Lezione del 15/5/2007. - Benvenuti da poincare.unile.it
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Sistemi dinamici-Parte 2 Problema dei due corpi AM Cherubini 15 Maggio 2007 1 / 24 Leggi di Keplero ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze 1. I pianeti si muovono lungo ellissi, di cui il sole e’ uno dei fuochi 2. le ellissi sono percorse con velocita’ areolare costante 3. il rapporto tra il quadrato del periodo di rivoluzione e il cubo del semiasse maggiore e’ costante 2 / 24 A 111 000 000 111 B 111 000 000 111 3 / 24 Descrizione del problema Siano dati due punti A, B ∈ R3 di masse rispettivamente a, b e interagenti con forze interne che dipendono solo da B − A: su A agisce una forza F(B − A), su B agisce −F(B − A). Per esempio, la forza di gravita’ ab B−A F=g |B − A|2 |B − A| I parametri del problema sono le coordinate di A e le coordinate di B, la lagrangiana 1 2 aȦ + bḂ2 − V (B − A) L Ȧ, Ḃ, A, B = 2 4 / 24 Riduzione del problema ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Mostriamo come il problema dei due corpi si riduce al problema di un corpo in un potenziale centrale. Conviene mettersi in coordinate baricentriche aA + bB G= a+b r=B−A (1) Effettuo il cambio di coordinate (A, B) ←→ (G, r) invertendo (1). Se m = a + b massa totale si ha A=G− a b r B=G+ r m m 5 / 24 Moto centrale Se µ = ab m e’ la massa ridotta, nelle nuove coordinate la lagrangiana e’ L ′ 1 2 2 Ġ, ṙ, G, r = mĠ + µṙ − V (r) 2 Il vettore Ġ e’ costante (le forze sono interne quindi G si muove di moto rettilineo uniforme): una volta fissato il vettore G, il sistema relativo a L Ȧ, Ḃ, A, B si riduce al sistema per (ṙ, r) di lagrangiana 1 L′′ (ṙ, r) = µṙ2 − V (r) 2 moto centrale 6 / 24 Piano dell’eclittica M i r Ω r = B − A e’ la posizione di B relativamente ad A ma ora in B si mette la massa µ: e’ un trucco per lavorare nel sistema di riferimento con origine in A come se fosse inerziale. L’orbita di un punto in potenziale centrale si svolge sul piano normale al momento angolare M (costante!), identificato dall’inclinazione i rispetto a z e dall’angolo Ω tra x e la linea dei nodi (intersezione del piano dell’eclittica con xy) 7 / 24 Moto sul piano ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Se il potenziale dipende dal modulo |r|, in coordinate polari r = |r| e θ la lagrangiana e’ 1 2 L ṙ, θ̇, r, θ = µ ṙ + r2 θ̇2 − V (r) 2 (2) r θ pericentro Con la trasformata di Legendre trovo l’Hamiltoniana 2 pθ 1 2 H (pr , pθ , r, θ) = pr + 2 + V (r) 2µ r 8 / 24 ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze pθ = cost p θ 2π θ pθ = µr2 θ̇ 9 / 24 Seconda legge di Keplero ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Se l’orbita e’ r = r(θ), l’area spazzata dal raggio vettore dopo un tempo t e’ Z 1 θ(t) 2 ′ ′ r (θ )dθ A(t) = 2 θ0 La velocita’ areolare e’ costante: pθ 1 Ȧ = r2 θ̇ = 2 2µ velocita′ areolare (3) 10 / 24 Hamiltoniana per r ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Fissata pθ , il moto della coppia di variabili coniugate (pr , r) e’ governato dall’hamiltoniana 1 2 1 pθ pr + + V (r) Hpθ (pr , r) = 2 2µ 2 µr | {z } pot. efficace Nel caso di potenziale gravitazionale k V =− r k>0 il potenziale efficace e’ 1 pθ k Ve (r) = − 2 2 µr r 11 / 24 Potenziale efficace V e r − r + E 12 / 24 V e pericentro r − r + E p r r 13 / 24 Per E < 0 la variabile r oscilla con periodo Tr tra il pericentro r− e l’apocentro r+ ■ Al livello minimo di energia corrisponde la soluzione costante r = r0 cioe’ un’orbita circolare nel piano. ■ p r equilibrio r r + r − Se E ≥ 0, r ≥ r− e per t → ∞ r(t) → ∞ e pr (t) → r∞ costante ■ Nel caso separante E = 0, pr (t) →t→∞ 0 ■ 14 / 24 Moto quasi periodico Per E < 0 , fuori dall’equilibrio, r si muove periodicamente con periodo Tr , quindi il moto della coppia (r, θ) e’ il prodotto di due moti periodici, e si svolge sul toro T 2 ; in corrispondenza dell’equilibrio r0 il toro collassa in una circonferenza. Visti sul piano dell’eclittica i moti quasi-periodici hanno un aspetto a rosetta. L’idea e’ che la variabile θ, durante il periodo Tr , cioe’ tra due passaggi dal perielio, avanza di una quantita’ ∆θ: se ∆θ 2π ∈ Q allora l’orbita e’ chiusa. 15 / 24 ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze L’orbita e’ periodica sul toro (e l’orbita sul piano dell’eclittica e’ chiusa) solo se i periodi Tr e Tθ dei due moti sono in rapporto razionale: questo avviene solo se k V =− r (teorema di Bertrand) oppure V = kr2 k>0 16 / 24 Variabili di azione-angolo Il passaggio a coordinate azione-angolo che portino ad una hamiltoniana dipendente solo dalle azioni e’ un po’ laborioso: qui ricordiamo solo che le azioni I1 e I2 sono funzione di E e di pθ ; mentre scelta possile per gli angoli e’ prenderne uno corrispondente all’argomento del perielio ω, che avanza di un angolo ∆θ ad ogni passaggio dal perielio ed e’ costante nel caso kepleriano: nel caso kepleriano c’e’ una terza costante del moto indipendente. Problemi di questo tipo si dicono degeneri i pericentro ω Ω 17 / 24 Formula di Binet ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Per un potenziale kepleriano cerchiamo l’equazione r = r(θ) delle orbite possibili, andando a scrivere un’equazione differenziale per 1 r(θ) Si usa la conservazione della velocita’ areolare per ottenere pθ 2c = . Allora θ̇ = µr 2 r2 2c dr(θ) dr(θ) d 1 dr(θ) θ̇ = 2 = = −2c dt dθ r dθ dθ r derivando ancora 4c2 d2 1 r̈ = − 2 r dθ2 r L’accelerazione radiale e’ quindi 2 2 4c 1 d 1 ar = r̈ − rθ˙2 = − 2 + r dθ2 r r (4) 18 / 24 Ma k µar = − 2 r Eguagliando (4) e (5) si ottiene un’equazione per 1 4µc2 1 =− + 2 dθ r r k d2 (5) 1 r oscillatore forzato! Si ha, per C e θ0 costanti arbitrarie r(θ) = k 4µc2 1 + C cos (θ − θ0 ) (6) 19 / 24 Equazioni polari di una conica ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Si dimostra (vedi appendice al capitolo 2 del libro di Benettin) che l’equazione polare di una conica e’ p r= 1 + e cos θ P r θ F e e’ l’eccentricita’ cioe’ il rapporto costante tra la distanza dei punti della conica dal fuoco F e dalla direttrice; p un parametro. Se e < 1 ho ellissi, se e = 1 parabole, se e > 1 iperboli 20 / 24 Prima legge di Keplero Da (6), ponendo pθ 4µc2 = p= k µk si ha e= s 2Ep2θ 1+ µk 2 (7) p r(θ) = 1 + e cos (θ − θ0 ) quindi, per E < 0 l’orbita e’ una ellisse di cui A e’ uno dei fuochi s r θ pericentro S Se E > 0 l’orbita e’ un’iperbole (es: meteora. Ha energia abbastanza alta da sfuggire al campo gravitazionale e allontanarsi) 21 / 24 Terza legge di Keplero Nel caso di orbite ellittiche il periodo di rivoluzione T si puo’ calcolare come rapporto tra l’area dell’ellisse e la velocita’ areolare costante Ȧ . Se s < S sono i semiassi dell’ellisse A = πsS quindi (scritta (3)) sS T = 2µπ pθ Da (7), ricordando che l’eccentricita’ per un’ellisse e’ e = s S si ha allora T2 4π 2 µ = 3 S k Nel caso della gravitazione k ∝ gµ, quindi 4π 2 T2 = 3 S gm (la massa totale m = a + b ∼ a se a >> b, per esempio se A e’ il sole). 22 / 24 Referenze ➢Leggi di Keplero ➢Descrizione del problema ➢Riduzione del problema ➢Piano dell’eclittica ➢Moto sul piano ➢Seconda legge di Keplero ➢Hamiltoniana per r ➢Potenziale efficace ➢Moto quasi periodico ➢Variabili di azione-angolo ➢Formula di Binet ➢Equazioni polari di una conica ➢Prima legge di Keplero ➢Terza legge di Keplero ➢Referenze Benettin etc: cap. 2.3,2.4 Fasano, Marmi, Meccanica analitica, cap.5 e 11.8 Scheck,Mechanics, 1.7 Morbidelli,Modern celestial mechanics, primo capitolo Gallavotti, Meccanica elementare, 4.9, 4.10 23 / 24 That’s all, folks! 24 / 24