DETERMINAZIONE DELLA LINEA ELASTICA DI UNA TRAVE

DETERMINAZIONE DELLA LINEA ELASTICA DI UNA TRAVE CALCOLATA CON GLI ELEMENTI FINITI
Paolo Varagnolo: ingegnere libero professionista – Padova
2010
----------------------------------Mi è capitato recentemente di affrontare il problema di calcolare gli spostamenti di elementi trave lungo il loro
asse, dopo averne determinato i valori ai nodi con un calcolo agli elementi finiti. Il problema è certamente
banale nella teoria, ma non ho trovato in letteratura una trattazione che riuscisse a soddisfare le mie
esigenze. In particolare, con riferimento all’elemento trave della figura 1 (considerato in 2-D per comodità), i
carichi applicati sono variabili linearmente e possono essere ortogonali all’asse (carichi q) e paralleli all’asse
(carichi p). Eventuali carichi concentrati sono applicati direttamente ai nodi, ma eventualmente è possibile
inserirli nella trattazione che segue con alcune modifiche.
y, η
+ϕ i
+T i
+ϕ j
j
i
x, ξ
+M i
+M j
+T j
+N i
+N j
L
a)
b)
∆q
A) q i < q j
+q j
+q i
q cost.
j
i
∆q
j
i
c)
B) q i > q j
q cost.
j
i
d)
+p j
+p i
j
i
e)
Figura 1
Nei vari libri e prontuari che ho consultato, sono reperibili le equazioni della linea elastica di travi soggette a
vari tipi di vincolo e di carico, ma non sono riuscito a trovare le equazioni che servono per risolvere questo
problema. Il caso che più si addice infatti è quello delle travi incastrate ad un estremo (sinistro), ma le
soluzioni non sono applicabili al caso in esame in quanto il momento flettente viene di solito calcolato a
partire dall’estremo libero (è più semplice). Se la trave invece è connessa ad un’altra trave, ad una o ad
entrambe le estremità, si deve affrontare il problema in un altro modo, come di seguito esposto.
Così, dopo avere risolto il problema, mi è sembrato utile descriverne la soluzione, sia per conservare degli
appunti ordinati, sia per facilitare chi volesse implementare lo stesso metodo.
Impostazione del problema
Utilizzando il metodo degli elementi finiti per l’analisi di un sistema di travi si ottengono come risultati le
incognite del problema, cioè gli spostamenti e le rotazioni dei nodi. Vengono normalmente forniti inoltre i
parametri di sollecitazione (M, T, N) ai nodi, ovvero le reazioni per i gradi di libertà vincolati.
1
Nella trattazione che segue viene fatto riferimento alla teoria delle travi di De Saint Venant, utilizzata dai più
comuni programmi di calcolo. Con riferimento alla Figura 1a) per la definizione del sistema di riferimento e
per i simboli, le ipotesi sono le seguenti:
-
nella configurazione deformata le sezioni si mantengono piane e ortogonali all’asse della trave;
-
le sezioni hanno dimensioni tali da poter trascurare l’effetto dello sforzo di taglio sulla deformazione
della trave;
la curvatura è proporzionale al momento flettente:
-
dϕ ( x ) M ( x )
=
dx
EJ
(1)
Dai parametri di sollecitazione ai nodi, imponendo l’equilibrio, è semplice ricavare i diagrammi delle
sollecitazioni (M, T, N) lungo l’asse di ciascun elemento. Per quanto riguarda invece le funzioni degli
spostamenti
η (x)
ortogonali all’asse dell’elemento e
ξ (x)
paralleli all’asse dell’elemento, si può procedere
come di seguito descritto.
Linea elastica per carichi ortogonali all’asse della trave
Dalla (1) si ricavano le seguenti espressioni:
x
x
1
ϕ ( x) = ϕ i +
M ( x) dx ;
E J ∫0
η ( x) = ∫ ϕ ( x) dx
0
x , calcolato partendo dal
La funzione che esprime il momento flettente sulla sezione di coordinata locale
nodo iniziale i dell’elemento, risulta:
per qi < qj
per qi > qj
M ( x) = M i + Ti x − q cos t .
x 2 ∆q x 3
−
2
6l
M ( x) = M i + Ti x − q cos t .
x2
− x3 x2
− ∆q (
+ )
2
6l
2
Integrando due volte la funzione
della linea elastica
η (x)
M (x) ed una sola volta la rotazione ϕ i , si ottiene pertanto l’equazione
della trave soggetta a carichi ortogonali al suo asse.
Vengono di seguito calcolati separatamente i diversi contributi allo spostamento
semplicemente con
η
η (x) , d’ora in poi indicato
per comodità.
ϕi
Contributo della rotazione
calcolata al primo estremo:
x
η = − ∫ ϕ i dx = −ϕ i x + c1
0
Imponendo la condizione
η ( 0) = 0
Contributo del momento
M i calcolato al primo estremo:
ϕ=
si ricava c1=0 e quindi:
Mi
x + c1
EJ
2
η = −ϕ i x
(2)
La trave va considerata incastrata, in quanto la (eventuale) rotazione dell’estremo iniziale risulta dal calcolo
f.e.m., pertanto imponendo la condizione
η=
ϕ ( 0) = 0
si ricava c1=0. Integrando nuovamente si ottiene:
Mi 2
x + c2
2E J
Imponendo la condizione
η ( 0) = 0
si ricava c2=0 e quindi:
In tutti gli integrali indefiniti che seguono, le condizioni
η=
Mi 2
x
2E J
ϕ ( 0) = 0 , η ( 0) = 0
(3)
conducono sempre a valori nulli
delle costanti c1 e c2, che verranno pertanto di seguito trascurate.
Contributo del taglio Ti calcolato al primo estremo:
ϕ=
Ti
x2
2E J
η=
Ti
x3
6E J
(4)
η=
qcos t . 4
x
24 E J
(5)
Contributo del carico qcost.:
ϕ=
qcos t . 3
x
6E J
Contributo del carico triangolare ∆q nel caso in cui qi < qj:
ϕ=
∆q
x4
24 E J L
η=
∆q
x5
120 E J L
(6)
Contributo del carico triangolare ∆q nel caso in cui qi > qj:
∆q
ϕ=
EJ
∆q
η=
EJ
 x4
x3 
 −
+ 
24
L
6 

Lo spostamento totale
η tot

x5
x4 
 −
+ 
120
L
24 

(7)
si ottiene sommando i contributi calcolati con le espressioni (2)÷(7).
Linea elastica per carichi paralleli all’asse della trave
Con riferimento alla figura 1e), lo spostamento assiale di un punto dell’elemento posto alla coordinata
x si
può esprimere come:
x
1
ξ ( x) =
N ( x) dx
E A ∫0
La funzione che esprime lo sforzo normale sulla sezione di coordinata locale
x , calcolato partendo dal nodo
iniziale i dell’elemento, risulta:
N ( x) = N i − pi x −
pj
2L
Integrando la funzione
x2
N ( x) si ottiene l’equazione degli spostamenti assiali ξ ( x) della trave soggetta a
carichi paralleli al suo asse.
ξ=
p

p
1 
 N i x − i x 2 − j x 3 
E A
2
6L 
(8)
3
Trasformazione della deformata dal sistema locale al sistema globale
Una volta determinati gli spostamenti
ξ, η
di un punto di coordinata locale
x sull’asse dell’elemento, è
necessario eseguire una trasformazione per ottenere le coordinate del punto deformato nel sistema di
riferimento globale. Le coordinate locali del punto nella configurazione indeformata sono
nella configurazione deformata sono
dall’elemento con l’asse X valgono:
(x, 0) , mentre
( x + ξ , η ) = ( x, y ) . Il seno ed il coseno dell’angolo α formato
sin α =
Y j − Yi
; cos α =
L
X j − Xi
L
, dove (Xi, Yi) e (Xj, Yj) sono le
coordinate globali dei nodi iniziale e finale dell’elemento come indicato nella figura 2. La trasformazione delle
coordinate locali
( x, y ) del punto deformato nelle corrispondenti coordinate globali (X, Y) si ottiene con una
rotazione del sistema di riferimento mediante le relazioni:
X = x cos α − y cos α
Y = x sin α + y sin α
Considerando che il calcolo f.e.m. fornisce gli spostamenti globali Xdisp, Ydisp del nodo i, le coordinate globali
del punto deformato valgono infine:
X = X i + X disp + X
Y = Yi + Ydisp + Y
Y
x
Yj
ξ
y
α
Yi
η
Xi
Xj
X
Figura 2
Bibliografia
[1]
AA.VV.: “Manuale di Ingegneria Civile” sezione seconda. Cremonese;
[2]
Belluzzi O.: “Scienza delle Costruzioni” vol. 1 - Zanichelli;
[3]
Vitaliani R., Martini L.: “Lezioni di Calcolo Automatico” 1 parte – Cusl Nuova Vita.
a
4