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www.matefilia.it SIMULAZIONE - 22 APRILE 2015 - QUESITI Q1 Assegnata la funzione π¦ = π(π₯) = π π₯ 3 β8 1) verificare che è invertibile; 2) stabilire se la funzione inversa π β1 è derivabile in ogni punto del suo dominio di definizione, giustificando la risposta. 1) La funzione è definita, continua e derivabile su tutto lβasse reale. Risulta: 3 π β² (π₯) = (3π₯ 2 )π π₯ β8 β₯ 0 per ogni x, quindi la funzione è sempre crescente in senso stretto, quindi è invertibile (cioè realizza una corrispondenza biunivoca tra dominio e codominio). 2) Posto π₯ = π β1 (π¦), risulta π₯ β² (π¦) = 1 π¦ β² (π₯) e siccome π¦ β² (π₯) = 0 π π π₯ = 0 , π β1 non è derivabile in corrispondenza di x=0, cioè in π¦ = π(0) = π β8 . Notiamo che il dominio della π β1 è il codominio della π, che è y>0. Anche se non richiesto, determiniamo lβespressione analitica della funzione inversa. Da π¦ = π(π₯) = π π₯ 3 β8 ricaviamo: π₯ 3 β 8 = ln(π¦) , ππ ππ’π π₯ = π β1 (π¦) = 3β8 + ln(π¦) . Q2 Data l'equazione differenziale del primo ordine π¦β² = 1 2π₯β1 determinare la soluzione del problema di Cauchy, tenendo conto della condizione iniziale y(1)= 0. Da π¦β² = π¦=β« 1 2π₯β1 1 2π₯β1 ricaviamo: 1 ππ₯ = ππ|2π₯ β 1| + π e dovendo essere π¦(1) = 0 otteniamo: 0 = π . 2 La soluzione richiesta, definita in un intorno di x=1, quindi dove 2x-1>0, è : π¦= 1 ln(2π₯ β 1) 2 1/ 6 Q3 Di quale delle seguenti equazioni differenziali è soluzione la funzione π¦ = ln(π₯ β 3) ? a) b) c) d) (π₯ β 3) β π¦ β²β² β (π₯ β 3)2 β π¦ β² + 2 = 0 π₯ β π¦ β²β² β (π₯ β 3) β π¦ β² + π₯ + 2 = 0 (π₯ β 3)2 β π¦ β²β² β (π₯ β 3) β π¦ β² + 2 = 0 π₯ 2 β π¦ β²β² + π¦ β² + 3π₯ β 9 = 0 Giustificare la risposta. Notiamo che la funzione è continua per x>3, ed ammette derivata prima e derivata seconda, che sono: π¦β² = 1 π₯β3 π¦ β²β² = β 1 (π₯ β 3)2 a) (π₯ β 3) β π¦ β²β² β (π₯ β 3)2 β π¦ β² + 2 = β 1 π₯β3 β (π₯ β 3) + 2 β 0 π₯ b) π₯ β π¦ β²β² β (π₯ β 3) β π¦ β² + π₯ + 2 = β (π₯β3)2 β 1 + π₯ + 2 β 0 c) (π₯ β 3)2 β π¦ β²β² β (π₯ β 3) β π¦ β² + 2 = β1 β 1 + 2 = 0 βΆ βπ₯ 2 d) π₯ 2 β π¦ β²β² + π¦ β² + 3π₯ β 9 = (π₯β3)2 + 1 π₯β3 π£ππππππππ‘π + 3π₯ β 9 β 0 La soluzione è quindi la c). Q4 Verificare il carattere della serie +β β π=0 1 π2 + 7π + 12 e, nel caso in cui sia convergente, determinare la sua somma . Notiamo che il termine generale ππ = 1 π2 +7π+12 è asintotico a 1 π2 , quindi la serie è convergente. Si tratta di una βserie telescopicaβ, la cui somma si ottiene procedendo nel modo seguente: Poiché π2 + 7π + 12 = (π + 3)(π + 4) , risulta: π2 1 1 π π π(π + 4) + π(π + 3) π(π + π) + 4π + 3π = = + = = (π + 3)(π + 4) (π + 3)(π + 4) + 7π + 12 (π + 3)(π + 4) π + 3 π + 4 Da cui, dato che lβuguaglianza deve essere verificata per ogni valore accettabile di n: π+π =0 { 4π + 3π = 1 π = βπ { π=1 π = β1 { π=1 Pertanto: 2/ 6 ππ = π2 1 π π 1 1 = + = β + 7π + 12 π + 3 π + 4 π + 3 π + 4 La successione delle somme parziali è quindi: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 π π = π0 + π1 + β― + ππ = ( β ) + ( β ) + β― + ( β )+( β )= β 3 4 4 5 π+2 π+3 π+3 π+4 3 π+4 Risulta: 1 1 1 lim π π = lim ( β )= πβ+β πβ+β 3 π+4 3 Quindi la serie è convergente ed ha per somma 1 3 . Q5 Per progettare un sito web è necessario generare dei codici unici di accesso. Si vogliono utilizzare, a tale scopo, due lettere maiuscole dell'alfabeto inglese seguite da una serie di numeri compresi tra 0 e 9. Tutti i codici di accesso dovranno avere lo stesso numero di cifre ed è ammessa la ripetizione di lettere e numeri. Qual è il numero minimo di cifre da impostare in modo da riuscire a generare almeno 5 milioni di codici di accesso diversi? Giustificare la risposta. La scelta delle due lettere (tra le 26 possibili) è data dalle disposizioni con ripetizioni di 26 oggetti a due a due: π π·26,2 = 262 = 676 La scelta di n cifre (1 β€ π β€ 10) è data dalle disposizioni con ripetizioni di 10 oggetti ad n ad n: π π·10,π = 10π Il numero di codici unici possibile è dato da: π π π·26,2 β π·10,π = 676 β 10π Si vuole che i codici siano almeno 5 milioni, quindi deve essere: 676 β 10π β₯ 5 β 106 π β₯ log10 5β106 676 = log10 5 + 6 β log10 676 β 3.87 . Quindi n deve essere almeno 4: i codici devono essere formati da almeno 6 caratteri (2 lettere seguite da almeno 4 cifre). Q6 La base di un solido, nel piano Oxy, è il cerchio avente come centro l'origine e raggio 3. Le sezioni del solido perpendicolari all'asse delle x sono quadrati. Calcolare il volume del solido. La circonferenza di centro O e raggio 3 ha equazione: π₯ 2 + π¦2 = 9 , da cui π¦2 = 9 β π₯ 2 3/ 6 La sezione quadrata ha lato 2y, essendo y lβordinata de generico punto della circonferenza del semipiano π¦ β₯ 0 . Il quadrato ha quindi area: π΄ = (2π¦)2 = 4π¦ 2 = 4(9 β π₯ 2 ) = π΄(π₯) Il volume del solido è dato da: π 3 3 π = β« π΄(π₯)ππ₯ = 2 β« π΄(π₯)ππ₯ = 2 β« 4(9 β π₯ π 0 3 3 2) ππ₯ = 8 β« (9 β π₯ 0 2) 0 π₯3 ππ₯ = 8 [9π₯ β ] = 3 0 = 8(27 β 9) = 144 π’3 = π Q7 Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie sferica avente come centro l'origine e raggio 2, nel suo punto di coordinate (1,1,z), con z negativa. La sfera ha equazione: π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 = 4; ponendo x=1 e y=1 otteniamo π§ = ±β2 Il punto di tangenza è quindi: π = (1,1, ββ2) . Il piano perpendicolare alla sfera in T ha come normale la retta OT, quindi ha parametri direttori: π = 1 β 0 = 1, π = 1 β 0 = 1, π = ββ2 β 0 = ββ2 . Quindi lβequazione del piano è: π(π₯ β π₯π ) + π(π¦ β π¦π ) + π(π§ β π§π ) = 0 βΉ π₯ β 1 + π¦ β 1 β β2(π§ + β2) = 0 ππ’ππππ: π₯ + π¦ β β2 π§ β 4 = 0 Q8 Calcolare il seguente integrale indefinito β«(arcsin(π₯) + arccos(π₯)) ππ₯ 2 e rappresentare graficamente la funzione primitiva passante per il punto ( ; 2). π 4/ 6 Notiamo che: arcsin(π₯) + arccos(π₯) = π 2 (*) Quindi: β«(arcsin(π₯) + arccos(π₯)) ππ₯ = π π₯+π 2 2 La primitiva passante per il punto ( ; 2) è quella per cui: π π 2 2 β +π =2 π ππ ππ’π π=1. Quindi la primitiva richiesta ha equazione: π π¦ = π₯ + 1 che rappresenta una retta: 2 Osservazione Per dimostrare la relazione (*) si può procedere nel seguente modo: poniamo π = arcsin(π₯) ππ ππ’π π₯ = sin(π) π π = arccos(π₯) ππ ππ’π π₯ = cos(π) π π π π 2 2 2 2 Siccome x = cos(π) = π ππ ( β π) , arcsin(π₯) = β π , π = β π , π + π = , ππππ‘πππ‘π: π arcsin(π₯) + arccos(π₯) = . 2 Q9 Calcolare il seguente integrale improprio +β β« 2 1 ππ₯ π₯ β ln2 (π₯) Notiamo che la funzione di equazione π¦ = 1 π₯βln2 (π₯) è continua nellβintervallo [2; +β); quindi: 5/ 6 +β πΌ=β« 2 π 1 1 ππ₯ = lim β« ππ₯ πβ+β 2 π₯ β ln2 (π₯) π₯ β ln2 (π₯) Calcoliamo lβintegrale indefinito: β« (ln(π₯))β1 1 1 1 β2 ππ₯ = β«(ln(π₯)) β ππ₯ = +π = β +π 2 π₯ β ln (π₯) π₯ β1 ln(π₯) πΌ = lim [β πβ+β 1 π 1 1 1 1 ] = lim [β + ] = 0+ = ln(π₯) 2 πβ+β ln(π) ln(2) ln(2) ln(2) Q10 In una stazione ferroviaria, fra le 8 e le 10 del mattino, arrivano in media ogni 20 minuti due treni. Determinare la probabilità che in 20 minuti: a) non arrivi alcun treno; b) ne arrivi uno solo; c) ne arrivino al massimo quattro. Si tratta di una distribuzione di probabilità di Poisson: π= ππ₯ βπ βπ π₯! dove π = 2 , quindi: π = a) x=0: π(0) = b) x=1: π(1) = 20 βπ β2 0! 21 βπ β2 1! = = 1 π2 2 π2 2π₯ βπ β2 π₯! β 0.135 = 13.5 % β 0.271 = 27.1 % c) π(0) + π(1) + π(2) + π(3) + π(4) = = . 20 βπ β2 0! + 21 βπ β2 1! + 22 βπ β2 2! + 23 βπ β2 3! + 24 βπ β2 4! = 1 2 2 4 2 1 4 2 7 + + + + = (1 + 2 + 2 + + ) = 2 β 0.947 = 94.7 % π2 π2 π2 3 π2 3 π2 π2 3 3 π Con la collaborazione di Angela Santamaria, Simona Scoleri e Stefano Scoleri 6/ 6