Cenni di resistenza dei materiali

Appunti di
Elementi di Meccanica
Cenni di resistenza dei materiali
v 1.0
Studio della trave
Una parte delle strutture meccaniche può essere schematizzata, ai fini del
calcolo strutturale, come una trave. Si definisce trave un corpo solido che
presenta una dimensione molto maggiore rispetto alle altre due. Si definisce
asse della trave una linea passante per la trave che si sviluppa lungo la
sua dimensione maggiore. La definizione di trave è abbastanza generica,
ma consente lo studio di una moltitudine di corpi di differente geometria.
Si definisce lunghezza l della trave la lunghezza del suo asse, altezza h e
larghezza b le altre due dimensioni trasversali rispetto alla lunghezza (vedi
figura 1).
Figura 1: Modello di una trave
1
Proprietà geometriche di una sezione
Prima di affrontare lo studio della trave, si riportano alcune proprietà delle
sezioni che saranno utilizzate successivamente. Le sezioni sono individuate
dall’intersezione di un piano perpendicolare all’asse della trave e la trave
stessa.
Area
L’area A di una sezione corrisponde alla misura della superficie che questa
sezione occupa nel piano che la contiene. Viene genericamente espressa in
mm2 .
Baricentro e assi principali
Il baricentro di una sezione è un punto notevole della sezione, è il punto
d’incontro degli assi principali. L’asse della trave passa per il baricentro della
2
sezione. Esso giace sempre sugli eventuali assi di simmetria della sezione. Gli
assi principali di una sezione sono sempre perpendicolari tra di loro e anch’essi
coincidono con gli assi di simmetria della sezione, se presenti.
Momento d’inerzia della sezione
Il momento d’inerzia Ia di una sezione rispetto ad un asse a esprime numericamente la distribuzione della sezione rispetto all’asse stesso. Nella presente
trattazione si considereranno momenti d’inerzia rispetto ai soli assi principali.
Viene genericamente espresso in mm4 .
Modulo di resistenza della sezione
Il modulo di resistenza Wa di una sezione rispetto ad un asse a è dato dal
rapporto tra il momento d’inerzia rispetto allo stesso asse e la semi-altezza
(o semi-larghezza) della sezione rispetto a quell’asse. Viene genericamente
espresso in mm3 .
Sezioni notevoli
Segue un elenco di alcune sezioni notevoli e di formule per il calcolo delle
proprietà introdotte. Gli assi indicati nei disegni sono assi principali.
A = hb
Ix =
bh3
12
Iy =
hb3
12
Wx =
bh2
6
Wy =
hb2
6
A = hb − (h − 2s)(b − 2s)
3
Ix =
bh3
12
−
(b−2s)(h−2s)3
12
Iy =
hb3
12
−
(h−2s)(b−2s)3
12
Wx =
bh2
6
−
(b−2s)(h−2s)2
6
Wy =
hb2
6
−
(h−2s)(b−2s)2
6
2
A = π d4
4
Ix = π d64
4
Iy = π d64
3
Wx = π d32
3
Wy = π d32
2
2
4
4
4
4
A = π d4 − π (d−2s)
4
Ix = π d64 − π (d−2s)
64
Iy = π d64 − π (d−2s)
64
3
3
3
3
Wx = π d32 − π (d−2s)
32
Wy = π d32 − π (d−2s)
32
2
Casi di Saint Venant
Saint Venant fu un matematico e fisico francese vissuto nel XIX◦ secolo che
studiò la trattazione matematica di diversi fenomeni che hanno tuttora grande rilevanza ingegneristica (tra questi l’elasticità dei solidi e l’idraulica). Formulò una serie di equazioni che consente, sotto certe ipotesi, il calcolo dello
stato di sollecitazione in una trave. Nonostante i recenti sviluppi dei calcolatori e dei metodi numerici, le formule di Saint Venant per la trave sono
tuttora uno strumento indispensabile alla progettazione meccanica.
Senza entrare eccessivamente nel dettaglio, si presenteranno alcuni i risultati di questo studio che hanno una maggiore applicazione dal punto di vista
ingegneristico. Verrano affrontati i casi dell’azione assiale, della flessione pura
e della torsione.
2.1
Azione assiale
Si consideri una trave sollecitata alle estremità da una forza assiale N di
trazione o compressione passante per l’asse della trave (vedi figura 2). I diagrammi delle azioni interne nella trave sono costanti; l’unico diagramma non
4
Figura 2: Trave soggetta ad azione assiale
Figura 3: Andamento dello sforzo indotto nella sezione
nullo è quello dell’azione assiale che vale per l’appunto N . Essendo l’azione nella trave costante, tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto
quelle d’estremità, dove i carichi sono applicati).
La sollecitazione è normale al piano contenente la sezione e costante (vedi
figura 3), quindi lo sforzo σz vale
N
A
e viene di conseguenza misurato in N/mm2 . Si noti che una forza di trazione
(genericamente definita positiva) causa uno sforzo positivo.
A seguito di questa forza applicata si verifica anche una variazione della
lunghezza della trave, che può essere quantificata ricorrendo prima al calcolo
della deformazione. La relazione tra sforzo e deformazione in questo caso
vale
σz =
σz = Eεz
dove E è il modulo di Young del materiale considerato. Il modulo di Young
è espresso in N/mm2 . La deformazione a sua volta è definita come
l − l0
l0
dove l è la lunghezza della trave e l0 ne è la lunghezza iniziale; εz è una
grandezza adimensionale. Riassumendo le formule viste si può ricavare una
εz =
5
Figura 4: Freccia di una trave soggetta ad azione assiale
formula che esprime la freccia fz (variazione di lunghezza della trave rispetto
alla dimensione iniziale, vedi figura 4) della trave
fz = l − l 0 =
2.2
N
l0
EA
Flessione retta
Si consideri una trave sollecitata alle estremità da una coppia Mf agente nel
piano yz (vedi figura 5). I diagrammi delle azioni interne nella trave sono
costanti; l’unico diagramma non nullo è quello del momento flettente che
vale per l’appunto Mf . Essendo l’azione nella trave costante, tutte le sezioni
sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d’estremità, dove i momenti sono
applicati).
La sollecitazione è normale al piano contenente la sezione ed ha un andamento a ‘farfalla’. Varia linearmente e si annulla in corrispondenza di un
asse principale (vedi figura 6). Lo sforzo σz ha la seguente espressione
σz =
Mf
y
Ix
e viene di conseguenza misurato in N/mm2 .
Va notato che lo sforzo σz è positivo nel semipiano xy a y positive e
negativo nell’altra metà. Il momento flettente causa una flessione della trave,
il cui asse si discosta dalla sua posizione iniziale di una quantità fy che varia
lungo l’asse e ha valore massimo in z = 2l (vedi figura 7). Il calcolo della
freccia massima porta al seguente risultato
Figura 5: Trave soggetta a flessione retta
6
Figura 6: Andamento dello sforzo indotto nella sezione
Figura 7: Freccia di una trave soggetta a flessione retta
fyMAX =
2.3
Mf l2
8EIx
Torsione
L’analisi della torsione in una trave non offre una soluzione generica; esistono
però formule particolari che consentono il calcolo di sforzi e deformazioni
in travi con profili particolari. Verranno di seguito riportate formule per il
calcolo di sezioni circolari e successivamente di sezioni chiuse in parete sottile.
La torsione è un fenomeno che può essere compreso più facilmente ricorrendo ad un’analogia. La distribuzione delle tensioni è simile alla distribuzione delle velocità di un liquido contenuto in un recipiente di ugual forma
del profilo , messo in rotazione a velocità costante attorno all’asse. Dopo
una fase iniziale, il liquido è trascinato dalle pareti del contenitore e presen-
Figura 8: Trave soggetta a torsione
7
Figura 9: Andamento dello sforzo indotto nelle sezioni
ta una distribuzione di velocità che è proporzionale alla distanza dal centro
di rotazione. Analogamente, considerando una trave soggetta a momento
torcente, le tensioni generate avranno una distribuzione simile: crescenti dal
baricentro verso l’esterno, dove assumono valore massimo.
2.3.1
Torsione su cilindro circolare
Si consideri una trave a sezione circolare sollecitata alle estremità da una
coppia Mt agente nel piano xy (vedi figura 8). I diagrammi delle azioni interne
nella trave sono costanti; l’unico diagramma non nullo è quello del momento
torcente che vale per l’appunto Mt . Essendo l’azione nella trave costante,
tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d’estremità, dove
i momenti sono applicati).
La sollecitazione è tangenziale ad una circonferenza qualunque tracciata
all’interno della sezione e centrata nel baricentro. Il modulo della sollecitazione varia linearmente e si annulla in corrispondenza del baricentro (vedi
figura 9). Lo sforzo τt ha la seguente espressione
τt =
q
r=
Mt
r
Ip
x2 + y 2
dove Ip è il momento polare d’inerzia della sezione, dato dalla somma Ix + Iy .
Anche lo sforzo tangenziale τt è misurato in N/mm2 .
Il momento torcente causa una rotazione delle sezioni della trave lungo
l’asse (vedi figura 10). Si definisce angolo unitario di torsione Θ l’angolo
formato tra due sezioni di distanza unitaria. L’angolo Θ si calcola come
Θ=
Mt
GIp
8
Figura 10: Deformazione di una trave soggetta a torsione
essendo G il modulo di elasticità tangenziale (unità di misura: N/mm2 ), parametro caratteristico del materiale. Quindi l’angolo relativo tra due sezioni
distanti d è pari a Θd.
2.3.2
Torsione su cilindro cavo
Ricorrendo nuovamente all’analogia idrodinamica, si può affermare che le
tensioni all’interno della sezione siano dirette parallelamente al bordo e assumano valore all’incirca costante all’interno del profilo (visto lo spessore
ridotto, vedi figura 9). A questo si aggiunga l’analogia alla conservazione
della portata e si possono ottenere una serie di equazioni che consentono il
calcolo dello stato di sollecitazione. L’analogia con la portata consente di
formulare
τt s = cost
Il valore delle tensioni tangenziali τt dipende quindi dallo spessore del
profilo nella parte considerata della sezione. Il valore della costante vale
τt s =
Mt
2Ω
Figura 11: Area Ω
9
essendo Ω l’area racchiusa dalla linea media del profilo (vedi figura 11). Il
valore delle tensioni tangenziali si può quindi calcolare come
Mt
2sΩ
Dalla precedente relazione si può evincere che il valore massimo delle
tensioni si trova in corrispondenza dello spessore minimo del profilo.
τt =
2.4
Principio di sovrapposizione degli effetti
I casi di Saint Venant presentati affrontano il problema del calcolo dello stato
di sollecitazione in presenza di un’unico carico esterno. Si può prevedere
inoltre la compresenza di più carichi agenti che di conseguenza modificano lo
stato di sollecitazione. In questo caso lo stato di sollecitazione risultante è
dato dalla somma degli stati di sollecitazione calcolati per ogni carico agente.
Le componenti di sforzo presenti saranno tutte e sole le componenti di sforzo
presenti nei singoli casi. Il modulo delle componenti di sforzo presenti in più
casi sono il risultato della somma algebrica di quella dei singoli casi.
Ad esempio di consideri una trave soggetta a carico assiale N e momento
flettente Mf . La sforzo massimo σzMAX è dato dalla somma di
N
Mf h
+
A
2Ix
e l’andamento è quello rappresentato in figura . Nel caso in cui anche un
momento torcente Mt fosse applicato, si avrebbe uno sforzo tangenziale τ
calcolabile a seconda della geometria della sezione impiegata.
σzMAX =
3
Criteri di resistenza per travi (cenni)
Il calcolo dello stato di sollecitazione non è ovviamente fine a se stesso ma
costituisce la prima parte nel processo di stima della resistenza di una struttura. Il principio che sta alla base di ogni criterio di resistenza è quello di
fornire un valore numerico (od una serie di valori numerici) che possano essere confrontati con dei parametri tipici del materiale impiegato. I criteri di
resistenza cambiano fortemente a seconda del materiale e dell’utilizzo della
struttura, nonché dello stato di sollecitazione.
3.1
Rottura per materiali fragili
I materiali a comportamento fragile (come il vetro o la ghisa ad esempio) si
rompono senza subire grandi deformazioni. Dal punto di vista della solleci10
tazione si verifica un superamento di un valore critico (che qui verrà indicato
con σR ) che causa la rottura.
3.2
Rottura per materiali duttili
I materiali a comportamento duttile (come l’acciaio) per contro subiscono
deformazioni molto più accentuate prima che avvenga la rottura. Inoltre
per alcuni materiali, superata un certa soglia, la deformazione è permanente.
Questa condizione può da un lato precludere il corretto funzionamento della
struttura, dall’altro costituisce un importante indice di allarme.
Il fenomeno prende il nome di snervamento e va comunque evitato. La
struttura dovrà quindi essere sollecitata in modo tale che non vengano generate deformazioni permanenti. La sollecitazione massima dovrà risultare
inferiore ad un valore detto limite di scostamento dalla proporzionalità che
indica il valore massimo di deformazione permanente ammessa (che in genere
si considera pari a 0, 1 − 0, 2%), qui indicato con σP .
3.3
Criterio di resistenza per le travi
Per le travi esistono diversi criteri di resistenza, qui verrà riportato solamente
il Criterio di von Mises. Per la sua applicazione è necessario calcolare lo
stato di sollecitazione per tutti i carichi e sovrapporre gli effetti nel punto
più sollecitato della sezione. In corrispondenza di questo punto lo stato di
sollecitazione è descritto dalla coppia (σ̃, τ̃ ). Il criterio di resistenza porta al
calcolo di un valore equivalente σeq pari a
σeq =
√
σ̃ 2 + 3τ̃ 2
Il valore equivalente cosı̀ ottenuto deve essere ragionevolmente inferiore
al valore ammissibile per il materiale considerato. Durante la progettazione di una struttura ci sono una serie di eventi che non sono completamente
prevedibili (tra i quali l’incertezza del modello, la presenza di difetti nei materiali, . . . ), ragione per la quale è bene prevedere una riserva di ‘resistenza’,
disponibile nel caso in cui qualcosa non vada per il verso giusto. Da questa osservazione si introduce il coefficiente di sicurezza η, misura di questa
‘riserva’. Il coefficiente di sicurezza viene definito come
η=
σamm
σeq
dove σamm è il valore ammesso di sollecitazione per il materiale in questione.
Le normative prevedono i valori minimi di questo coefficiente di sicurezza.
11
4
Esempi di travi sollecitate
σmax =
fy =
P l3
48EIx
σmax =
fy =
Pl
4Wx
ql2
8Wx
5ql4
384EIx
σmax =
Pl
Wx
P l3
fy =
3EIx
σmax =
fy =
12
ql2
2Wx
P l3
8EIx
5
Problematiche ulteriori
L’analisi presentata in questi appunti è estremamente semplificata e non si è
tenuta in considerazione una serie di fenomeni che richiederebbe una trattazione approfondita. L’importanza di questi fenomeni non va assolutamente
trascurata, motivo per il quale se ne farà un breve accenno.
5.1
Fatica
Accennando alla resistenza dei materiali si è parlato di rottura per materiali fragili e di snervamento per materiali duttili come fenomeni critici. In
realtà alcuni materiali (prevalentemente metallici ma anche polimeri e ceramiche) soggetti a carichi variabili nel tempo mostrano un danneggiamento
non direttamente riconducibile ai due fenomeni prima descritti.
La presenza di carichi variabili nel tempo, o ciclici, porta alla rottura (apparentemente di tipo fragile, in quanto improvvisa) per livelli di sollecitazione
abbondantemente al di sotto del limite di rottura fragile o di snervamento.
Questo fenomeno prende il nome di fatica meccanica.
Figura 12: Esempio di curva di Wöhler
Il grafico in figura 12 mostra il rapporto tra sollecitazione massima e
numero di cicli ai quali si è verificata una rottura. Tanto maggiore è la sollecitazione tanto minore è il numero di cicli di carico sopportati dal materiale.
Va notato che fino a 1000 cicli circa il fenomeno della fatica non si verifica;
13
al di sopra di questa soglia la resistenza meccanica si abbatte fino a raggiungere valori pari a meno della metà rispetto al valore di rottura statica. Il
grafico riportato è costruito mediante prove sperimentali e successiva analisi
statistica dei risultati.
La fatica è un fenomeno complesso influenzato da una molteplicità di
fattori, sia meccanici che metallurgici. Esistono delle formule che consentono di stimare la vita meccanica di una struttura soggetta a carichi ciclici.
Visto l’approccio prettamente sperimentale nell’analisi del fenomeno, la vita
meccanica viene stimata in maniera probabilistica.
5.2
Instabilità elastica
L’instabilità elastica è un fenomeno per il quale una struttura si deforma
secondo modalità differenti rispetto a quelle previste per i carichi applicati.
L’esempio più evidente è l’instabilità di una trave dovuta ad un carico di
compressione che supera una certa soglia e che induce flessione nella trave
stessa (vedi figura 13).
Si riscontra un comportamento analogo (ma con cause differenti) nella
deformazione dei binari ferroviari (anche i ponti ne sono un esempio notevole) dovuta all’eccessivo surriscaldamento del materiale che li costituisce. Il
materiale si dilata e crea delle azioni interne di compressione che causano
a loro volta la deformazione flessionale. Nelle figure 14 e 15 sono riportate
delle fotografie di strutture che hanno subito tali deformazioni.
In entrambi i casi si verifica un superamento di un valore del carico (e
quindi della sollecitazione) che provoca il ‘collasso’ della struttura. Per collasso si intende uno scostamento della struttura dalle condizioni per le quali
è stata progettata. La pericolosità dell’instabilità elastica risiede proprio qui:
nel momento in cui la struttura diviene soggetta a carichi non previsti in sede
di progetto, la sua resistenza non è garantita.
Figura 13: Instabilità di una trave soggetta a carico di punta
14
Figura 14: Instabilità dei binari ferroviari
Figura 15: Instabilità di un ponte dovuta a dilatazione termica
È buona pratica ingegneristica quindi assicurarsi che i carichi non raggiungano quei valori critici oltre i quali la struttura può incorrere nell’instabilità.
6
Conclusione
La resistenza delle strutture può essere stimata mediante l’impiego di metodi
di calcolo che portano alla conoscenza dello stato di sollecitazione del materiale. L’analisi sperimentale fornisce i valori di sollecitazione che causano la
rottura in corrispondenza di particolari condizioni, tra le quali la resistenza
a carico statico o ciclico. L’impiego di alcuni criteri di resistenza consente
il confronto diretto tra i valori calcolati e quelli misurati sperimentalmente.
L’applicazione delle normative e il buon senso suggeriscono l’introduzione dei
coefficienti di sicurezza che garantiscono ulteriore resistenza alla struttura
qualora questa si trovasse in condizioni diverse da quelle di progetto.
15