la geometria nello spazio

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LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO
n.1
Un elemento primitivo: lo spazio.
Lo spazio è caratterizzato dai seguenti assiomi:


Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani.
Ogni piano divide lo spazio in due regioni, dette SEMISPAZI, di cui il piano stesso si dice
origine o frontiera, tali che:
a) il segmento che ha per estremi due punti A e B dello stesso semispazio non
interseca il piano;
b) il segmento che ha per estremi due punti C e D appartenenti a semipiani
diversi interseca il piano in un punto.
Da questo assioma discendono immediatamente due importanti considerazioni:
a) un piano ed un semispazio sono figure convesse;
b) una retta avente in comune con un piano α un solo punto P è divisa da P in
due semirette che appartengono a semispazi opposti rispetto ad α.
n.2
Un altro elemento primitivo: il piano
Il piano nello spazio è caratterizzato dai seguenti assiomi:



Per tre punti dello spazio, non allineati, passa sempre uno ed un solo piano.
Una retta passante per due punti di un piano giace interamente in quel piano.
Una retta giacente in un piano lo divide in due regioni diverse, dette SEMIPIANI, di cui la
retta stessa si dice origine o contorno, tali che:
a) ogni segmento che congiunge due punti appartenenti ad uno stesso semipiano giace
interamente in esso;
b) ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a semipiani diversi incontra la
retta in un punto.
Dai primi due assiomi discendono immediatamente due importanti considerazioni:
a) se due piani hanno in comune tre punti non allineati, essi coincidono;
b) per una retta ed un punto fuori di essa passa un piano ed uno solo;
c) per due rette che si incontrano in un punto passa sempre un piano ed uno solo.
n.3
La posizione di una retta rispetto ad un piano
Un piano ed una retta che non gli appartiene possono avere un solo punto in comune e la RETTA si
dice INCIDENTE IL PIANO.
Se una retta ed un piano hanno due punti in comune allora la RETTA GIACE SUL PIANO e
appartenendo ad esso ha infiniti punti in comune.
Se una retta ed un piano non hanno punti in comune allora la RETTA si dice PARALLELA AL
PIANO.
n.4
La posizione reciproca di due rette.
Due rette si dicono COMPLANARI quando appartengono ad uno stesso piano, SGHEMBE quando
non c’è alcun piano che le contiene e quindi appartengono a piani diversi.
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Si dice STELLA DI CENTRO P l’insieme di tutte le rette dello spazio che passano per il punto P
che viene detto SOSTEGNO DELLA STELLA.
 L’intersezione di una stella con un piano passante per il suo sostegno è un fascio di rette
proprio.
 Due rette di una stella, dato che appartengono ad uno ed un solo piano, individuano uno ed un
solo fascio.
n.5
La posizione reciproca di due piani


Se due piani hanno in comune tre punti non allineati, allora sono lo stesso piano.
Se due piani hanno in comune due punti A e B (oppure tre punti allineati), allora hanno anche in
comune tutti i punti della retta AB
 Se due piani distinti hanno in comune un punto, allora hanno in comune i punti di una ed una
sola retta che passa per quel punto.
In conseguenza di ciò si può dire che due PIANI o sono COINCIDENTI,
o si intersecano lungo una retta e sono INCIDENTI
o non hanno punti in comune e sono PARALLELI.


Per una retta passano infiniti piani. L’insieme di tali piani si dice FASCIO PROPRIO DI PIANI
e la retta ASSE DEL FASCIO.
L’insieme dei piani che passano per un punto si dice STELLA DI PIANI.
n.6
Perpendicolarità tra retta e piano
Nel piano esiste un'unica perpendicolare passante per un punto ad una retta data. Nello
spazio questo è vero solo se il punto è al di fuori di essa.
Per il punto P che appartiene alla retta r si possono condurre infinite perpendicolari ad r,
una per ciascun piano del fascio di centro r.
 Se una retta r è perpendicolare in un suo punto P ad altre due rette a e b, allora è perpendicolare
a tutte e sole le rette del fascio di centro P generato da a e b.
Pertanto si può dire che una RETTA r incidente un piano α in un punto P è PERPENDICOLARE
AL PIANO α se è perpendicolare a tutte le rette di α che passano per P. Il punto P viene detto
PIEDE della perpendicolare.
 Il piano passante per un punto di una retta e perpendicolare alla retta stessa è unico.
 Affinché una retta sia perpendicolare ad un piano basta che sia perpendicolare a due
rette qualsiasi del piano passanti per il punto d’intersezione della retta con il piano.

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI
Se una retta r è perpendicolare ad un piano α in un suo punto P e da questo punto si conduce una
retta s perpendicolare ad una retta t di α, quest’ultima è perpendicolare al piano β individuato da
r ed s.
Si osservi che una qualunque retta del piano β incidente s
e t nel punto che hanno in comune risulta perpendicolare a t.
r
t
P
s


n.7
parallelismo fra rette
Due RETTE nello spazio si dicono PARALLELE se sono complanari e non hanno punti
d’intersezione.
 Due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele e viceversa, se due rette sono
parallele, un piano che è perpendicolare all’una è perpendicolare anche all’altra.
 Se due rette sono parallele, ogni piano che incontra una incontra anche l’altra.
 Due rette parallele ad una terza sono parallele fra loro.
 Siano r ed s due rette parallele. Sia t l’intersezione di due piani passanti rispettivamente
per le rette r ed s. Allora t risulta parallela sia ad r che ad s.
n.8
parallelismo tra rette e piani
Una RETTA si dice PARALLELA ad un PIANO se non ha alcun punto in comune con esso oppure
se appartiene interamente ad esso.
 Se una retta passante per un punto esterno ad un piano è parallela ad una retta del piano, essa
è parallela al piano.
 Se una retta r è parallela a due piani che si intersecano lungo una retta s allora risulta r//s.
 Una retta ed un piano perpendicolari ad una medesima retta, in due punti distinti, sono
paralleli.
 Se per una retta parallela ad un piano si conduce un piano qualunque che interseca il primo,
la retta d’intersezione dei due piani è parallela alla retta data.
 Una retta ed un piano paralleli determinano su due rette parallele segmenti congruenti.
L’ ultimo risultato permette di giustificare la seguente definizione:
Data una retta parallela ad un piano, si dice DISTANZA DELLA RETTA DAL PIANO
la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano.
n.9
parallelismo tra piani
Due PIANI distinti ridicono PARALLELI quando non hanno alcun punto in comune.
 Due piani perpendicolari ad una stessa retta sono paralleli
 Se due rette che s’intersecano sono parallele ad un piano, il piano individuato dalle
due rette è parallelo al primo.
 Le intersezioni di due piani paralleli con un terzo piano sono rette parallele.
 Se due piani sono paralleli, ogni retta che incontra uno dei due piani incontra anche l’altro.
 Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare al primo è pure perpendicolare al
secondo.
 Due piani paralleli ad un terzo sono paralleli tra loro.
 Per un punto esterno ad un piano si può condurre un ed un solo piano parallelo a quello dato.
 Se due piani sono paralleli le distanze di ciascun punto di uno dall’altro sono congruenti.
Si dice DISTANZA DI DUE PIANI PARALLELI la distanza di un punto qualunque di uno di essi
dall’altro.
 Due angoli, comunque situati nello spazio, aventi i lati rispettivamente paralleli e
concordi,sono congruenti ed i loro piani paralleli.

Se un piano incontra due piani paralleli, le rette intersezione sono fra loro parallele.

Se due piani sono paralleli, ogni retta parallela al primo è parallela anche al secondo.

Se due piani paralleli intersecano due rette parallele, i segmenti che si vengono a
determinare sono congruenti.

TEOREMA DI TALETE un fascio di piani paralleli individua su due rette trasversali
insiemi di segmenti direttamente proporzionali.
 Viceversa se un fascio di piani individua su due rette segmenti in proporzione,
tale fascio risulta costituito da piani paralleli.
n.10 diedri
Due semipiani aventi la retta origine in comune dividono lo spazio in due regioni opposte che hanno
in comune solo i punti dei due semipiani.
Si dice ANGOLO DIEDRO o più semplicemente DIEDRO ciascuna delle due parti in cui due
semipiani aventi la stessa origine dividono lo spazio, inclusi i semipiani stessi. La retta origine dei
due semipiani si dice SPIGOLO del diedro, i due semipiani si dicono FACCE e costituiscono la
SUPERFICE del diedro.
Delle due parti quella che contiene i prolungamenti delle facce si dice DIEDRO CONCAVO
l’altra si dice DIEDRO CONVESSO.
ˆ.
Un diedro è solitamente convesso e se α e β sono le facce esso si indica con 
I punti di un diedro che non appartengono alle facce si dicono interni, tutti i punti che non stanno
sulle facce e non sono interni si dicono esterni.
Si dice poi che:
- un DIEDRO è PIATTO se le due facce sono una il prolungamento dell’altra, cioè i
semipiani di un medesimo piano; un diedro piatto è un semispazio e una qualunque retta
scelta su di esso costituisce lo spigolo. Due diedri la cui somma è un diedro piatto si dicono
SUPPLEMENTARI.
- Un DIEDRO è GIRO quando le due facce sono semipiani coincidenti e contiene tutti i punti
dello spazio; un diedro giro è lo spazio stesso. Due diedri la cui somma è un diedro giro si
dicono esplementari.
- Un DIEDRO è NULLO quando le due facce sono semipiani coincidenti e contiene solo i
punti delle facce.
- Due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune una faccia e lo spigolo.
- Due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e le facce non comuni sono il
prolungamento l’una dell’altra.
La SEZIONE NORMALE DI UN DIEDRO è l’angolo ottenuto intersecando il diedro stesso
con un piano perpendicolare allo spigolo.
 Tutte le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.
 Se due diedri hanno sezioni normali congruenti, sono congruenti e viceversa.
La MISURA di un diedro si può identificare con la misura di una sua sezione normale e perciò si
esprime in gradi o radianti.
Osservazione: se la sezione normale di un diedro è un angolo giro, piatto, retto, …. allora il diedro è
rispettivamente giro, piatto, retto,…. e viceversa.
Due DIEDRI si dicono OPPOSTI ALLO SPIGOLO se hanno lo stesso spigolo e le facce sono una
il prolungamento dell’altra.
 Due diedri opposti allo spigolo sono congruenti.
Si dice SEMIPIANO BISETTORE il semipiano che uscendo del diedro lo divide in due diedri
congruenti.
- Ciascuna delle due parti in cui il piano bisettore divide un diedro piatto si dice DIEDRO
RETTO. Due diedri la cui somma è un diedro retto si dicono COMPLEMENTARI.
n.11
perpendicolarità
Due PIANI si dicono PERPENDICOLARI se, incontrandosi, formano quattro diedri congruenti e
quindi retti.
L’esistenza di piani perpendicolari è assicurata dal seguente teorema:
 se una retta è perpendicolare ad un piano, qualunque piano passante per essa è
perpendicolare al piano dato.
 Per una retta perpendicolare ad un piano si possono condurre infiniti piani perpendicolari al
piano dato.
 Se due piani sono perpendicolari, qualunque retta appartenente a uno di essi e
perpendicolare alla loro intersezione è pure perpendicolare all’altro, questa perpendicolare
giace nel primo piano.
 Se due piani che si intersecano sono perpendicolari ad uno stesso piano, anche la loro
intersezione è perpendicolare a questo piano.
 Due piani perpendicolari a rette perpendicolari, sono perpendicolari tra loro.
 Dato un piano e una retta, non perpendicolare ad esso, esiste uno ed un solo piano che
contiene la retta data ed è perpendicolare al piano dato.
Infine il seguente teorema permette di definire la distanza tra due rette sghembe.
 Date due rette sghembe,esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe. Il segmento,
compreso tra le due rette date, è minore di qualunque altro segmento compreso tra esse.
Tale segmento si dice DISTANZA TRA DUE RETTE SGHEMBE.
Si dice ANGOLO DI DUE RETTE SGHEMBE l’angolo acuto o retto, formato da due rette ,
parallele alle date condotte da un punto qualunque dello spazio. Se l’angolo di due rette sghembe è
retto le RETTE si dicono ORTOGONALI.
 Se due rette sono rispettivamente perpendicolari a due piani perpendicolari tra loro, esse
sono ortogonali.
n.12 angoloidi
Siano F un poligono e P un punto che non appartiene al piano su cui il poligono poggia.
La SUPERFICIE descritta da tutte le semirette uscenti da P, detto VERTICE, che intersecano i lati
del poligono F è detta PIRAMIDALE. Le semirette che partono da P e passano per i vertici di F si
dicono SPIGOLI, gli angoli con vertice P e lati due spigoli consecutivi si dicono FACCE.
Una superficie piramidale divide lo spazio in due regioni distinte una interna ed una esterna.
La regione di spazio costituita dalla superficie piramidale e da tutti i suoi punti interni è detta
ANGOLOIDE ed è una figura solida. I vertici, gli spigoli e le facce della superficie piramidale sono
anche il vertice, gli spigoli e le facce dell’angoloide. L’insieme delle facce costituisce la superficie
P
dell’angoloide. I diedri formati dai semipiani contenenti due facce consecutive si dicono diedri
dell’angoloide. Se a, b, c, d, …sono gli spigoli e O il vertice, l’angoloide si indica con Ôabcd..
Un angoloide si dice TRIEDRO, TETRAEDRO, PENTAEDRO, .. a seconda che abbia tre, quattro,
cinque, … facce.
Se le facce di un angoloide sono tutte uguali fra loro esso si dice REGOLARE.
Un angoloide si dice CONCAVO o CONVESSO a seconda che il poligono F sia concavo o
convesso.
 In ogni triedro ogni faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro
differenza.
 In ogni angoloide ciascuna faccia è minore della somma di tutte le altre.
 La somma delle facce di un angoloide è minore di quattro angoli retti.
 Due triedri sono direttamente o inversamente congruenti se hanno rispettivamente
congruenti: due facce e il diedro compreso, due diedri e la faccia comune, le tre facce, i tre
diedri.
n.13 poliedri
Si dice SUPERFICIE POLIEDRICA la figura formata da più poligoni convessi situati in piani
diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a due di essi e che il piano di ogni poligono
lasci tutti gli altri da una medesima parte.
Si dice POLIEDRO la figura formata da una superficie poliedrica e da tutti i suoi punti interni.
Ovvero un poliedro è una regione finita dello spazio delimitata da poligoni, detti facce,
giacenti in piani diversi e tali che ogni lato sia comune a due poligoni.
Si dice DIAGONALE il segmento congiungente due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Un poliedro ha almeno quattro facce e in questo caso si dice TETRAEDRO, se ne ha cinque si dice
PENTAEDRO, sei ESAEDRO, otto OTTAEDRO, dodici DODECAEDRO, venti
ICOSAEDRO.
n.14 poliedri regolari
Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari tutti congruenti tra loro e i
suoi angoloidi sono pure tutti congruenti tra loro. Esistono solo i seguenti cinque poliedri regolari:
 TETRAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice tre triangoli
equilateri; ha 4 facce triangolari, 4 vertici e 6 spigoli e angoloidi triedri;
 OTTAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice quattro triangoli
equilateri; ha 8 facce triangolari, 6 vertici ,12 spigoli, angoloidi tetraedri;
 ICOSAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice cinque
triangoliequilateri; ha 20 facce triangolari, 12 vertici, 30 spigoli e angoloidipentaedri;
 ESAEDRO o CUBO: si ottiene facendo concorrere in un vertice tre quadrati; ha sei facce, 8
vertici, 12 spigoli e angoloiditriedri;
 DODECAEDRO che si ottiene facendo concorrere in un vertice tre pentagoni regolari; ha
12 facce pentagonali, 20 vertici, 30 spigoli e angoloidi triedri.
I 5 poliedri regolari prendono il nome di solidi platonici per il significato simbolico attribuito ad
essi dal filosofo Platone.
L’icoesaedro è da disegnare.
Il pallone da calcio è un poliedro semiregolare perché si alternano pentagoni ad esagoni.
TEOREMA DI EULERO: se s è il numero degli spigoli, f quello delle facce, v quello dei vertici di
un poliedro convesso, è valida la relazione f+v=s+2.
Le conseguenze sono che non esistono poliedri in cui tutte le facce abbiano più di cinque spigoli e
che i poliedri in cui le facce abbiano ugual numero di lati e gli angoloidi ugual numero di spigoli
possono essere solo quelli platonici.
n.15 altri poliedri: prismi e piramidi
Siano F un poligono e d una retta non appartenente al piano su cui giace F. si dice SUPERFICIE
PRISMATICA INDEFINITA l’insieme delle rette aventi la direzione di d passante per i vertici e
per i punti dei lati di F. La parte di spazio delimitata dalla superficie prismatica e contenente il
poligono F si dice PRISMA INDEFINITO.
Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli sono poligoni congruenti e quindi è possibile
dare la seguente definizione.
Si dice PRISMA la parte di prisma indefinito delimitato da una coppia di piani paralleli. I poligoni
individuati dai due piani paralleli si dicono BASI, i parallelogrammi che lo delimitano si dicono
FACCE LATERALI, la distanza tra i piani delle basi si dice ALTEZZA.
In definitiva un prisma è un poliedro che ha come basi due poligoni giacenti su piani paralleli
diversi e come facce laterali tanti parallelogrammi quanti sono i lati di base.
Se gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani di base allora il PRISMA si dice RETTO
altrimenti obliquo.
Se in un prisma retto i poligoni di base sono regolari allora si dice che il PRISMA è REGOLARE.
Nel disegno è rappresentato un prisma esagonale.
Nei prismi regolari le facce laterali sono rettangoli tutti congruenti.
La superficie laterale Sl si calcola moltiplicando il perimetro di base per l’altezza Sl  2 p  h
La superficie di base Sb è quella del poligono regolare (per il pentagono, l’esagono, …si calcola
come semiperimetro per apotema)
La superficie totale Stot si calcola sommando quella laterale con le due di base Stot  Sl  2Sb
Il volume si calcola V  Ab  h
Un caso particolare di prisma è il PARALLELEPIPEDO: prisma che ha per basi due
parallelogrammi.
Se gli spigoli di un PARALLELEPIPEDO sono perpendicolari alle basi allora esso diventa
RETTO.
Se la base di un PARALLELEPIPEDO retto è un rettangolo allora si dice che è RETTANGOLO.
e se a e b sono le dimensioni del rettangolo di base e h l’altezza si ha:
superficie laterale Sl =2h(a+b)
superficie di base Sb =ab
superficie totale Stot =2h(a+2b)+2ab
Diagonale = a 2  b 2  h 2
Il volume si calcola V  Ab  h = abh
Se le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono tutte uguali tra loro, cioè a=b=h=l lato, allora
esso si dice CUBO.
superficie laterale Sl = 4l 2
superficie di base Sb = l 2
superficie totale Stot = 6l 2
Diagonale = 3  l
Il volume V  l 3
Se si considera un angoloide di vertice V ed un piano α non passante per V che incontra tutti i suoi
spigoli si dice PIRAMIDE l’intersezione del semispazio individuato da α contenente V con
l’angoloide.
La sezione dell’angoloide con il piano è un poligono che si dice BASE della piramide, il vertice e
gli spigoli dell’angoloide compresi tra il vertice e la base sono il VERTICE e gli SPIGOLI
LATERALI della piramide, la distanza del vertice dal piano si dice ALTEZZA.
L’intersezione determina sulle facce dell’angoloide dei triangoli che si dicono FACCE LATERALI
e la loro unione si dice SUPERFICE LATERALE. L’unione della superficIe laterale con quella di
base si dice SUPERFICIE TOTALE.
Come per i prismi le piramidi prendono il nome dal numero dei lati della base. Così si hanno
piramidi triangolari, quadrangolari, ..
 la piramide triangolare è un TETRAEDRO. Ciascuna faccia si può considerare base e si
dicono opposti gli spigoli che non hanno vertici in comune.
Una PIRAMIDE si dice RETTA se ha per base un poligono circoscrivibile ad un cerchio, il cui
centro coincide con la proiezione del vertice sulla base.
I segmenti congiungenti il vertice con i punti di contatto dei lati della base con la circonferenza
inscritta sono le altezze delle facce laterali e sono congruenti fra loro.
L’altezza comune delle facce laterali si dice APOTEMA.
Se p indica il semiperimetro del poligono di base e a l’apotema si ha:
superficie laterale Sl =p∙a
superficie di base Sb
superficie totale Stot  Sl  Sb
1
volume V  Ab  h
3
Se una piramide ha per base un poligono regolare si dice PIRAMIDE REGOLARE.
 Se si taglia con un piano parallelo alla base una piramide si ottiene un poligono simile al
poligono di base e i lati e i perimetri di questi due poligoni sono proporzionali alle distanze
del loro piano dal vertice e le aree ai quadrati di queste distanze.
n.16
solidi di rotazione: cilindro, cono e sfera
Facendo compiere una rotazione completa ad un semipiano α intorno alla sua retta origine r, ossia
all’ ASSE DI ROTAZIONE r, la linea l giacente su di esso genera
una superficie detta SUPERFICIE DI ROTAZIONE e viene detta GENERATRICE.
 Ogni punto della generatrice l descrive una circonferenza, detta PARALLELO,
che giace su un piano perpendicolare all’asse di rotazione ed ha il centro su esso.
 L’intersezione di un piano qualunque contenente l’asse di rotazione è una linea l’
congruente alla generatrice l e si dice MERIDIANO.
Se si considera una figura F sul semipiano α e si compie una rotazione completa si descrive un
solido detto SOLIDO DI ROTAZIONE o SUPERIFICIE ROTONDA e il contorno della figura
genera la sua superficie.
Il caso della rotazione di rette parallele all’asse: cilindri.
Si dice SUPERFICIE CILINDRICA CIRCOLARE INDEFINITA la superficie generata dalla
rotazione di una retta parallela all’asse di rotazione.
Si dice CILINDRO INDEFINITO il solido ottenuto dalla rotazione della striscia di piano
individuata dall’asse di rotazione e da una sua parallela.
La parte di spazio del cilindro indefinito delimitata da due piani distinti perpendicolari all’asse di
rotazione si dice CILINDRO CIRCOLARE RETTO o CILINDRO.
 Il cilindro può essere visto come il solido generato dalla rotazione completa di un rettangolo
attorno ad un suo lato.
I cerchi individuati dai piani secanti sono le BASI, i segmenti di generatrice compresa tra i piani
delle basi si dicono LATI, la distanza tra i piani delle basi ALTEZZA.
Un CILINDRO è EQUILATERO se il lato e quindi l’altezza è congruente al diametro di base.
La superficie laterale di un cilindro è equivalente ad un rettangolo che ha per lati l’altezza h del
cilindro e la circonferenza, di raggio r, rettificata di base. Quindi si ha:
superficie laterale Sl =2πrh
superficie di base Sb = 2πr 2
superficie totale Stot  Sl  2Sb  2πrh  r
volume V  r 2  h
Il caso della rotazione di rette incidenti l’asse: coni.
Si dice SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE INDEFINITA la superficie generata dalla
rotazione di una semiretta avente l’origine V sull’asse di rotazione.
Si dice CONO INDEFINITO il solido ottenuto dalla rotazione dell’angolo individuato dall’asse di
rotazione e dalla semiretta.
 Tutte le generatrici sono ugualmente inclinate rispetto all’asse.
 I raggi dei paralleli sono cono proporzionali sia alle distanze dei rispettivi piani dal vertice,
sia alle distanze dei punti dei paralleli dal vertice stesso.
 Le sezioni di un cono indefinito con i piani perpendicolari all’asse sono cerchi, le cui aree
stanno tra loro come i quadrati delle rispettive distanze dal vertice.
La parte di spazio del cono indefinito contenente i vertice e delimitata da un piano perpendicolare
all’asse di rotazione si dice CONO CIRCOLARE RETTO o CONO.
 Il cono può essere visto come il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo
rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il cerchio sezione è la BASE, il segmento di generatrice compreso fra il vertice e la circonferenza di
base si dice APOTEMA, il segmento che unisce il vertice con il centro della circonferenza di base si
dice ALTEZZA ed è la distanza del vertice dalla base.
Un CONO è EQUILATERO se l’apotema è congruente al diametro di base.
La superficie laterale è equivalente ad un settore di circonferenza che ha per arco la circonferenza
del cono e per raggio l’apotema.
superficie laterale Sl =πra
superficie di base Sb = πr 2
superficie totale Stot  Sl  Sb  πra  r
1
volume si calcola V  Ab  h
3
Superficie di una SFERA S  4 r 2
Volume di una SFERA: V 
4 3
r
3
Esercizi di geometria dello spazio:
Quesito 1-2003
Problema 1-2003
Quesito 2 e 4-2006
Quesito 4-2009.

la geometria nello spazio

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