a zero per n—+oo. Analogamente
la prima délie (6") indica la tendenza a zero. per n ^ o o , del coefficiente angolare del generico lato di una seconda spezzata s", tutta
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UOBERTO CONTI
al di sopra di s, c ie ha per 1°, 2°, 3°,... vertice il 2°, 4°, 6°, ... vertice di s rispettivamente. Dunque il coefficiente angolare della
retta che uaisce il pauto (0, 2„ anen) col punto (x, fty(t)dt) al tendere
cc
•di x a zero (e quindi per n —* oo) tende anch' esso a zero, ciö che
prova la (7) e quindi 1' asserto.
Ne segue che se f(t) è una funzione limitata, eguale a zero nel1' insieme
Cl : a ^ ^ l -+- ew+1) < t < a(I ;
« = 1, 2, 3,...
«e definita in modo qualsiasi in I e per £ = 0, essa risulterà appL'oseimativaniente infinitesima, a destra, nel punto zero. Particolarizziamo ora la f(t) definendola in modo opportuno nei punti di J;
si ponga ad es. f(t) = 1 in tutti i punti di (a u ax(l -+• e,)), f(t) = — 1
in tutti i punti di (as, aa(l -+* s,)) e cosî via, seguitando alternatifvamen te con -+- 1 e — 1 negli interralli (an, a„(l-t-e„)) di cui si
compone J. Si vede subito allora che l'intégrale
oscilla, per S-*0, tra i,nfiniti massimi e minimi; la successione di
iali valori estremi è data da
Anche F integrale
ï-
t
ë
oscilla, per Ô - + 0 , tra infiniti massimi e minimi dati da
<8')
log (1 -4-8l ), log (1 H-£l)(l H- et), log (1 -+-£l)(l -4- «,)(1 -*- e,), ... .
Poichè la successione | sn ! puö scegliersi in modo che, soddisfatte Ie (6') e (6"), la (8') diverga mentre la (8) converge (ad es.
per an ~ 2~n, s(l = n~~l) segue 1' esistenza di funzioni soddisfacenti
la B) e la C), ma non la A), cioè la (3").
4. Altre relazioni tra B e C sono le
<9)
BG<B,
BC<C
-cioè la classe BC è contenuta propriamente sia in B che in 0.
Bntram.be si possono provare con facili esempi; tra i quali ei
limitiamo ad indicare, per la prima delle (9) quello della funzione
f{f)
0 t < l
A(0)
0
SULLA DERIVATA DElX'lNTECRALE
per la seconda quello della
= (log t-*)~^ sen (log t-*)W, 0 < * < 1 ;
ftO)
= 0.
Infatti la /j(£) verifica, per t = 0, la condizione B), come ha
qnostrato lo stesso THOMAE (8), ma non è approssimatiramente infimtesima (4) ; la f%{t) è invece infinitesima, addirittura, per t — 0, ma
aion soddisfa la B) essendo
'~Y dt = 1 — cos (log S-»)Va ;
è stato rilevato da PRASAD (5).
0 < S: