Il problema della trave di de Saint Venant[part_1C_semp]

DIDATTICA DI DISEGNO E PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI
PROF. CARMELO MAJORANA
ING. LAURA SGARBOSSA
MODULO TRE
IL PROBLEMA DELLA TRAVE DI DE SAINT VENANT (PARTE C)
•
MATERIALE DIDATTICO DA UTILIZZARE IN AULA (SCUOLA SUPERIORE)
•
Esempio di lezione
3 Torsione semplice
3 Torsione semplice
La sollecitazione di torsione semplice si verifica quando agiscono, sulle basi di una trave,
due coppie di uguale momento e di segno contrario e normali all’asse longitudinale della
trave stesse: la sollecitazione di torsione è inoltre costante in tutte le sezioni intermedie.
figura 16
Il momento delle coppie sollecitanti prende il nome di momento torcente M t .
Il caso di torsione semplice nella trave, nella realtà si verifica raramente perché se si
considera il peso proprio della trave questa è soggetta anche ad uno sforzo di flessione e di
taglio; nella pratica però essendo queste ultime due grandezze trascurabili rispetto alla
torsione semplice pur non essendo pura, è la grandezza più rilevante.
Il calcolo delle tensioni indotte dalla sollecitazione di torsione in una sezione, nel caso di
travi di sezioni circolari piene o cave, si può ricorrere alla trattazione di Coulomb, mentre
per sezioni non circolari vale la teoria dell’elasticità.
Data la complessità di queste trattazioni, ci si limita all’interpretazione dei risultati finali,
tralasciando le dimostrazioni.
Si consideri una trave di sezione circolare ad asse rettilineo, soggetta nelle sezioni
d’estremità, a due coppie di momento torcente M t .
La deformazione della trave provoca la rotazione delle sezioni nei rispettivi piani, attorno
al proprio centro, conservando quindi le sezioni piane; figura 17.
figura 17
In altre parole le sezioni non si deformano nel loro piano mantenendo quindi la loro forma
originaria e l’asse geometrico rettilineo, mentre le fibre longitudinali, inizialmente parallele
all’asse si dispongono lungo linee elicoidali.
Si deduce da queste considerazioni, che in una sezione di trave, soggetta a torsione
semplice, si manifestano solamente tensioni tangenziali τ ; queste giacciono nel piano della
sezione retta ortogonali e proporzionali in ogni punto della sezione ai corrispondenti raggi.
Figura 18.
Si ha quindi la tensione tangenziale massima τ max nei punti estremi della sezione, ed è
espressa dalla formula:
τ max =
Mt ⋅r
JP
28)
dove r è il raggio della sezione circolare, M t il momento torcente e J P è il momento
d’inerzia polare.
figura 18
Definendo il modulo di resistenza a torsione Wt =
JP
r
, sostituendo nella formula
precedente della tensione tangenziale massima, questa risulta:
Mt
.
Wt
τ max =
29)
Nel caso di una trave a sezione rettangolare le tensioni massime si trovano nei punti medi
dei lati maggiori e sono date dalla relazione:
τ max = α ⋅
Mt
a ⋅ b2
30)
Mt
max
figura 19
dove a e b sono rispettivamente le dimensioni dei lati maggiori e minori, α è un
coefficiente che dipende dal rapporto
a
i cui valori sono tabulati.
b
Anche nel caso di sezione ellittica la tensione massima si manifesta nei punti estremi
dell’asse minore e vale:
τ max =
2⋅Mt
π ⋅ a ⋅ b2
31)
max
Mt
figura 20
dove a e b sono rispettivamente le dimensioni dei semidiametri maggiore e minore.
Nel caso di sezione triangolare equilatera le τ massime si manifestano nei punti medi dei
lati di dimensione a e sono espresse dalla formula:
τ max = 20
Mt
a3
32)
oppure, espressa in funzione del momento d’inerzia polare che nel caso in esame vale
JP =
a4
16 ⋅ 3
si ha:
τ max =
5 Mt ⋅r
.
2 JP
33)
Mt
max
figura 21