4 Leggi di Keplero

INTRODUZIONE ALL’ANALISI DI MISSIONI SPAZIALI
LEGGI DI KEPLERO
Leggi di Keplero
Intr. Analisi di Missioni Spaziali
L. Keplero
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Prima legge di Keplero

Le orbite dei pianeti attorno al Sole sono ellissi con il Sole in uno
dei fuochi
r=
p
1 + e ⋅ cos(ϑ * −ω)
S = attrattore
P = pianeta
AA’ = asse maggiore
BB’ = asse minore
N = asse polare di riferimento
θ*=anomalia [deg]
Intr. Analisi di Missioni Spaziali
L. Keplero
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Seconda legge di Keplero

Il raggio vettore congiungente il pianeta con il Sole spazza aree uguali in
tempi uguali
Area Tracciata
⇒
1
dA 1 2 dϑ
dA = r ⋅ rdϑ →
= r
2
dt 2 dt
Dagli Integrali del moto
⇓
dr12

=
×
h
r
12

dt

dϑ ˆ
12
 dr
=
ϑ
r12 rˆ12 + r12
 dt
dt
dϑ
h =
r12
r12 ⋅ vϑ
=
dt
2
Intr. Analisi di Missioni Spaziali
⇒
⇒
2 dϑ ˆ
h=
r 12
h
dt









1
⇒ dA = h =cost
2
|r| ↑↑↑ vθ↓↓↓
|r|↓↓↓  vθ↑↑↑
L. Keplero
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Terza legge di Keplero

Il quadrato del periodo di rivoluzione è proporzionale al cubo del
semiasse maggiore
T2
cost =
Dagli Integrali del moto
Intr. Analisi di Missioni Spaziali

h


⇒ =
b
h

=
p
=
a3
2π ab
T
a (1 − e 2 )
= pμ pl
a(1 − e 2 )
L. Keplero
⇒
2π a 3/2
T=
μ pl
⇒
T 2 4π 2
cost pl
= =
a3
μ
Pianeta
a (*1010 m)
T (anni)
T2/a3
Mercury
5.79
0.241
2.99
Venus
10.8
0.615
3.00
Earth
15.0
1
2.96
Mars
22.8
1.88
2.98
Jupiter
77.8
11.9
3.01
Saturn
143
29.5
2.98
Uranus
287
84
2.98
Neptune
450
165
2.99
Pluto
590
248
2.99
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