Matrici a coefficienti in R. Matrici quadrate. Somma e prodotto per

LEZIONE 1
1.1. Matrici a coefficienti in R.
Definizione 1.1.1. Siano m, n ∈ Z positivi. Una matrice m × n a coefficienti in R è un
insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi. Tali
numeri sono dette entrate o componenti della matrice.
L’insieme di tutte le matrici m × n a coefficienti in R si indicherà con Rm,n . La matrice
0m,n ∈ Rm,n avente tutte le entrate nulle viene detta matrice nulla.
Se m = n si parlerà di matrici quadrate, se m = 1 di matrici riga, se n = 1 di matrici
colonna.
La definizione data sopra ha senso anche quando m = n = 1. In tal caso però, si
preferisce identificare R1,1 con R.
Esempio 1.1.2. Diamo alcuni esempi di matrici.

1
√π
1
3,2


21 ∈ R ,
B=
A = −3/19
π
0
0


1
C =  2  ∈ R3,1 ,
D = ( 1 0 ) ∈ R1,2 ,
−3

−3/19
0
√
21 0
E=
1
0
∈ R2,3 ,
0
1
∈ R2,2 .
C, D, E sono, rispettivamente, una matrice colonna, riga, quadrata. Invece A e B non
sono nè riga, nè colonna, nè quadrate. Invece la tabella


1 2
3 4
 2 −1
0 
17
non è una matrice.
Sia A ∈ Rm,n . Ad ogni sua entrata a rimangono associati due numeri interi positivi,
gli indici i e j della riga e della colonna al cui incrocio si trova a: i e j vengono detti
rispettivamente indice di riga e indice di colonna di a, a si dice l’entrata in posizione (i, j):
spesso, per indicarla nelle formule, si scriverà ai,j . In particolare, la matrice A si indica
sovente con il simbolo
A = (ai,j ) 1≤i≤m .
1≤j≤n
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1
2
1.1. MATRICI A COEFFICIENTI IN R
Se A è quadrata con m = n si scrive anche
A = (ai,j )1≤i,j≤n .
Quando le dimensioni della matrice sono fissate spesso le entrate si indicano con lettere
distinte. Per esempio, una matrice 2 × 2 generica verrà indifferentemente indicata con uno
dei seguenti simboli:
(ai,j ) 1≤i≤2 ,
1≤j≤2
(ai,j )1≤i,j≤2 ,
a1,1
a2,1
a1,2
a2,2
,
a
c
b
d
.
Esempio 1.1.3. Si considerino

1
π
√
21  ∈ R3,2 ,
A =  −3/19
0
0

B=
−3/19
0
√
21 0
1
π
∈ R2,3
Allora l’entrata (1, 2) di A è a1,2 = π. Le entrate (3, 1) e (3, 2) di A sono a3,1 = a3,2 = 0.
Invece le entrate (3, 3) e (2, 3) non esistono.
Similmente le entrate (3, 1), (3, 2), (3, 3) di B non esistono. Invece le entrate (1, 2) e
(2, 3) di B sono b1,2 = −3/19 e b2,3 = 0.
Definizione 1.1.4. Sia A ∈ Rm,n . L’opposto di A è la matrice di Rm,n , indicata con −A,
la cui entrata (i, j) coincide con l’opposto dell’entrata (i, j) della matrice A per i = 1, . . . , m
e j = 1, . . . , n.
Se A = (ai,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n spesso si scriverà, in simboli, −A = (−ai,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n .
1≤j≤n
1≤j≤n
Per esempio, per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3, vale

−1
−A =  3/19
0

−π
√
− 21  ∈ R3,2 ,
0
−B =
−1
−π
3/19
√
− 21
0
0
∈ R2,3 .
Definizione 1.1.5. Due matrici
A0 = a0i,j
1≤i≤m0
1≤j≤n0
,
A00 = a00i,j
1≤i≤m00
1≤j≤n00
si dicono uguali se hanno lo stesso numero di righe e colonne, cioè m0 = m00 = m, n0 = n00 =
n, e se le entrate aventi la stessa posizione nelle due matrici coincidono, cioè a0i,j = a00i,j
per ogni i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n.
Le due matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 sono perciò diverse. Ciononostante sono
legate da un’ovvia relazione: l’entrata (i, j) di A coincide con l’entrata (j, i) di B.
LEZIONE 1
3
Definizione 1.1.6. Sia A ∈ Rm,n . La trasposta di A è la matrice di Rn,m , indicata con
t
A, la cui entrata (j, i) coincide con l’entrata (i, j) della matrice A per i = 1, . . . , m e
j = 1, . . . , n.
Se A = (ai,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n spesso si scriverà, in simboli, t A = (aj,i ) 1≤j≤n ∈ Rn,m . Per
1≤j≤n
1≤i≤m
esempio, per le matrici A e B degli Esempi 1.1.2 e 1.1.3 vale B = t A e A = t B.
Proposizione 1.1.7. Valgono le seguenti proprietà:
(T1) per ogni matrice A risulta A ∈ Rm,n se e solo se t A ∈ Rn,m ;
(T2) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t (t A) = A;
(T3) per ogni matrice A ∈ Rm,n risulta t (−A) = −(t A). In qualche senso l’operazione di trasposizione ci permette di identificare, all’occorrenza,
matrici m×n con matrici n×m: per esempio, identificare matrici riga con matrici colonna.
1.2. Matrici quadrate.
In questo paragrafo descriveremo alcune classi notevoli di matrici quadrate. Innanzi
tutto diamo una definizione.
Definizione 1.2.1. Sia A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n . La diagonale di A è l’insieme ordinato
delle entrate di posizione (i, i) di A.
Per esempio, se

1

A= π
2
−17
0
−3/4

4
8 ,
−e
la diagonale di A è la successione ordinata (1, 0, −e) (e non (1, −e) o (−e, 1, 0) o altro).
Esempio 1.2.2. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice diagonale se tutte
le entrate al di fuori della diagonale sono nulle, ovvero, in simboli, se ai,j = 0 quando i 6= j.
Per esempio,


1 0 0
A = 0 0 0 
0 0 −e
è diagonale. Una matrice diagonale può essere descritta indicando solo la sua diagonale: per
esempio, la matrice A di cui sopra viene spesso indicata con il simbolo A = diag(1, 0, −e).
Invece


0 −17 0
B = 0
0
0
0
0
0
non lo è.
Si noti che la matrice nulla 0n,n è diagonale.
4
1.2. MATRICI QUADRATE
Fra le matrici diagonali una è particolarmente importante e, perció, merita un simbolo
ed un nome particolari: si tratta della matrice identità di ordine n, indicata con In . Si
tratta della matrice diagonale avente tutte le entrate diagonali uguali ad 1. Per esempio,




1 0 0 0
1 0 0
1 0
0 1 0 0
I1 = (1),
I2 =
,
I3 =  0 1 0  ,
I4 = 
.
0 1
0 0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
Esempio 1.2.3. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolare
superiore se le sue entrate al di sotto della diagonale si annullano, ovvero, in simboli,
se ai,j = 0 quando i > j. Per esempio,


1 −17 4
0
8 
A = 0
0
0
−e
è triangolare superiore.
Similmente si può introdurre la nozione di matrice trangolare inferiore. La matrice
A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice triangolare inferiore se le sue entrate al di sopra della
diagonale si annullano, ovvero se ai,j = 0 quando i < j. Per esempio,


1
0
0
B = π
0
0 
2 −3/4 −e
è triangolare inferiore.
A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice strettamente triangolare superiore (inferiore) se è
triangolare superiore (inferiore) e le sue entrate sulla diagonale si annullano, ovvero se
ai,j = 0 quando i ≥ j (i ≤ j). Per definizione ogni matrice strettamente triangolare
superiore od inferiore è triangolare superiore od inferiore, ma non vale il viceversa: infatti
le matrici A e B sopra riportate sono, rispettivamente, triangolare superiore ed inferiore
ma non lo sono strettamente.
Si noti che la matrice nulla 0n,n è (strettamente) triangolare superiore ed inferiore.
Esempio 1.2.4. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice simmetrica se
coincide con la sua trasposta, ovvero, in simboli, se t A = A: ciò significa ai,j = aj,i per
ogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate in posizione simmetrica al di fuori della diagonale
sono uguali. Per esempio,


1
−17 4
A =  −17
0
8 
4
8
−e
è simmetrica. Invece


1
−17 4
B= 4
0
8 
−17
8
−e
LEZIONE 1
5
non è simmetrica perché b1,2 = −17 6= 4 = b2,1 .
Si noti che ogni matrice diagonale, in particolare, la matrice nulla 0n,n , è simmetrica.
Invece non possono essere simmetriche le matrici (strettamente) triangolari superiori ed
inferiori che non siano diagonali.
Esempio 1.2.5. Una matrice quadrata A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Rn,n si dice antisimmetrica
se coincide con l’opposto della sua trasposta, ovvero, in simboli, se t A = −A: ciò significa
ai,j = −aj,i per ogni i, j = 1, . . . , n, quindi le entrate diagonali devono essere nulle, e quelle
in posizione simmetrica al di fuori della diagonale sono opposte. Per esempio,


0 −17 4
A =  17
0
8
−4 −8 0
è antisimmetrica. Invece

1
B =  17
−4
−17
0
−8

4
8,
0

0
C =  17
4

−17 4
0
8,
−8 0
non sono antisimmetriche perché b1,1 = 1 6= 0 e c3,1 = 4 6= −c1,3 .
Si noti che l’unica matrice diagonale o (strettamente) triangolare superiore ed inferiore
o simmetrica che sia anche antisimmetrica è la matrice nulla 0n,n .
1.3. Somma e prodotto per scalari.
In questo paragrafo definiremo due importanti operazioni su matrici. Iniziamo a definire
la somma di matrici.
Definizione 1.3.1. Siano A = (ai,j ) 1≤i≤m , B = (bi,j ) 1≤i≤m ∈ Rm,n . Definiamo somma
1≤j≤n
1≤j≤n
di A e B la matrice di Rm,n , indicata con A+B, la cui entrata in posizione (i, j) è ai,j +bi,j .
Si noti che la somma è stata definita solo per matrici aventi le stesse dimensioni.
Esempio 1.3.2. Si ha

1
5
3
 
−1
0


7
+
3
2
−1/2
 

1
1
0
−4  =  8
3.
0
5/2 2
Proposizione 1.3.3. Valgono le seguenti proprietà:
(S1) per ogni A, B ∈ Rm,n si ha A + B = B + A (la somma è commutativa);
(S2) per ogni A, B, C ∈ Rm,n si ha A+(B +C) = (A+B)+C (la somma è associativa);
(S3) la matrice nulla è l’unico elemento neutro per la somma, cioè è l’unica matrice tale
che 0m,n + A = A, per ogni A ∈ Rm,n ;
(S4) per ogni A ∈ Rm,n , −A è l’unico elemento opposto di A, cioè è l’unica matrice tale
che A + (−A) = 0m,n .
6
1.3. SOMMA E PRODOTTO PER SCALARI
Inoltre:
(ST) per ogni A, B ∈ Rm,n si ha t (A + B) = t A + t B.
Se A, B ∈ Rm,n , spesso scriveremo A − B invece di A + (−B). Passiamo ora a definire
il prodotto di una matrice per un numero reale.
Definizione 1.3.4. Siano α ∈ R, A = (ai,j ) 1≤i≤m . Definiamo prodotto dello scalare α
1≤j≤n
per A la matrice di Rm,n , indicata con αA, la cui entrata in posizione (i, j) è αai,j .
Esempio 1.3.5. Si ha
2
3
1
2
−7
5
0
=
6
2
4
−14
10
0
.
Proposizione 1.3.6. Valgono le seguenti proprietà:
(P1)
(P2)
(SP1)
(SP2)
per
per
per
per
ogni
ogni
ogni
ogni
A ∈ Rm,n si ha 1A = A;
α1 , α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha α1 (α2 A) = (α1 α2 )A;
α1 , α2 ∈ R e A ∈ Rm,n si ha (α1 + α2 )A = α1 A + α2 A;
α ∈ R e A, B ∈ Rm,n si ha α(A + B) = αA + αB.
Inoltre:
(PT) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha t (αA) = α(t A);
(LP) per ogni α ∈ R, A ∈ Rm,n si ha αA = 0m,n se e solo se o α = 0 o A = 0m,n (legge
di annullamento del prodotto per scalari).